Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 139
Текст из файла (страница 139)
1, 2, .'7'(у, О) = Г'"(у) для х = 3, (7) гв,е у (У)= ~ ~ в (У' Уз уз) Уас(УЗ' (6) Мы обозначим четыре корня Л уравнения Р(а, Л)=0 через Л,= =Л)(а), где /=1. 2, 3. 4. В силу однородности Р легко видеть, что любая линейная комбинация вида Р(у, т)=2! шу(У+л)!) 7=1 (О) И (Лу)" )0 для я=О, 1, 2, РЛ(а, Лу) ~ 1 ддя . 6 /=1 (10) откуда следует, что надо выбрать „(у) ь". (У) Р, (а, !т) (! !) где д""(у) — любая функция, такая, что т~~К Ву) =г (у) (! 2) .
произвольными функциями тву удовлетворяет уравнению (6). Чтобы удовлетворить начальным условиям (7), мы рассмотрим сначала такие и, для которых все четыре корня Лг рааличны. Для любого многочлена четвертой степени относительно Л со старшим коэффициентом, равным единице, и с различными корнямн справедливы тождества Ньютона а 14а. Применение к уравнениям четвертого порядка 715 Итак, в случае различных Л решение задачи (6), (7) лается формулой 4 ч р'(у+, ) (13) 4.-! Из формулы (13) могло бы показаться, что решение !' зависит от выбора л". Однако это не так, поскольку условие (12) позволяет изменять л'" только на некоторую квадратичную функцию от у, а нз (10) следует, что добавление к ан квадратичного слагаемого не влияет на величину решения г'", определяемого формулой (13). Кроме того, из (8) следует, что 7"(у) = 0 равномерно по а для достаточно больших !у!.
Поэтому существуют такие решения а*(у) уравнения (!2), которые обращаются в нуль при достаточно больших положительных у, а также другие решения, равные нулю лля больших отрицательных у. Поскольку Р не зависит от конкретного выбора л", отсюла следует, что для любого фиксированного 4 и для всех а решение У" (у, 4) тождественно равно нулю для достаточно больших !у(. С помощью аналогичных рассуждений можно заключить, что У" есть непрерывная функция а там, тле Лу различны.
Пользуясь этой непрерывностью, мы теперь найдем /" для тех изолированных значений а, которые соответствуют кратным корням Лр Предположим, например, что лля некоторого частного значения а=а' корни ), и Ло совпадают. Тогда для а, близких к а*, существУет коРень Л' УРавнениЯ Рл(а, Л)=0, лежащий междУ Л, и Лз. Поэтому первые два члена формулы (13) можно переписать в виде а' (у (- Л,Г) — е (у -Р Л Г) а" (у (- Л.,Г) — а (у -(- ЛП) Р. (а, Л~) Р« (а, Лт) 1 ! +К (у+Лт)~Р („л,) +„(.
л„)1 4 2л' (у + Лаг) Р«ц (а, Л ) к«в" (у + !та) 3[Р«з(а, >и)]е в;а Р (а, Л,) у=з 2 ФН" (У + )а Г) где й (у) = «)й (У). Мы должны еще проверить, что функция I" удовлетворяет дифференциальному уравнению (6) и начальным условиям (7). Непосредственная подстановка в уравнение (6) показывает, что оно удовлетворяется.
Функция У" удовлетворяет также условиям (7) и не Если мы это сделаем для каждого а, близкого к а*, и перейдем к пределу прн а — на*, то для особого значения а=а* мы получим следуюгцую функцию /": 716 Гл. И. Гиперболические уравнения гв .кногими переменньти зависит от выбора л', что следует из предельной формы тождеств Ньютона в случае Л, = — Л,: 2к(гч)" 2(х,)" Р!ю (а, Лч) ~~ (х!) Ры (е, Л!) 3Р (и, Л ) Р! (" Л!) ы г=з к=О, 1, 2, (1б) х = 3. О для Так как, по построению, (14) является непрерывным продолжением выражения (13), то все условия, необходимые для применения метода 9 14.
