Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Доказательство этой общей теоремы можно провести с помощью непосредственных вычислений, например для случая ги = 2, т. е. для системы )с уравнений второго порядка и и 7 [и]— : ~„АВиг.+,~г Аги,+ Ви = О, г,)=о " =о (20) где'А'г= Агг, А' и  — квадратные матрицы порядка й (см. э" 3, п. 1). Предполагается, что эти матрицы имеют достаточно большое число производных по х (для квазилинейной системы также по и и и,). Характеристическая матрица равна А = ~ Аг)с~ссуд Так как А,, = =2 ~ Аг'с~р то подстановка выражений (7) и (8) в уравнение (20) г-о дает г.[и] 5 Агто+ 5 (Аут + А гро+ (Аг)7 + Ассу )сто) -[- и-г + ~ 5,(Ад""'+ А,,и;ет+(АВ~, + Агчг,) а" г+Ед') + .=о А иг -г- А ио -г- (А Вю -[- А ' ° 1 гто = 0 Ад.
+А,д, +(А'гр„+А р,)д '+(.[е ]=О (н = О, 1, ...) (21) (21') ') На поверхности т = 0 это является следствием уравнения ь'[и] =. О, если Ь', имеют надлежащие особенности. Мы снова потребуем ') для 1 (М вЂ” 2, чтобы все множители при функциях Вг обращались в нуль не только на поверхности С=С, но и на всех поверхностях С,: у=с= — сопят в некоторой (л+1)- мерной окрестности С,. Поэтому на этих поверхностях мы также будем иметь Аи = О.
Следовательно, ] А] = 0; таким образом, все семейство С, состоит из характеристик и гг= аг, как мы видели выше в и, 4. Приравнивание нулю множителей при 5 н Во, ... дает на С, 628 Гл, И, Гиперболи«есипе ураиижчия си .ипигилп ипре.иеииьти Умножим теперь каждое из этих равенств на левый нуль-вектор 1 матрицы А; в силу того что 1А = О, мы точно так же, как в п. 4, получим (А да+1(Астр + Ас„) ~О О (22) с (А, у;.
+ 1 ~Аст у, + Асср,) уч + 1Е [у - ~ [ = О, (22 ) Снова эти обыкновенные дифференциальные уравнения являются внутршшими на характеристических поверхностях с[ = сопз1, так как и на ннх ~и (А, си =21А=-О. Согласно лемме из 9 3 п. 11, вектор 2=.1 тс ! х,.
= Я,, направленный по характеристическому лучу, пропорционален вектору 1А,,г. Поэтому, подставив в формулу (22) вектор д=ис, мы получим для и обыкновенное дифференциальное уравнение вдоль лучей, лечивших на поверхности С,: а + Ри = О. где Р = Ы [г (ср — с) [. Неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие коэффициенты л' для ч ) О, получаются так же, как в п. 4; формулы (21') дают для л"'+' систему линейных уравнений с вырожденной матрнцей А.
Следовательно, в силу того что система (21') совместна (см. п. 4), мы имеем Л'"и = а ' г+л"', (23) «.т где правая часть л ' известна, если известны функции д, л", ..., счч и их производные, а а''т — скаляр. Напишем ч вместо и+2 и подставим выражение (23) в (22'); на поверхности р — с=О для а' мы получим неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение (уравнение переноса) а'-+ Ро' = К', с той же однородной частью, как и ранее. Таким образом, шаг за шагом определяются все коэффициенты д" в формуле (6), если известны их начальные значения на некотором (а — 1)-мерном начальном многообразии, принадлежащем С, и пересекающем все лучи.
Для систем высших порядков доказательство по существу остается таким же. Приведенные выше вычисления можно упростить, воспользовавшись свойствами инвариантности характеристик, сформулированными в 9 3. Подробности мы здесь опустим. 9. Дополнительные замечанмя. Слабые решения. Ударные волны. Как указывалось в гл. Н, $9 для случая двух независимых переменных, обобщенные решения, обладающие особенностями. можно получить с помощью понятия „слабых решений", заменив дифферен- й 5.
Колеблюьлнеся начальные значения циальиое уравнение ь [ы) = О интегральным соотиошеиием ~ иЕ* [о[ йх = О. Здесь à — сопряжеииый оператор. а о — произвольная гладкая „пробиая" функция, фииитиая, т. е. равная нулю впе достаточно большой сферы. Для и иезааисимых переменных рассуждения остаются совершении без измеиепий и иет иеобходимости приводить их здесь. Во всяком случае, оии тесно связаны с понятием обобщеьиых функций (см. приложеиие).
Но иеобходимо добавить замечание, касающееся квазиликейкых уравнений (1). Конечно, для иих понятие характеристик и бихарактеристик остается таким же, как в линейном случае. Остаются справедливыми также результаты, отиосящиеся к разрывам первых производных. Однако теория предыдущего параграфа неприменима, если рассматриваются разрывы самой функции и.
