Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 137
Текст из файла (страница 137)
+ 3) г ' г -1 ') По разным поводам А. Вайнштейн указывал обобщения этого тожде» ства. Сьь, например, его статью [3]. ') В и. ! этот результат получен для часпюго случая э= (и — 3)/2. б Иа. Решение задачи Коши 701 Нужный нам вил правой части получается интегрированием по частям. Последовательно применяя формулу (22), мы получаем ! '(л ')!'3 ('+" )д"= — 1 ! м- дш, дл ! ... д„, ш з! ~";" ' (1+ ер) (1 —, ')'" — ! Здесь правая часть обращается в нуль, так как длнл зщ = О. Следовательно, для любой функции аь обладающей непрерывными произволными до порядка п — 1 включительно, ! (-,'," ' Г у (1 + гр) др = О. (23) — 1 для р = дл мы имеем ! 1! (1+ гр) Ф!е =— е' О+ е) — е' (г — е) -! ! 1л (й(1+ г)+й'(1 — г)], 1 откуда в силу (23) получается утверждение (21).
Следовательно, наше исходное утверждение доказано, так как в случае сферической симметрии оператор Дарбу совпадает с оператором П . ~ еЗа. Решение задачи Коши для уравнения упругих волн с помощью се)аеричесних средних Метод сферических средних в трехмерном пространстве (см. й' 13) приводит к изящному решению задачи Коши для уравнения четвертого порядка, описывающего распространение волн в изотропной упругой среде'). Малая упругая деформация, переводящая точку х бесконечной среды в точку 1, может быть записана в виде 1, = х!+ и!(хн хм хз, 1), или, в векторных обозначениях, 1= х+ и(1). ') В ятом параграфе мы позволии себе пользоваться обозначениями, применяемыми в теории упругости, что облегчит сопоставление полученных резулыатоз с соответствующей литературой.
702 Гя ЬЕ. Гиперболические урпвгченпя со многими переменив~ми Связь между напряжениями и деформациями (см. т. 1, гл.!Н) для тен- зора напряжений ЕО записывается в виде Е' =Ы О+(к(и„,+ля) Е где )ч р — постоянные упругой среды, 3Π— символ Кронекера, а 0 = 0! у и = ~~~~ и„. Уравнения движения имеют вид ХЕ4,= рД и +. (>.
+ !я) О, = ри„. Е l или р Ди+(г+ и)3гад 0 = реги, где р — плотность. Вводя скорости сп с, с помощью формул (2) '+ йи с =— г и с г Р и операторы второго порядка Д=т-сД Е-= е — сД г бг,г бгг г г дгг г мы легко можем получить для 0 уравнение 1.,101= О, Для вектора и мы получим дифференциальное уравнение чегвертого порядка Е.,Е. (и)= О. (3) Таким образом, для тензора напряжений мы имеем уравнение Е,(г(Ег71=0 (Е, /=1, 2, 3). Попутно мы заметим, что можно найти частные решения уравнения (3) при следующем предположении: ею= О аля 1+12 Тогда для ~ Еи = р = (3), + 2(я) 0 мы получим С.,101 = Е.,(р) = О.
Эти решения соответствуют волнам сжатия только с нормальным давлением р и без напряжений сдвша. 5 !За. Ре!иечае задачи Коши С другой стороны, волны сдвига без сжатия представляюгся решениями, лля которых 6 =0, С.з( ) =-О или б~ ((!") — О, Так как Ь! и б, являются волновыми операторами, характеристический конус лучей лля уравнения (3) состоит нз двух концентрических круговых конусов. Замечательно, что задачу Коши лля уравнения (3) с начальнымн векторами и (х, О) = Га(х), и,(х, 0) = Г! (х) (4) можно решить и проанализировать с помощью сферических средних, как зто было сделано лля трехмерного волнового уравнения.
Сначала из (2) и (4) мы получаем кача:чьные значения при г = О лля функций ии, иии просто подставляя значение Г = 0 в уравнение = с, Ьи+ (с, — с ) к!ад б(г и Теперь введем сферические средние по сферам радиуса г с центром в точке х следующим образом: К(х, г, Г) 4 ~ и(х+г,', Г) чаг, 1 (6) ы,! чр (х, г)= 4 ~ ! !(х+г-")г$ы (1=0, 1, 2. 3); (7) !Е/=1 г' и чр рассматриваются как четные функции г. Мы имеем !'(х, О, е) = и (х, С), ср! (х, 0) = г! (х).
