Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 144
Текст из файла (страница 144)
Если тв(х, у; г, е) = и (г, е) и тв(х, у; е, г) = о(г, а), то функции и и о удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению (8) с начальными условиями и(г, 0)=пР(г, О); и,(г, 0)= — 0 и о(г, 0)=- =пр(0, г); о,(г, 0)=0. В силу частного случая теоремы о средних значениях имеем тв(0, г)=тв(г, 0). Тогда из теоремы единственности следует, что решения тождественно совпадают о(г, г)=тв(г, а)=тв(х, у; Р., е). Поскольку уравнение (5) для средних значений справедливо для любой сферы радиуса г, мы сразу с помощью интегрирования по г получим соответствующую теорему о среднем значении для шаров ~ и(х+5; у)Ф(= / ... ~ и(х, у+»)Н(; (5') Р С.Р Р<1 в обеих частях равенства интегрирование производится по шару »!=с',+ ...
+;.~ (га. Этот результат позволяет получить соответствующую теорему для п ~ т, т. е, для дифференциального уравнения и„+,, +и„=и„р + ... +иг р . Предположим, что в равенстве (5') решение и не зависит от переменных у ~5, ..., )Р„, и ( и. Тогда мы можем высказать более общее утверждение / и(х5+ !' ' ' ' х»+с»! У!' ' ' '' Ут)д(! ' ' ' Р((» Р~1 '" — Г... 1 !'га — р!)!» т!и и(х; у+()с("„(5») Р! ~1 где рг 5! . + (т и ра 5! + + ш 1» '! ''' '»' 742 Гл. е!'. Гиперболические уравнения со многил!и переменными с некоторой функцией о(а, Ь) и будем считать, что функция ео достаточно !.падкая, так что четную функцию сь соответствующую то, можно однозначно определить в соответствии с 9 13.
Из 9 13, п. 2 мы имеем ! 1 ~ (т! (иг, !)з) — о (аг, гяв))(1 — аз)! -зкз(1 газ)<т-з!дои (о — 1 -! гп — 1 гп — 1 Г = — тд + то — то — то е м Применяя (8), получим тогда 'иаа оев о(а, Ь)=д(а+у)+Д(а — Ь). Вели мы подставим зто выражение в (9) вместо о(а, д), то получим выражение, симметричное относительно г и з, и, следовательно, установим требуемое соотношение со (г, з) = ш(з, г).
3. Применение к волновому уравнению. Мы снова получим решение задачи Коши для волнового уравнения ид,— Ли=О с начальными условиями и(х, 0)=ф(х), и,(х, 0)=0. В соответствии с только что полученными результатами мы будем рассматривать волновое уравнение как частный случай ультрагнпсрболического дифференциального уравнения (1) с у, = Г при дополнительном условии, что реше>ие и не зависит от переменных уе ..., у„, Теперь мы применим теорему о среднем значении к произвольной точке х пространства х и началу координат у = 0 в пространстве у. Это дает — / ... ~ и(х+рг; 0)с(р= — ) ...
~ и(х; и!Г)с(и, (10) р=! ее=! причем в правой части и зависит только от компоненты и, единичного вектора и. Выражение в левой части равенства равно среднему значению (С(х, Г) начальной функции ф, которая известна из начальных условий. Так как подинтегральная функция в среднем значении, стоящем справа, зависит только от одной переменной а!г, кроме 2. Другое доказательство теоремы о среднем значении. При более сильных предположениях о дифференцируемости мо!кно дать другое доказательство теоремы о среднем значении.
Поло!ким ! ! ш(г, з) = ~ ~ о(иг, рз)(1 — аз))ы !' (1 — рз)!а' ' с(аг(р (9) -! -! Э !6. Ультрагиаерболичеекие уравнения параметров х, то в силу э 11 это среднее значение можно записать в виде тн-1 ~ н( .. )(Га а)ря зуз етщ ' о Таким образом, из теоремы о среднем значении получается интегральное соотношение с -' Г (х' р)(р ру -зугггр (! 1) которое совпадает с формулой, полученной в Э 13; оно разрешается относительно и с помощью дробного или обычного дифференцирования.