Так же, как в гл. ьг, 9 3, мы можем ввести такие разрывы, называемые „ударными волнами', в случае, когда система первого порядка имеет вид системы законов сохранения, т. е. когда оиа может быть записана в форме — — Р" (х, и)=0, /=1, ..., й. чьи дх; ь=! Тогда для поверхности С: ьу(х) =О, иа которой функция а испытывает разрыв, интерпретация этих законов в слабом смысле точно так же как в гл. чь, Э 9, дает условия ка ударнси волне ~ (РО(и))у!=О Ц=1, ..., й); эти условия связывают между собой скачки функции и и уравнение поверхности С: у=О; таким образом, поверхность ударной волны уже ие является характеристьшой. Самый важный пример дают уравнения гидродииамики '), рассмотреииые уже в гл. ь! для случая двух независимых переменных, 9 б. Колеблющиеся начальные значения.
Асимптотическое разложение решения. Переход к геометрической оптике. 1. Предварительные замечания. Бегущие волиы высшего порядки. Применение метода чь 4 к колеблющимся начальным значениям ') объясняет явление распространения волн по лучам в „геометрической ') Подробный анализ см. в книге Кураита и Фридрихса [1), стр. !16 — 172. ') См. П. Лакс [4!.
бйб Гл. Кд Гиперболические Лпаенещгя со многими иеременнеияи оптике". Длл быстрых колебаний этот метод дает асимптотическое решение задачи Коши с помощью только решения обыкновенных днфференц1ильных уравнений. Представляется естественным построение решения в виде суперпозиции решений задачи Коши с разрывными начальными функциями, а именно, с функциями ф(х)=Ь(х — с), резко локализованными в точке х=-', (см. также 4 15). Однако с тем же успехом можно было бы разложить начальные функции на плоские волны с помощью интеграла Фурье. В соответствии с этим сначала надо было бы найти колеблющиеся решения, а затем построить полное решение задачи Коши в виде их комбинации; этот метод аналогичен методу, который применялся в случае постоянных коэффициентов (см.
гл. И1, й б). В свете теории й 4 мы начнем с исследования „бегущих волн", записанных в виде ~ Т,(о(х, Г)) ду(х, 1), 1-а где функции Т; как функции фазовой переменной ~1(х, () не обязаны иметь особенностей н где Т) =- Т) ы Как и в й 4, мы формально подставим вырамсение (1) в уравнение А[и[ = 0 н потребуем, чтобы все множители при Т и Т„, Т,, ... обращались в нуль. Очевидно, что полученные в результате этого соотношения для множителей д' будут совпадать с соотношениями, полученными в й 4 дчя сингулярных функций Т = 5 . Применим комплексные обозначения и возьмем, в частности, Т (Э(Х, Г))=ЕцЕГк ", Т =- .
Ецг~"' О 1 (11)У с большим параметром к. 2. Построение асимптотическнх решений. Независимо от замечаний, объясняющих, почему решение ищется в таком виде, мы теперь поставим себе целью построить асимптотическпе решения гиперболической системы й [и[= и, +. ~г Лги . + Ви = аг+ М(гг) = 0 ') в виде суммы (г выражений вида ') (/" (х, г; ()=е' ' ие+-- 4- ... +- — "+ ...
(3) ') Отсутствие множ1пеля (1)г в знаменателе несущественно. Ьт б. Ко.>еб.>ниииеея нанальнь>е значения тле вектор-функции иа, лн ..., и, не зависят от 1 и где предполагает я, что выра>кение, взятое до члена и,11". дает остаток пав 1 рядка,а Мы хотим решить задачу Коши с начальными данными и(0, х) = е>>е!гх>ф(х), поэтому мы положим ьь (х, 0)=; (х); начальные данные для функций с1' будут заданы позже.
Теперь в формуле (3) мы опустим индекс м и будем исследовать структуру отдельного выражения вида (3). Подставим выра>кение (3) в уравнение 1.[и[ = О, обозначим единичную матрицу через 1, введем я характеристическую матрицу Л =1а!.+ е> А>!~1 а сразу получим, что !'=! О.= е. '-" '>1 [л[ = >:,А ч — ' + э — ' — ' ь>е Г ' .>а> Ь' -о ' Как и в 6 4, последовательное сравнение коэффициентов прп — .1, О, 1, ..., в левой и правой части приводит к соотношешим Аио= О, (5) 1А ию ! -г- 1- [и,[ = 0 длЯ и = О, 1..., . (6) Для решения и уравнения (5) снова должно быть !',>=[А,'=0 Следовательно, семейство >у= сопз1=с есть семейство характеристических многообразий с заданными ьачальными данными а(х, 0)= =,-(х). Предположим, что ранг матрицы А равен й — 1 и обозначим правые и левые нуль-векторы А через г и 1 соответственно: Аг =О, ;А =О.
Тогда мы будем иметь соотношение из =аг, где а — некоторый скаляр. Умножим уравнение (6) при».=О на 1 и по>!) чнм для функции иа, а следовательно, и для а, соотношение (8) Ы[ио[=11.[а [=О, совпадающее с соотношением (11') в 6 4. Это соотношенле позволяет определить а из обыкновенного дифференциального уравнения вдоль лучей, принадлежащих характеристической поверхности >а = сопз1, если известны начальные значения а при 1 = О. Кроме того, если мы предполомьим, что функция и известна, то уравнение (6) при а.=О превращается в систему линейных уравнен >й 632 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