В силу наших прежних вычислений Я 13, п. 1) мы имеем Ь (Гзе) = (Г!)ао Ь (Г!р,) = (гр!)„; кроме того, при 1=0 мы имеем начальные значения —.У=!р, (1=0, 1, 2, 3). дт! Взяв среднее значение в уравнении (3), мы сразу получим дз , д' де дз ) — — с' — !1 —.— — ср — ) (г!') = 0 еие ! дг' ! ( д!з '! дгз ) (За) и в дифференциальные уравнения, полученные из него дифференцированием: ии (х, 0) = с' ЬГ + (сз! — саз) Дтас1 д)ч Га = Г (х), ииз(х, О) = с.,'АР!+(сз! — сзз)ад!ад с)га Р! = Гз(х).
(б) 704 Гл. И. Гиперболические уравнения со многи.чи пере.ченнь!ми Теперь можно получить явное решение уравнения (За) с начальными условиями (7). Действительно, для любой фиксированной точки х функция г)(г, г), которая в силу развитой выше теории опрелеляется однозначно, может быть представлена в виде г/(г1)6(г+ с!)+Оа(гс!)+0(г+се)+04(гсе) Четыре сферические волны 6 определяются начальными условиями при г=О: 6, + 01+ Оз -)- 6, = гоо, с,О', — с, О,' + с 0„' — с,О„' = г-и с',6," + с',6,,'' + стаОз" -~ — с',О„'' = г171, Сначала мы рассмотрим случай, когда ~о — Г1= ~1=0 ~з=~ так что 90 41 'г! О 473 = !!и Мы найдем, что 6, — четная функция Г 1 О, (г) = ) (г — з)ез4!ь (з) с!з 4с,(с, — се) и что Оя (г) О1 (г) Оз (г) 01 (г) 64 (г) 01 (г) сг 4 с 1 Обозначим решение, соответствующее начальным значениям О, О, О, Р, через У(Р); тогда мы получим (7(р)=()(х, 7)=)(х, О, С) =26',(с,т) — — '," 6',(с,т); следовательно, с) (Г) = )г (р") — РУ ()'), где е,! (! ()ь) = — —;, — ) (с,7 — з) з!о (з) с(з, с, (г; — ст) л е,! ~'(о) = — ! / (сз! — з) з4е(з)с(з.
са (с1 — сз) о Здесь функции (г и В' удовлетворяют уравнениям )г(Р) сгД)г(74) )г( тДР) -д —, а (Г) = Л7 (Г) = В'(се дЕ), й 44. Метод плоских средних .значений Это соответствует разложению волны на безвихревую, или дилатационную часть (то1 1/ = О), и соленоидальную часть (51ч 1/=О), распространяющиеся соответственно со скоростями с, и см Кроме того, мы можем написать, что сст с,с и>с>=,', [1" >> ' ' с ->- 1>т>,>>,к — Ф>с ~: с, (с, — ст) с, следовательно, 4кс (с'--сг)Ц(Г)= ~ ~ ~ ' ' Г(х+с)стс+ В> <ссс + ~ ~ ~ " „' " Г ( + 1) й1. с,т<ц!<сс Решение и, соответствующее общим начальным условиям Го, Г,, Г„, Га определяется формулой сл (Гз -- (с"', + с~~) дГ,) +- ат с/ (Гг — (сг+ сг) ЬГо) + Тогда. согласно 15), и = ст ( — ст дГ> +(ст — стг) атас) д)ч Г,) + ,р тт + — „г с>( — ссйГо-';-(с~ — с.)угадсИч Г )+ —, У(Г,)-)- —, П (Г ), Отсюда сразу можно получить следующий замечательный факт: решение не зависит от начальных значений внутри сферы радиуса с Г, так как выРажение — соаГ>+(ст — сг)йтаб б)ч Г, ЯвллетсЯ дивергенцией.
Следовательно, область зависимости в строгом смысле не содержит внутренности меньшей сферы радиуса сгг вокруг точьнс х. В самом деле, область зависимости представляет собой сферический слой между этой сферой и внешней сферой радиуса стг (см. ~ 15, п. 4). ф 44. Метод плоских средних значений. Применение к общим гиперболическим уравнениям с постоянньсми коэффггг4иентами В этом параграфе мы обращаемся к общему методу, позволяющему исследовать произвольное гиперболическое уравнение или систему с постоянными коэффициентами.
В соответствии с вводными заме~аннами, сделанными в й 11, и. 1, будет получено представление 706 Гл. П. Гиперболические уравнения со иноеими оерел~еннылли для решения задачи Коши в виде суперпозиции плоских волн '), что позволяет обойти трудности, связанные с переменой порядка операций. Кроме того, более тонкий анализ в следующем параграфе позволит снять предположение о постоянстве козффициентовт).
