Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 141

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 141)

вй (11а) формулы (11) и (11а) выражают наш общий результат. Конечно, его можно записать менее формально, если в обратном порядке произвести те шаги, которые привели к формуле представления (11) из 9 11, п. 2. Начальные значения !палл>(а(х — Е)) можно с помощью оператора Лапласа выразить в виде 1ой~"'((х — Е)и)=Ь',"+ У!ойг ~((х — Е)а) 1од~ ((х — Е)сс)=а! !оц ((х — Е)'и) (и четное), (и нечетное), где функции !ой'-П и !од'-г! непрерывны и диффереицируемы. Таким образом, мы можем представить У, а следовательно, и гг, через итерированный оператор Лапласа по переменным Е, примененный к интегралам от непрерывно дифференцируемых матриц.

Выражение обобщенных функций через производные обычных функций можно применить также к обосновзнню соотношения взаимности (7), которое следует из (3) после подстановки о=[с(р) и и=У(и) и замены 7=0 на 7=-, Так как У(а) и [г(р) являются обобщенными функциями относительно двух различных переменных а и р, то такую подстановку делать можно. Тогда интегрирование по и и р немедленно дает закон симметрии (7). Надо ээметить, что если оператор 7, имеет высокий порядок, то начальные значения для У, а следовательно, и для самой римановой матрицы, получаются более высокой гладкости. По этой причине, например, матрица Римана для уравнения кристаллооптики, которое имеет четвертый порядок, является обычной функцией и ее не надо толковать как обобщенную функцию. Наконец, мы должны заметить, что иэ теорем единственности (9 8, п.

9 или гл. !!1, приложение 3) следует, что матрица Римана тождественно обращается в куль вке кокоида зависимости, исходящего иэ сингулярной конечной точки или начальной точки соответственно. 1(ействительно, из теоремы единственности следует, например, что функция 5 обращается в нуль во всех точках пространства х, 1. область зависимости для которых не содержит особенности. Предыдущую теорию почти буквально можно применить к системе 7. операторов выси|его порядка. Рассмотрим, например, систему б !5. Решение задаю Коши как линейный функнаонал 727 второго порядка а а э Е[и): — ип+ 'Ь~ ~а Аи'и + ~а Аии +-Ви, .=1 а=э а=а Е)/Г!= О, если //(х, т; с, т) =О, Вс(х, т; с, !)=3(х — 1)/ и может быть построена точно таким >ке методом как для аист мы гервого порядка. 3.

Регулярность матрицы излучения. Из символической записи предыдущих результатов легко вывести важные свойства ') решений и получить для решений конкретные выражения. В этом пункте мы покажем, что матрица /с — а, следовательно, и 8 — являетсч обобщенной функцией с особенностями, сосредоточенными на коноиде лучей с вершиной /э; во всех других точках она является непрерывной функцией и имеет непрерывные производные до поридка, определяемого гладкостью коэффициентов оператора /.'). Для краткости мы рассмотрим систему первого порядка (1) и предположим, что коэффициенты А и В имеют непрерывные производные любых порядкон.

Тогда мы покажем, что функции излучения // и Я резулярны, и, е. и.не!от непрерывные производные любых порядков, во всех точках х, /, которые нельзи соединить с аерсииной Р=(с, т) бихарактеристическии лучом, Мы будем иметь дело с интегралом вида //(х, /; 1, с)= — — —. / Е/(х, /; с, с, а)с/а.

(14) 1 (2к!') а !м= ! Сингулярная часть (у состоит из суммы членов вида э) 5!(су(х, /; (, с, а))д,(х, /' с т, а), (15) ') Надо обратить внимание на следующий факт. Бслн в конусе лучей встречаются изолированные или кратные лучи, то некоторые из утверждений этого пункта придется изменить. Для случая кратных характеристик общий анализ особенностей матрицы излучения на кононде тучей н на его выпуклой оболочке до снх пор не доведен до конца; надо отдельно изучать частные классы примеров, как мы это делали раньше. Последние результаты по этом вопросу содержатся в работах Людвига [3] и Лере [3). Некоторая кодификация приведенного ниже рассуждения показывает, что // и 5 аналнтнчны всюду, за исключением коканда лучей, если коэффициенты аналитические.

Си. выходящую вскоре работу Людвига. ') Буква 5 здесь применяется не в том значении, как в и, 1 и 2. Тогда матрица излучения /с(х, /; с, т) определяется следующими соотношениями /)т, (12) (13) (1 3') 728 Гл. П, Гиперболические яровнения со многими переменными где 5 = 5, — обобщенная функция переменной р с особенностью в начале координат, а функции д'=дл регулярны по всем своим аргументам. Достаточно исследовать гладкость отдельного члена вида ') 5(т(х, г; Е т, а))К(х, (; $, -, а)йа, (16) Зафиксируем (х, г;;-, т) и рассмотрим множество 2, состоящее из всех точек сферы 1а! = 1, удовлетворяющих уравнению а(х, 1; Е -., а)=0. Множество 2 компактно, и поэтому мы имеем следующую альтернативу: либо (а) градиент функции а по координатам на сфере обращается в нуль в некоторой точке х, г из 2, либо (б) градиент функции ч~ по координатам на сфере отличен от нуля в любой точке 2.

