Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Сфера радиуса г обозначается через й, или й, элемент ее поверхности есть д>>)=г"-' с(ч>, а элемент объема — с(х=г)х> г(хз...с>х = » =-- ~ х !" г(ь>„с( >х ! = ! г !" ' с>м„с>г. Единичные векторы обозначаются через а, >>, и иногда элемент поверхности единичной сферы вместо с>м обозначается через д>а, >)р. Иногда, если это удобно, мы будем применять обозначения, принятые в рассматриваемой области. 2. Некоторые интегральные формулы.
Разложение функций на плоские волны. Для последующего будет полезно собрать адесь некоторые формулы интегрального исчисления в и-мерном пространстве; большинство этих формул касается интегрирования по сферам. Сначала мы рассмотрим интеграл отфункции)'(х)=у'(х>, ..., х„) по шару ! х1 ( г, где г фиксировано. Применяя обозначения х'+ху+ ... +хз =рз=гз — рз, х„=р, мы напишем л-> К (г) = ~ / г (х) Их = >х,'кг эт ~ >1р ~ г'(х>, ..., х„ н р) д>х> ...
ух„ >. (1) — р' км — р' 674 Ггь Н. Гиперболинесние уравнения со иногили ггерепенньглги Интеграл по поверхности сферы Яр т, е. по поверхности ~х~=хг, выражается формулой (2) |ем г Если функция с" не зависят от х„=р, то мы имеем / / Гссйс= ~ /гг'(хг, ..., х„,) ''',' " ' . (3) ~х~=г ежг Еще более важен тот случай, когда функция Г зависит только от одной переменной хп или, в более общем случае, от скалярного произведения х на некоторый вектор 1о; мы будем применять обозначение (х, р) = (хЭ) = р1х 1е В силу того что наш интеграл инвариантен относительно врагцения, мы можем взять р=~„. Тогда формулы (1) и (2) при г=1 дасот следующую важную формулу с ~ К(х~) сф =со, ~ г'(сг, 'х ()(1 — рз) и с(р (4) се - 3 -1 (здесь мы пишем сср вместо с(свн). При получении атой формулы мы рассматриваем пересечение шара ( ~~((г с плоскостью р'„= р, вводим полярные координаты и предполагаем, что,Г = ге (р~ х! ), где р1х)=(хр), например с р='р„.
Тогда на рассматриваемом сечении мы имеем сер,... с(р„,=рн-зНрагог„п Интеграл от функции г" по сечению равен 11/(л — 1))(г' — рз)сл ' ог„ьу(р1х ~), откуда немедленно получается формула (4). Надо обратить внимание на то, что формула (4) имеет различный характер для четных и нечетных и, так как множитель (1 — р ) , < -зьа в подинтегральной функции рационален для нечетных л и иррационален для четнык и, Отметим некоторые частные случап: с = 1 дает '6) Функция ( =1од (1рх1) дает +1 ~ 1ОИ~Хр/ССр=ы„, ~ !Од()З(Х!)(1 — рт)Ы ИРС(р, 5 1д Введение 675 или, как легко вычислить, ~ 1оа ! хр ! ф = м„! оа ~ х 1-(- с, (4а) р=г где с — постоянная.
Для 7' = !хр! мы получим / ! хР ( ф~ = 2м„, ~ ( х 1 р (1 — рт)'" ~не ~ур, откуда следует, что ) ~ !хр1~7(т= " ' )х!. (45) Эти формулы дают для функций ~ х' и 1оа.1х! представление в виде суперпознции плоских волн. Формулы (4а) и (4б) вместе с основной формулой теории потенциала позволяют получить разложение произвольной функции К(хн ..., х„) на плоские волны, т. е. на функции, зависяпше только от линейной комбинации (зх) пространственных переменных хн ...,хл, где а — единичный вектор.
Это разложение имеет следующий впд: 4(2п)' ( — 1)гя ' г" (г)=Ь~,"' " ~ ~ г(х)!((х — з)а)1гЬггх (5) для нечетных а и (2п)" ( — 1)'" юд у(а)=5",га ~ / у(х)1од/((х — а)а)1г(иг(х (5') для четных п, причем Ь", обозначает т-ю итерацию оператора Лапласа, взятого по переменным х, а интегрирование распространено па единичную сферу а'=1 и на все пространство х. Можно предполагать, что функция у'(х) обрагцается в нуль для больших значений 1х !, так что не будет возникать трудностей, связанных с вопросом о скодимэсти интеграла при ,'х / -э оо.
