Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 129
Текст из файла (страница 129)
гл. 1, 6 2, п. 2) произвольную гиперболическую систему с различными характеристиками можно свести к слабо связанной системе, то метод Лере охватывает такие гиперболические системы уравнений. Ключом к теоремам единственности [Э 8) и существования Я 10) являются энергетические неравенства. Поэтому мы ограничимся тем, что покажем, как можно получить энергетические оценки без предположения симметричности, 2.
Энергетические тождества и неравенства для решений гиперболических уравнений высших порядков. Метод Лере и Гординга. Метод, примененный в 6 8 к уравнениям второго порядка, состоял в том, что уравнение Е[и] = 0 умножали на дгг!дг, и полученное квадратичное выражение интегрирова.чи по линзообразной области, причем с помощью интегрирования по частям результат удавалось свести к сумме интегралов по области и по границе от квадратичных форм относительно первых производных функции и.
Последний шаг состоял в доказательстве того, что граничные интегралы — положительно определенные. Чтобы обобщить этот метод на уравнении высших порядков, мы должны 1) выбрать подходящий ') Построение общей теории начал И. Г. Петровский, см. работы [5] и [4~. ) Изящные рассуждения Лере даны здесь в изложении Гордиига [3]. 9 9.
Энергетические оценки оял дровиениа веявших воряоков 557 множитель, 2) произвести преобразование с помощью интегрирования по частям н 3) установить, что граничные интегралы положительно определенные. Пусть Š— гиперболический оператор порядка т. Множитель булет иметь вид И [и), где И вЂ” некоторый оператор порядкз т — 1.
Прежде чем выбрать конкретный вид оператора И, мы выразим произведение И [и) Е[и) как сумму дивергенцни и некоторой квадратичной формы относительно производных порядка, меньшего т. Это формальное то>кдество не зависит от гиперболичности оператора Чтобы вывести его, мы ограничимся членами порядка т — 1 и т в операторах И и Е соответственно, так как произведения, содержащие члены более низких порядков, можно включить во введенную ниже форму Ф.
Пусть 6 — некоторая область, а  — ее граница, причем компоненты единичного вектоРа ноРмали к гРанице Равны Тр Тогда сУществуют две формы д(и) и 0(и), квадратичные относительно производных функции и до порядка т — 1 включительно и такие, что / ~ И[и) Е[и]г(х= ~г)(и)Ю-[- ~ ~ 0(и)г(х, где г)5 — элемент почерхности на В, а г(х — элемент объема в Е). Лостаточпо доказать формулу (1) в случае, когда И и Š— одно- члены, И = аО,О ... О и Е = ЬО .'.. 0„„,, где символы О, У=!, ..., 2т — 1, обозначают частные производные по некоторым переменным (эти переменные не обязательно различны для различных Е), а а и Ь вЂ” функции х. Интегрируя по частям по переменной, соответствующей О, получаем ) аЬ (О, ...
О,и) (Ош ... Оз,и) г(х= о = — — )г ~ аЬ (О, ... О„и) (Е)шн, ... О,„„,и) гЕх+ О, где через 0 обозначены члены, которые войдут в () или г), поскольку они, как требуется, являются интегралами от квадратичных форм, а именно — ~ О~ (аЬ) (О, ... Ош 1и) (Ов,„! ... Озв,,и) ггх+ а + ~ аЬ (О,, О„,и) (О,, Оп„,и) Т г(Я. в Первый член снова можно преобразовать, интегрируя по частям последовательно по переменным, соотяетствующим Оп ..., и таким образом последовательно перебрасывая дифференцирования Ог из О58 Гл, 1е/ Гиперболические Пуивненил со лноеизги переменныеи первой скобки (... ) во вторую. После нечетного числа 2т — 1 таких операций операторы И и Е поменяются местамн и получится тождество следующего типа; ~ И ! и) Е ! и) а)' = — ~ г~ Е ! и ) И ! и) с()Г + о о +2 ~ у(и) с(5+2 ~ ) (г(и)а)Г, где й и Я вЂ” квадратичные формы относительно производных до (т — 1)-го порядка функции и.
Отсюда следует требуемое тождество (1). Заметим, что Е) = О, если коэффициенты операторов Е и И постоянны 'и если Е и И не содержат членов низшего порядка. Квадратичная форма д(а), связанная с операторами Е и И и поверхностью В, не определяется однозначно, если порядок Е выше двух и если имеется более двух независимых переменных. Но любые две такие формы отличаются на член вида дивергенции на поверхности, т.
е. значение ~ д(и)с(5 не зависит от конкретного выбора в формы гр Если оператор Е гиперболический, а Π— линзообразная область, ограниченная двумя поверхностямн пространственного типа Я, и Яг, имеющими общую границу, то мы попытаемся так выбрать оператор И, чтобы граничный интеграл ~ ас($ в формуле (1) был положительно определенным на 5, и отрицательно определенным на Яг Это будет выполнено, если мы, следуя Лере, выберем оператор Й таким образом, чтобы полости его характеристического конуса норма.лей разделяли полости конуса нормалей для Е в следующем смысле. Пусть Е(1) и И(';) — характеристические формы, связанные с операторами Е и И.
