Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 127
Текст из файла (страница 127)
(3) у=о С помощью простой замены переменных мы всегда можем преобразовать Е в такой оператор, для которого форма (и, Ви) положительно определенна. Мы введем вместо и функцию -як п=е 'и (4) ~г А1тг1+ В'и = О, В =В+РАо. (1а) Так как, по предположению, матрица Аа положительно определенна, то квадратичная форма (и, В*и) также будет положительно определенной в любой заданной области, если постоянная р выбрана достаточно большой, В частности, мы можем считать, что (и, и) . 2 (и, В"и).
(6) с положительной постоянной р. Отсюда получается, что Е [и[= = ее и [Е [и[+ р Аоп[ = 0 и, следовательно, 4 8. Интегралы энергии дяя гигтгл< пгрпого порядка 647 Пусть Π— область, имеющая форму линзы, описанная в й 7, т. е, область, ограниченная двумя поверхностями 5а и 5, причем обе онп пространственного типа и соединены по нх общей границе. Тогда справедлива следующая теорема единственности' ): если решение и риано нулю ни 5а, то оно обращаетсн в ну,гь на любой поверхности 5, <готория образует с 5з линзу пространственного типа, Доказательство сразу получается с помощ ю интегрирования равенства (2) по линзе О, Полученная таким образом формула Гаусса имеет Вид О = ~ (<г, Аи)с<5 — ~ (и, Аи)г/5+ 0(и, В<г)дх, где д5 обозначает элемент поверхности, <эх=г<хзг<х<г<хг ...
обозначает элемент объема, А — характеристическая матрица на границе. Так как обе формы (и, Ли) и (и, Ви) положнтслы<о определенные, отсюда следует, что и обращается в нуль на В. Заметим, что в этом доказательстве мы пользовались теи, что 5 — пространственного типа, но не пользовались пространственным характером 5а. Если В гождествепно обращается в пуль, то оператор В называется консервативным. В этом случае „энергия' Г(и А')<75 одинакова на поверхностях 5„п 5; этот факт можно ннтерпретиро. вать как „сохранение энергии", что оправдывает название „интеграл энергии". 2.
Интегралы энергии первого и высших порядков. Мы будем вь<делять з качестве особой переменной время ха= — 7 и, как и ранее, предположим, что гиперплоскость ! = сопэ1 — пространственного типа. В соответствии с Э 3, можно ввести такие новые неизвестные функции а, что дифференциатьное уравнение прил<ет более простой внд В ! а) = и, + ~~ г1 г<г, < -1 Ви = О, < где иатрицы Л' по-прежнему симметричны. Мы рассмотрим специальные линзообразные области, или, точнее, однопараметрические семейства линзообразных областей, построенных ') Читатель мо<кет сравнить последующие рассуждеш<я с доказательс<вои теоремы Хольмгреиа в гл.
Ш, приложение 2. Доказательство теоремы Хольмгрена основано на существовании решения задачи Коши для сопря<кеиного дифференциального уравнения, но в неи не используе<ся ни симметричность, ни гпперболичность. 648 Гл. УА Гпперболтесппе ярпвпеппя со мпогпмп перемеппымп следующим образом. Пусть Р— точка в пространстве Г, х с положительным Г.
Пусть Гр — обратный копоид зависимости для точки Р (см, () 7). Обозначим через )7ь пересечение Гр с гиперплоскостью г= — )г, Теперь рассмотрим линзообразную область, ограниченную поверхностями Зр=)7р и Б,= гсь+ М„, где ̄— часть поверхности (полости) коноида, заключенная между гиперплоскостями в=О и 7=И. Как мы видели з 8 7, Мл — поверхность „слабо" пространственного типа, т. е.
форма (и, Аи) неотрипательна на Мгп Так как поверхности гср и Дь пространственного типа, то справедлива следующая сформулированная ранее теорема единственности. Если фуьпсция и удовлетворяет уравнению Е(п]=0 внутри Гр и обрпщаепься в нуль на )7р, то и обрил(летпя в нуль всюду в Гт Из этого результата получается следующий важный факт.
Значение функцшг и в точке Р однозначно определяется значениями С)и) = 7' в Гр и данными Коши на )7р, следовательно на значения и в точке Р не в.лияют данные задачи вне Гр. Этот факт, конечно, оправдывает название,коноид зависимости" для области Ггп Если мы введем обозначение' ) (7) то из доказательства теоремы единственности, данного в предыдущем пункте, в предположении, что (и, Ви))~0, следует энергетическое неравенство )) сс (д) )) ( )) и (О) )). (8) Аналогичные неравенства справедливы для интегралов энергии ))и(й)))г порядка г, которые определяются следующим образом: ))и(Ь)))'= ~' '5' )Гдви)гдх, я)ь) (р~~г причем суммирование в правой части распространяется на все частные производные Опи порядка )р) (г по переменным х(множество всех этих частных производных мы будем обозначать вектором )Г).