Формулы (5) дают разложение функции г'(а) на плоские волны, зависящие только от (х — з, а). Лля того чтобы доказать их, мы напомним теорему Пуассона из теории потенциала (см, гл, 1т7, й 2). Функция (~) = / ... ~ у (~) ! — 1' " г(~ для ) 2, (6) ( л)ьм ~(~) 2 Г ... ) У(~)1ой! — х ~ ~~ 1 для и =2 (6') является решением уравие ния Пуассона Ь,те= г'(г). Здесь Ь, обозначает оператор Лапласа относительно независимых переменных 676 Гл.
Л. Гиперболические цраенения ео многими переменньсчи Палее, элементарные вычисления дают и-пи (и — )' ~х~=( — 1) 2 !х~ лля нечетных и, (7) 2 -е ( 1) -аи2 !о8~х,= 2 „~( — )!) !х! и лля четных и (7') Эти формулы вместе с (4а) и (46) сразу дают представления (5) и (5'), если подобрать соответствующим образом настоянные множители. Мы просто должны выразить ,.'х( в формуле Пуассона через формулы (7), (7'), заменить ~х~ на ) а — х ~, а затем вынестн итерированный оператор Лапласа за знак интеграла. Используя аппарат обобщенных функций, мы можем найти очень сжатую форму для только что доказанных соотношений; мы дадим ее злесь и будем пользоваться ею позднее, в 2 15.
Сначала мы напомним, что соотпошсния (6) и (6') можно записать в виде л-г для ! 1 (2 — и) а„~ х (и 1 — 6!пах для и =2, 2я 6 (х) = (6'") где 6(х)=5(хн ..., х„) — дельта-функция в и-мерном пространстве; тогда формулы (7) и (7') дают о(хн ..., х„)= — о(х)= о (х, а)да для нечетных и; 2 (2г)п- (8) 3 (хн ..., х„) = о (х) = 1)!леяиг !од~Ю/(х, а)!еЕа для четных и. (9) (2п)" Здесь 3(х, а) — дельта-функция, зависящая только от одной переменной (х, а), 'о' — ее (и — 1)-я производная, а производную Ип 1оь!и)! а!= и 1оя! л~ (10) надо понимать как обобщенную функцию.
Следующий изящный метал, принадлежащий Джону (4) и Гельфанду и Шилову (1), позволяет получить общее выражение лля четных и нечетных и. Мы рассмотрим для действительных значений а главное значенис функции !ой' а = !од ~ л !+ +гп(1 — т!(а)), где 5 — функция Хевисайда. Тогда последовательные 677 Э 72. Уравнения второго оорядла производные этой функции, если понимать их как обобщенные функции, можно записать в виде И!Ояг 1 1 и'г = 1081 ! (г) = — — я!8 (г), а'г 1ои г, 1 = 1Ойл 1 (г) = — — — я)О (г).
В этик обозначениях представления (8) и (9) можно объединить фориулой О (хн ..., хв) =О (х) = - . в ~ 1оа1в>(х, а) Ик, (11) — 1 справедливой ') для произвольных п. Это очень интересное и полезное разложение дельта-функции на плоские волны. Доказательство состоит просто в надлежащей интерпретации полученных ранее результатов. Формула Пуассона выражает 8(х) через д(х! в. Следовательно, функцию о(х) можно получить с помощью многократного применения оператора Лапласа к левым частям соотношений (7), (7'), а следовательно, и к яевым частям формул (4а), (46).
Согласно правилам действий над обобщенными функциями, можно применять оператор Лапласа под знаком интеграла. Одновременно мы заметим, что для любой обобщенной функции г' одной переменной (ах) мы имеем Ь7 (ах) = /в(ах). Это получается с помощью прямого дифференцирования с учетом того, что аз=1. Тогда формулы (8) и (9) непосредственно получаются, если соответствующим образом подобрать постоянные коэффициенты. 9 И. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 1. Задача Коши. В соответствии с гл.
1!1, % 3, мы рассмотрим все гиперболические дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если изучим дифференциальное уравнение частного вида и — Ьи — си=О н с начальными условиями и(х, 0) =О, и,(х, 0) =ф(х), ') В силу симметрии области интегрирования, мнимая часть обращается в нуль. 676 Гл. П. Гиперболические уравнения ео многими переменными где г,)(х, г)= — ~ ~ ф(х+ рг) йр. Зв — 1 Решение имеет одинаковый вид для четных и нечетных значений числа п пространственных переменных. Но следующее представление реше ~ия показывает, что оно различным образом ведет себя для четных н нечетных и: (-,тв) в 1в -3)Д (г (,)) для нечетных п, (4) 1 „г) д Ып-2!г2 „3 — (Г" 'ут*) для четных и, гдв о д 1 д (6) Если мы хотим получить формулу, объединяюгцую выражения (4) и (5), справедливую в для четных и для нечетных и, то мы должны где ф(х) есть функция от хп хт, ..., х„с непрерывными производными по крайней мере до порядка (л+1)12 в случае нечетного л и (л+ 2)72 в случае четного и.