Если выполняется условие (а), то (х, !) является точкой, принадлелкащей огибающей характеристических поверхностей, проходящих через точку Ь т и определенных уравнениями а(х, Г; е, 'с, а) = О. Из теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка следует, что огибающая должна содержать луч. проходящий через точку (х, Г). Этот луч пересекает плоскость ! = -. в точке Р, где а(х, -.; Е -, а) =(х — 8)а.

Огибающая плоскостей (х — 8)а = 0 состоит из одной точки х =Е Таким образом, Р=(Е ч), н точки (х, !) и (Е т) лежат на одном луче. Мы приходим к выводу, что условие (а) выполняется только в том случае, когда точки (х, Г) и (Е ч) лежат на одном луче.

Если выполняется условие (б), то мы можем ввести р в качестве локальной координаты на сфере в любой точке множества й. Тогда мы можем разбить область интегрирования в интеграле (3) так, чтобы в каждой подобласти либо (1) р можно было ввести в качестве локальной координаты, либо (1!) р было бы отграничено от нуля. В областях типа (й) подинтегральная функция будет гладкой, и, следовательно, интеграл по таким подобластям также будет гладким. В подобластях типа (!) р есть локальная координата и мы можем сколько угодно раз интегрировать по частям по переменной С помощью многократного интегрирования по частям мы приходим к выражениям любой нужной гладкости.

Следовательно, если выполнено условие (б), 1( есть гладкая функция х, г. й РД Решение задачи Коши как линеиный функционал 729 Таким образом, мы доказали, что имеет место следующая альтернатива: либо (а) точки (х, Г) и (Б т) лежат на одном луче, либо (б) Р (х, П 1, т) гладкая функция ') как переменных х, г, так и 1, За. Обобщенный принцип Гюйгенса.

Результат п. 3 позволяет установить факт, который играет большую роль в теории гиперболических систем, описывающих передачу сигналов (см. также 8 18). Классический „принцип Гюйгенса", который мы рассматривали в разных местах книги (например, см, б 12 и б !8 этой главы), утверждает, что первоначально резкие сигналы передаются как резкие сигналы, т. е. что решение дифференциального уравнения.

описывающего распространение сигналов, возникающих в момент г = О, зависит только от начальных данных на границе коноида зависимости и не зависит от начальных данных внутри коноида. Этот принцип справедаив только при совершенно исключительных условиях, в частности для волнового уравнения с 3, 5, 1, ... пространственными переменными. Однако результат, полученный в предыдущем пуллкте, можно истолковать как обобщенный принцип Гюдаенса з), который утверждает, что в некотором приближенном (и в силу этого, как правило, вполне удовлетворительном) смысле гиперболическая система передает первоначально резкие сигналы как резкие сигналы. хотя и несколько размытые.

Сначала мы сформулируем такое утверждение; решение и(Р) системы (1) является гладким в некоторой окрестности точки Р, если все лучи, проходящие через Р, пересекают начальное многообразие (1 = 0) в пределах замкнутой области О*, в которой начальные данные гладки. Более точно: предположим, что коэффициенты оператора Е[и) достаточно гладки и что начальные данные и их производные вплоть до порядка г ограничены в описанной выше области О*; тогда решение и и его производные до порядка г будут ограничены в определенной выше точке Р; оценки зависят от 1 и от максимумов модулей начальных данных и их производных. Мы можем еше следующим образом описать обобщенный принцип Гюйгенса '): особенности решения и в точке Р зависят только от особенностей начальных данных, причем лишь от тех особенностей, которые расположены на коноиде лучей, проходящих через Р.

Принцип можно сформулировать более точно, если сделать некоторые предпололкения относительно начальных данных; например, ') Л имеет производные любого порядка, если коэффициенты оператора Е [и) бесконечно днффереицнруемы. ') Он был сформулирован П. Лаксом; см. Курант и П. Ланс [2), а также П. Ланс [4]. ') Как указывалось выше, в случае кратных характеристик формулировку необходима несколько изменить. 730 Гл. 7Д Гиперболические Кронненил со лногини переменными если предположить, что начальные данные гладки всюду, кроме некоторой гладкой кривой С, на которой онн имеют скачок.

Тогда решение а(Р) будет глалкнм всюду, за исключением таких точек Р, для которых коноил лучеИ, проходящий через Р, касается кривой С. Если коноид имеет с С касание высокого порядка, то имеет место ,фокусирование" и решение, вообще говоря, будет иметь меньше производных, чем начальные данные '). С качественной точки зрения обобщенный принцип Гюйгенса утверждает, что решение особенно чувствительно к передаче начальных разрывов (нли других особенностей, например, резких изменений значениИ) по характеристическим лучам з).

4. Пример. Системы с постонннымн коэффициентами частного вида. Теорема о лакунах. Мы будем рассматривать систему вида (1) с постоянными коэффициентами, тле В=О н у ='О. Тогда решение У(х, С Е -., и), согласно 6 4, п, 6, можно построить просто как суперпознцню 1е плоских волн, которые сволятся к одному первому. члену разложения для бегущей волны (л(а) = ~л о"г" 1оо1п1() "(+ох) .=! (предполагается, что 1=0), причем )" =)" (и) — собственные значеи ния матрицы ~лА'о„(см. З 3), т. е, нормальные скорости, г — пра- 1 и вые нуль-векторы характеристической матрицы 1"У вЂ” ~а А"ар а числа 1 о" определяются в соответствии с й 4, п.

Характеристики

Список файлов книги