Мы назовем направление Е направлением пространственного типа для оператора Е, если для любого направления 0, не параллельного ь, характеристическая форма Е(ЛЕ+6) обращается в нуль для т действительных различных значений ). !'озарят, что характеристики оператора И разделяют характеристики Е, если форма И(ЛЕ+ 0) обращается в нуль для т — 1 действительных различных значений Л и эти значения Л разделяют') корни формы Е.
Для данного гиперболического оператора Е можно построить оператор И на единицу меньшего порядка, характеристики которого ') Нетрудно показать, что если оператор М обладает этим свойством разделения для одного направления пространственного тина е, то он будет разделяющим для всех направлений просгранственного типа. 9. Энервегические оленки дял уравнений выгишк порядков 659 разделяют характеристики Е. Мы можем, напркмер, взять То, что 1чг есть разделяющий оператор, получается как непосредственное следствие классической теоремы о том, что корни много- члена разделяются корнями его производной. Теперь мы более точно сформулируем утверждение о положительной определенности граничных интегралов в формуле (1). Мы прелположим, что имеем самый простой случай; пусть 5, и Яе — две гиперплоскости Г=О и (=Т, и пусть коэффициенты операторов Е и ччГ постоянны.
Мы предположим также, что рассматриваемое решение и обращается в нуль для достаточно больших значений пространственных переменных (т. е, переменных в гнперплоскостях о). Мы утверждаем тогда следующее. Если оператор Л гиперболический и его характеристики разделены характеристиками оператора И. и если гиперплоскости 1 = сопз1— поверхности пространственного типа, то квадратичный функционал Г у (гс) аьх, связанный с операторами И, Ь и гиперплоскостями Г = сопз1, является положительно опрвдвленныл, т. е. для всех гладких функций, обращающихся в нуль при больших значениях 1х,'и мы имеем / ьу(н)г(х )~ сопз1 / ~„ /О"и," ь(х, где сумма в правой части распространена на все частные производные функции и порядка, ие превышающего гп — 1. В аналогичной ситуации для операторов второго порядка мы проверили положительную определенность соответствующего квадратичного функционала ) дг)х, показав.
что подинтегральная функция д(а) есть положительно определенная квадратичная форма относительно производных первого порядка от функции и. В общем случае это не всегда справедливо и, следовательно, такую проверку произвести невозможно. Вместо этого мы применим критерий положительной определенности, принадлежащий Гордингу 13].
Обозначим через (я',(1) преобразование Фурье по пространственным переменным функции д"игдГ'. Пусть О"и — любая частная производная от и порядка лг — 1; запишем ее как О, ... Й„...дрн/дГ", где символы 1ян ..., 1я, „снова обозначают дифференцирование по пространственным переменным. (Согласно хорошо известным правилам, преобразование Фурье производной 0"и равно "1, ... я,,(я',.) Применяя формулу Парсеваля, мы можем 660 Гл. )г!.
Гиперболические уравнения со многими переменньгми выразить ~ !!сух как интеграл но пространству (от соответствующей эрмитовой формы Ь: ~ (у (а) дх = ~ ~~> Ь„~ (1) (Г,(1„с(1, где Ь„„— попинал! степени 2т — 2 — т — р относительно с. Аналогично мы имеем ~ ~~ ~ Г)"а!ЗЛХ = ~ ~'!Ь>ап> ' '((1,!ЗЛЬ, где 1Е) обозначает (с>+ . +1 ) . Таким образом, неравенство (2), Че которое мы хотим доказать, эквивалентно неравенству: ~ ~~у, д„,(У,(7а д( > сопл! ~,'» 1Ц' -'-'1и„Р д(. (З) Так как функции У, т = О, ..., т — 1, независимы друг от друга, то легко видеть, что такое неравенство справедливо тогда и только тогда, когда эрмитова форма г> положительно определенна для всех В Таким образом, чтобы доказать неравенство (2), остается только при указанных условиях проверить, что эрмитова форма, связанная с с>, положительно определенна.
По этому поводу мы сошлемся на уже упомянутую статью Гординга. Мы резюмируем наши результаты, касающиеся уравнений с постоянными коэффициентами, как закон сохранения энергии. Г!оло>кительно определенная величина ~ >1(а)а>х, которую можно рассматривать в качестве, интеграла энергии", для всех решений уравнения г.(а)=0 не зависит от С Этот результат можно без существенных трудностей распространить на уравнения с переменными коэффициентами. Можно построить аналогичный „интеграл энергии'. который, хотя и будет зависеть от г, но будет расти с ограниченной скоростью, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