(Чтобы понять целесообразность этого предположения, см, В 8 и данные ниже явные выражения.) Выше было указано. что, если и есть решение задачи Коши, то о = и, также есть решение соответствующей задачи Коши, для которой начальные условия имеют вид о (х, О) = ф (х) и о, (х, 0) = О. Поэтому для того, чтобы решить задачу Коши с произвольными начальнымн данными для и и ии в силу принципа суперпозиции, достаточно найти решение задачи Коши (1'). В этом параграфе мы будем применять интеграл фурье, чтобы получить формальное построение решения задачи Коши. Проверка результата, полученного с помощью формальных операций над интсгрзлом Фурье, здесь пропускается, так как в последующих параграфах тот же результат будет получен различными другими методами, Сначала мы рассмотрим только волновое уравнение ип — Ли=О с начальными значениями и(х, 0)= О.
и,(х, 0)=ф(х). В этом пункте будет получено явное решение г де †и(х, 7)= 2, „) (7" — гт)'" ' гЯ(х, г)дг, (2) о б !2 Уравнения второго гшрядяо воспользоваться понятием дифференцировзния дробного порядка. Тогда формула (4) годится для обоих случаев (см. 2 !3, п. 2). 2. Построение решения для волнового уравнения. В соответствии с идеямп гл. 111, 2 5, мы попробуем записзть искомое решение в виде и = ~ ... ~ 1(а)ет (от~а)пр1г(а, (7) где а обозначает вектор ан ..., а„, Р = ")l аз -+ а'+ ... + а' = ~ а (, (а, х) — скалярное произведение а и х, а г)а =г(а, ...
Иа„. Из начального условия, заданного при 1=0, мы получаем с помощью дифференцирования под знаком интеграла ф (х)= ~ ... ) РА(а)е' шаг(а, Перестановка операций здесь и дальше оправдывается с помощью непосредственной проверки результата '). формула обращения интеграла Фурье немедленно дает РА= л ~ ~ ф(я)Š— г 1оне~г то (8) Подставляя вместо А в формулу (7) это выражение и меняя порядок интегрирования, получим формальный результат и= — „~ ... ~ ф(г)сгЕ ~ ... ~ ешо1Я-П1 — 'г(а. ') Мы могли бы также воспользоваться понятием обобщенных функций, которые применяются в других местах втой главы; но для нашей цели зто не нужно. т) Применение 3-функций в других символических функций в сущности возникло нз аналогичных приемов.
Однако для п ) 2 внутренний интеграл в этом выражении расходится, так как в полярных координатах мы имеем т(а =г(ат... ага„= =р"-' ггвгот1р. Мы обойдем эту формальную трудность с помощью следующего приема з). Для нечетных п)~ 3 мы рассмотрим выражение о(х, 1)= ~ ... ~ — „е' 1ейсоз РРсга, (й) Р 880 Гл. Р!. Гиперболические уравнения ео многими леременными а для четных п)~ 2 — выражение Я(Х, 1)= ) ... ) л,,) Е'( л'З1ПРГСРа. Г А (и) Р (9') Для нечетных п)~ 3 формальное дифференцирование дает щг дл и(Х, Г)=( — 1) ' — л О(Х, 1), (9а) а для четных и ) 2 д" и (х, Г) =( — 1)'л ' — —, тв (х, Г). дтл — т (9а') Подставив выражение (8) вместо А(а) в формулы (9) и (9'), мы можем переменить порядок интегрирования по с и а.
В результате мы получим „, ~ ... ~Ф( +()К„(.. 1)д( Ф=д:, 1(„), (10) ~де г= т еж+(з+ ... +!л, а тгг, .г 2 и г ми 1 ! Ге ч~л — зка 0 для Г)Р. Я„(г, Р)= „ / Л(ре)совр(е(р, о (11) где М (Г) — среднее значение, М(Г)= — 1Г... ~ еЫРВ г(ы„, (12) Чтобы доказать этот результат, мы вычислим внутренний интеграл только для веч тных л. (В случае четных и вычисления такие же; кроме того, результат для четных и легко можно вывести из соответствующей формулы для нечетных и.) Сначала вместо и,, и, ..., а, мы введем полЯРные кооРдинаты Р = )г а', + азз+ ... + из и и-меР- ный единичный вектоР Р с компонентами ~, = Р 'ар так что Ии = =рл-' с(рггр. Подстановка этих координат в формулы (8) и (9) и перемена порядка интегрирования дает для внутреннего интеграла в формуле (9) выражение 681 й 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