Энергетичетсое неравенство порядка г имеет внд )) и (Ь) )) г ( с )) и (О) )),. (10) ') Введенное здесь обозначение отлячается от того, которое применялось дая «максиььум-нормы» ))и,') = «пах) и) в га. '1», (1 б и 7. В В. Интегралы энергии для еипем первого порядка 649 ))и(й))) (с ))и(0)!), [)и(й)! = ) р ))лпи)гдх, (1 1) (9') яэ ~р~ еет причем суммирование теперь распространяется на все частные производные функции и(х, 1) порядка г'(г, а не только на производные по переменным х. Наконец, для решений неоднородного уравнения Е[и) = у' справедливо следующее энергетическое неравенство: )) и(й)))г~ 2)) и(0)))"'+ / )' г" (г)))гдт, г )) У(1),')з= ~ у'(х, г)дх.
(12) где яю Чтобы доказать неравенство (12), мы воспользуемся тождеством (2) неравенством 2 и г ( из + г'г и применим неравенство (6): 2(и, Ви) — иг)~ О. Здесь с — постоянная, зависящая от максимумов модулей коэффициентов оператора г. и производных этих коэффициентов до порядка г включительно. (Всегда предполагается, что произведена замена (4) с экспоненциальным множителем, содержащим достаточно большую постоянную р.) Доказываются эти неравенства так же, как обычное энергетическое неравенство (8). Нало только применить те же самые рассуждения к системе дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет вектор эт; эта система получается дифференцированием г'.[и) =0 по переменным х.
Таким образом мы получим систему уравнениИ вида Л [)т)+ М[т = 0; здесь один и тот же оператор г' применяется к каждой отдельной производной гл'и, а М[т обозначает линейную комбинацию всех компонент )т. Дифференциальное уравнение (1б) и уравнения, получщшые из него дифференцированием по 1 и х, позволяют выразить все производные функции и порядка г через производные и по переменным х порядка г'(г. Сопоставляя это с энергетическими неравенствами высших порядков (10), мы получим Г150 Гл. Рй Гиперболические йрагнгнил го многими перепенными Следующий аналогичный результат справедлив относительно интегралов энергии высших порядков: /'сс (Ь) /'з:.: с // сс (О) й + с / ,'// (1) ~! дГ. (12а) Как будет показано ниже, все эти неравенства имеют важное значе- ние лля построения и исследования решений, а не только для дока- затель тва единственности.
') Сошлемся иа статью Фридрихса [31, в которой рассматриваются вопросы существования и едивствениосги для симметрических систем, не обязательно гиперболических. См. также работу П. Лакса и Филлипса (1) я Ггаффа (ЗР 3. Энергетические неравенства для смешанных задач. Интегралы энсргии из п. 2 позволяют нам немедленно распространить доказательства единственности на некоторые важные классы задач, а именно на смешанныс задачи для симметрических, но не обязательно гиперболических уравнений, содержащие начальные и гранич. ные условия (см. гл. '4, й б). В этом пункте мы кратко укажем, кзк можно осуществить такое обобщение ').
Мы ограничимся гипер. болическими смешанными задачами и даже такими смешамнмла задачижи, содероггогцомо напольные а ариничные условия, в которых выделена временная переменная у= хи н предполагается, что дифференциальные уравнения име|от вид (1б). Такие задачи состоят в том, чтобы найти решение и уравнения (16), определенное для всех х в заданной области пространства 0 и для всех положительшех С когда в 0 заданы начальные условия и(х, О); кроме того, решение и должно удовлетворять некоторым условиял~ на границе 5 области 0 (см. также гл.
т), й 6, п. 4). 14ы предположим, что этн граничные условия — линсгппче однородные соотношения между компонентами и на 8. Они могут изменяться от точки к точке границы 8 и зависеть от времени Г. Физически они могут иметь смысл огоаничений, наломсенных на систему, когда ее рассматривают только в области 0 (например, кннематпческис условия); илл же они могут выражать взаимодействие между системой и внешними факторами, ограничивающими систему, например отражение, преломление, закрепление, затухание, остывание, испарение, излучение и т. л.
Наши рассуждения будут касаться только единственности; обгцне доказательства теорем существования для смешанных задач остаются аа пределами этой книги, хотя соответствующие тсоремы для задачи Коши приведены в й 10 (см„однако, гл. Ч, й б, и. 4 и приложение для случая двух независимых переменных). 651 З д. Внц гро.сь! ввергни дяя евсеем первого порядка Мы позволим себе обозначать через В: у(хс, хз ..., хн) =-О либо границу области О, либо вертикальную часть границы цилиндра л, перпендикулярного 1 = О, построенного над границей 6. На 3 характеристическая матрица А = ~с ссАс просто равна с=о А= я',";,Ас !.-.! так как компонента нормали к д по направлению оси 1 обращается в нуль. Основная цель этого пункта состоит в том, чтобы сформулировать соответствующие граничные условия на Л (или 5) при г ) О, которые вместе с данными Коши на 0 гарантируют единственность решения и в то же время таковы, что можно ожидать и существования решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