Наш метод, по существу, сводится к тому, что пространственные переменные и время можно рассматривать симметричным образом за счет введения фиктивных, временных параметров", которые не влияют на описание физических явлений, 4. Решение характеристической задачи Коши для волнового уравнения. Лругим применением теоремы Асгейрссона является следующий метод решения характеристической задачи Коши для волнового уравнения и — и — и — я = 0 И я» уу ее (12) в трехмерном пространстве; оиа ставилась в В 6, п. 1, Мы предположим, что значения и заданы на конусе К=ха+уз+ля Ге=О, т. е.
функция и (х, у, г, )/х'+уз+ха)=ф(х, у, г) 2яГ ~ и(0, О, О, г)йг= та 1 ~ ф(аг, рг, Тг)аа или 4я ~ л(0, О, О, г) гГг = 1 ~ ~ ф ( — Г, — Г, — Г~диь в в известна, Мы попытаемся найти решение уравнения (12) (регулярное при К (0), которое принимает заданные значения на поверхности К = О. Сначала мы построим решение этой аадачи на оси конуса х = у= = г = О.
Чтобы построить это решение, мы воспользуемся теоремой о среднем значении и получим 744 Гл. УХ Гиперболические уравнения ео многими переменными причем интеграл в правой части берется по поверхности единичной сферы в пространстве и, 'р, Т. С помощью дифференцирования мы получим и(0, О, О, !) 4и,1 3 'ти (2 !' 2 !' 2 !) а" + +й ) ) (цл+И,+Туг)б (1З) (14) а образ Р' точки Р имеет координаты х' = у' = г' = О, ! =у!о хо 2 2 Так как наше дифференциальное уравнение инвариантно относительно преобразования Лоренца (14), формулу (13) можно будет применить к функции о(х', у'. л', !') = и(х, у, з, !) с граничными значениями Х(х', у', в')= ф(х, у, а); соответственно мы будем иметь и (х, О, О, !о) =о(0, О, О, 1Г!о — хо) = +йя ~~(Х.
+ИХ, +ТХе)~ и где во втором интеграле в функции ф,, )„, у, надо также полста- а вить значения аргументов — г, .... Если в некоторой точке Р, не 2 лежащей на оси г, значение К отрицательно, то решение гг(Р) по- лучается отсюда непосредственно. Мы только должны перевести точку Р на ось ! с помощью преобразования Лоренца, т. е. пре- образования, оставляющего неизменным характеристический конус.
Если, например, точна Р имеет координаты х =- хо, у = О, з =- О, ! = г,, хо ( го, то зто преобразование имеет вид у =у ° в =г', з '1Гз 2 го — хо г' го — хо 745 В 16. ультрагипеиболинеение уравнения Если у выразить через ф, то получим и(хо (' О уо)= т/ г г т ъ/ г 21 — '(х +и! ) т !о — хо, — г Го — хо) дог+ +-. И(-.+ .)Ф. -+-'8в И(,+,Ф.).- Здесь аргументы з функциях ф„, фу, фе должны принимать те оке значения, что в ф, т. е. 1 эт/о г т;г г — (хо+и! ), — г Го — хо, — г !о — хо.
2 2 г ' 2 Поэтому в каждой точке Р, для которой ! ~ О и К О, функция и однозначно определяется через ф; мы просто считаем, что с помощью вращения координатных осей точка Р переведена в плоскость у=а=О. Таким образом, значение и а точке Р зависит только опт начальных значений о на эллипсе, высекаемом характеристическим конусом на некоторой плоскости. Этот эллипс совпадает с тем, который получается при пересечении исходного конуса с характеристическим конусом. проходяигим через точку Р. Читатель может попытаться проверить, что построенная таким образом функция действительно является решением задачи.
Мы заметим также, что аналогично можно рассмотреть характеристическую задачу Коши для ультрагиперболичсских дифференциальных уравнений. Отметим, что этот метод дает только значения решении и внутри характеристического конуса. Если решение существует также вне конуса, то его значение в каждой точке зависит от данных на всем характеристическом конусе'). б. Другие приложения.