1. Общий метод. Пусть л'. [и[ — произвольный линейный гиперболический дифференциальный оператор порядка л относительно функции и=и(хп ..., х„, Г)=и(х, (). Мы рассмотрим задачу Коши для уравнения 1,[и! =д(хп ..., х„, 1), (1) где функция д по крайней мере лг/2 раз дифференцируема. Начальные значения задаются для функции и и ее первых л — 1 производных: д'и — =и,;(хп ..., х, 0)=Д (хн ..., х,), (2) л=0, 1, ..., л — 1, причем lлн~ — функции, гладкие в пространстве х. Так как оператор ь [и[ гиперболический, область ззвисимости для любой фиксированной точки (хп ..., х„, 1) ограничена; следовательно, мы можем без ограничения общности считать, что функции д, Дн, и и равны нулю вне некоторой большой сферы в пространстве х.
Задачу для уравнения (1) можно свести к задачам для гиперболических уравнений только с двумя независимыми переменными. Такое сведение производится с помощью интегрирования уравнения (1) по п — ! переменным х, например по хм ..., х„; тогда при наших предположениях все члены, содержащие производные по любой вз этих переменных, пропадут, Следовательно, останется дифференциальное уравнение относительно функции двух переменных У(хи О= ~ / ло[х ... е(х„.
Можно проделать это в более общем виде: выберем произвольный единичный вектор а=(а, ..., а) и вместо хн ..., х„введем новую ортогональную систему координат уп ..., у,, где я у, = (ах) = ах = ~ а,х„= р, (3) ° =! ') См. Курант и А. Ланс [Ц, стр. 501. ') Хотя рассуждения 5 15 более общие, чем те, которые приводятся здесь, данный вариант метода кажется оправданным, так как он является более прямым. 7от Э И. Метод плоских средник значений а у, ..., у,— другие линейные комбинации переменных х,, согласованные с этим выбором ун Затем мы рассмотрим интегралы от функции и (или других функций) по плоскостям р = сопз1 с нормалью а.
Эти интегралы мы будем обозначать следующим образом: 1(р, 1, а)=1(р, 1, а, и)= ~ / и(х, 1)ст5„, Х' ' (4) гле и5„— элемент поверхности на такой плоскости. Можно также написать 1(р, Г, а) = — / ~ / и (х, 1) т/х, (4а) хому где интеграл берется по полупространству (ха) )~ р. Или, применяя Ь-функцию Дирака, мы можем получить т1р, Г, а) = ) ~ ~ и(х, 1)5((ха) — р)е(х, (4б) 1(р, 1, а)= ~ / ийо'„= ) ~ )' и(х, Г)Ь((х — г). «)т/х. (4в) ~л-е,«,-о Теперь, если уравнение (1) проинтегрировать по ум ..., у„, то все производные по пространственным переменным, кроме производных по переменной р, обращаются в нуль в силу того, что на бесконечности функция и и все ее производные равны нулю.
Таким образом мы получим дифференциальное уравнение для новой неизвестной функции 1(р, 1, а), зависящей только от двух переменных р, 1 (а здесь параметр): 1." (1 (р, 1, а) ) = д (р, 1, а). Правая часть уравнения (5) определяется формулой /,"(р, 1, а)=1(р, 1, а, й'(х, Г)), (б) а начальные значения при /=О имеют вид 1(р, а) =1(р, О, а, /т(х)), де , /(р, 1, а)=/(р, О, а, /ее,(х)). В силу определения гиперболнчности, данного в гл. П1, Ч, 1/1, легко видеть, что полученное уравнение (5) будет гиперболическим при любом выборе а.
Следовательно, для любого а уравнение (б) где интеграл формально распространен на все пространство х, Если гиперплоскость содержит фиксированную точку г, то мы имеем р=(х, а) и 708 Гл. РД Гиперболические уравнения со мноеыма переменными ы=! тле интеграл l" относится к плоскости (ха) =(га)= р. Поэтому, очевидно, функцию е можно выразить как среднее значение от функции и с некоторым весом, причем вес ш зависит только от рзсстояния между х и г: 1х — г( =Кх, — г,)а+ ... -1-(х„— лп)з) '=г, т. е.
И(а, Г)= ~ ~ ... ~ и(хн ..., хп, Г)ш(1х — г))с(х, ... ах„, (9) где из=то(г) — положительная функция; точнее, ( (х, 7) = ы„, /'... /,"' ",(х, (10) причем интеграл берется по всему пространству. Чтобы доказать формулу (!О) (см. также Э 15, и. 2), мы в формуле (4) заменим и на произвольную функцию 7'(г). Тогда получим у'= ш„, / г" ау (г) с(г, а где взп , — элемент поверхности (и — 1)-мерной единичной сферы. Интегрируя по и, мы в силу (8) получим 1 =шпал-з ~ г" У(г)с(г о ') Последнее предположение нетривиально; существуют случаи, когда оио ие выполняется. Однако надо подчеркнуть, что это предположение выполняется тривиальным образом, если мы поссулируеи существование и непрерывность решения и и имеем в виду только получение представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