Теорема о среднем значении для софокусных эллипсоидов. Другис известные теоремы о среднем значении являются частными случаями теоремы Асгейрссона. Папримср, теорему о среднем значении для оператора Лапласа можно получить, если рассмотреть гармоническую функцию и(хп ..., х ) как частное решение дифференциального уравнения (1), не зависящее ни от одной нз переменных у. Применение к функции и соотношения (5) для средних значений при произвольном х и у =,О сразу дает теорему о среднем значении для гармонических функций. Эта теорема следует также из более общего соотношения (бе) для т=О.
Менее тривиальная теорема о среднем значении для гармонических функций получается следующим образом. Пусть и(х,, х ) — ре') Гм. Джон [4), стр. 114 — 120. 74б Г.ч. РА Гиперболические уравнения со л!нагими пере.ченнь!ни шение уравнения Лапласа Ли=О, Вместо т переменных х; мы искусственно введем 2т новых переменных 1! и т)! с помощью системы уравнений х, =, сй иг+ ти з1! а, (!' = 1..., т), где величины ан ..
„аы могут быть произвольными. Тогда функцня и(х) переходят в функцию и(;", т!) переменных !' ' ст' и' '''' т)ы' а дифференциальное уравнение Ьи = О превращается в узьтрагипер- болическое дифференциальное уравнение Ььи=б и. Теперь мы воспользуемся теоремой Асгейрссона о среднем значении в форме (5') для точки ч! =та=О и шара К,: с,+ ... +':~„(гг в пространстве с и соответствующего шара Кг! т)!+ ...
+ т)ы (г 2 г 2 в пространстве т). Этим сферам соответствуют два софокусных зллипсоида г х, г=! хг 1=1 в пространстве х. Средние значения по шарам переходят в средние значения функции и(х) по внутренности соответствующих лвух зллипсоидов. Так как в соответствии с нашими формулами мы можем представить таким образом любую пару софокусных зллипсоидов при соответствующем выборе величин и, и г, то мы сразу получаем следующую теорему. Среднее значение гармонической функции по внутренности некоторого эллипсоида сохраняется неиз.иенным для целого семейства софокусных эллипсоидов, Заметим также, что к этому последнему результату можно было бы подойти с более общей точки зрения. Существует группа линейных преобразований, переводящих ультрагнперболическое уравнение (1) в сеГ>я. Э.о линейные преобразования („ультралоренцевы' преобразования), ко!орые переводят характеристическую форму и ,~~ (хг, — уг) /7, Многообразия ненросгранстеенного типа 747 в себя (с точностью до постоянного множителя) и которые, следовательно, оставляют неизменным характеристический конус дифференциального уравнения.
Встественно, эта группа преобразований (заслуживающая дальнейшего изучения ')) имеет в качестве подгруппы не только преобразования подобия, но и преобразования Лоренца в пространствах с меньшим числом пространственных переменных. Производя замену переменных с помощью „ультралоренцевой группы" и применяя затем теорему Асгейрссона, можно получить новые теоремы о средних значениях для решений частных видов ультрагиперболических уравнений э). З 77.
Задача Коши для многоооразий непространственного гпипа Теорема о среднем значении э 16 позволяет выяснить положение с задачей Коши для ультрагиперболических уравнений и для гиперболических уравнений с начальнььчи данными на многообразиях непространственного типа. В частности, мы увидим, почему задачи Коши такого типа „поставлены некорректно" в смысле гл. 1!1, э 6. !. функции, определенные с помощью средних значений по сфррам с центрамн на некоторой плоскости. Интеграл от некоторой функции 7(х, /)= /(хн ..., х„, /) по сфере радиуса г с центром в точке (х, 0) пространства х, / определяется формулой д(х, г)= [ у(х+[, т)с/З=/,1[/[. (!) пэз м Очевидно, что величина (е[Д зависит только от четной части функции 7, 7(х, /)+/'(х, — /).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