п. 1, выполняются'). Применяя к равенствам (9) общий метод 9 14, п. 1 и учитывая, что и= 3, по.чучаем и (х () — 6, и з Х ) ! "(их, () г(и = !Ю= 1 Если в соответствии с формулой (12) мы положим у 2 (17) то для ~и~~ — — 1 и любо~о Р мы будем иметь Ьи" (их+ Р)= ) у" (!))г(г), (18) или в силу (8) !д" (их + Р) = ~ / у (х + з) г(л! с(з! е(лз. «г<р Подставив зто выражение в (16), найдем, что .(., ()=~ ~~у(х.+,)К(,, ()~,1,улз,улз, (19) (20) с ядром (21) ') Ясно, как надо изиеиить (14) яля случая, когда корни Л, и Л, совпадают. Такой случай, когда кратные корив встречаются парами, возникает в уравнениях крнстаалооптики.
З 14а Применение к уравнениям четвертого порядка 717 В случае уравнения кристаллооптики и, вообще, в случае, когда Р(В 0) вь 0 для всех действительных 1+ О, корни Л, и Л, положительны для всех а, а Лз и Лч отрицательны. В любом таком случае каждый луч, проходящий через начало координат, пересекает поверхность нормалей М, соответствующую дифференциальному уравнению (1а), т. е, поверхность Р(В 1)=0 (22) в двух (возможно, совпадающих) точках. Таким образом, М состоит нз двух кусков, М, н И, Эти куски параметрически задаются уравнениями (=а/Л,(а) и »=а)Л,(а) соответственно, причем параметр а пробегает поверхность единичной сферы. Согласно нашим предположениям, внутренний кусок И! и внешний кусок Ма различны и могут иметь только конечное число общих точек.
Мы продолжим исследование некоторых ствойств ядра. Во-первых. из (10) непосредственно вытекает, что К (а, О) = О. (23) Во-вторых, если мы перенумеруем корни Лт(а) в порядке убывания Л (а) > Л (а) > Л (а) > )„(а) и заметим, что ).з(»!) = — )ч( — а), Л4 (а) = Л, ( а) (24) а К(а, 1)= — — 7 8»' »йи /=! — О --! д 1 ! д» 1 Р»(» Л)(»)) ) ./ Р! (», Л (»)) ~ /»1=1 ! »» < ! . !»н (25) 2. Дальнейшее исследование решении.
Область зависимости. Лакуны '). Теперь мы преобразуем „фундаиентзльное решение* К, заданное с помощью формулы (25) как интеграл по части единичной сферы, в интеграл по поверхности М. Пусть ч(М вЂ” элемент площади поверхности на М; через ьтаб Р обозначим вектор, г-я компонента которого равна Р„ (Ь !). С помощью проекции из начала координат легко получить, что , 'йгад Р,' 1» йгаб Р ) ') Общие условии существования лакун з области зависииостн даны в работе 1)етровского [3). то мы легко сможем привести К к виду, содержащему только Л, и ), а именно 718 Гл. П.
Гиперболические уравнения со многими переменнылнь Но из однородности Р следует, что ~) сьР. (Е 1) ь- Р„<ю 1) = 4Р6, 1,' = 0 (27) для с, лежащпх на И. Поэтому для "; на И ь ьа цгас1 Р ~ = ~ ~„ а,Р <Е 1)ь = — !'=,, '( "', с,Рь <;". 1)~ = =~.:!'~Рг(:.. )~=-!:-! ~Р,.~, —,',,)~=- = 1Ц' ! Я „<, Л, < ) ) ~ =; ~ =,Р ~ „<,, Лу<.) ), < 28) где 1, ';наИн е = — а Ль,.
Следовательно, <29) Рь (а, Ль (а) ) ~ягаб Р1 Кроме того, лля /=!. 2 величина (Л,.т — ал) имеет тот же з»ак, что (г — ча). Тогда формула (25) принимает видть (30) Если !я.с.т для всех Е лежащих на И, то К(а, т) тождественно равно постоянной 8яч,/ .! 1ягад Р(с, 1) ! ' Этот результат имеет место при условии, что плоскость я!=7 не пересекает внешнего куска И,, илн прн эквивалентном условии, что л<г лежит внутри поверхности Ят <5г.— поверхность, в которую переходит выпуклая оболочка И, при двойственном (полярном) преобразовании относительно единичной сферы). Обратно, если плоскость л(= г' пересекает внутренний кусок И,, то ядро К(л, <) равно нулю. Чтобы доказать это, возьмем произвольный вектор со на этой плоскости, лежащий внутри Иг В формуле (30) положим ! = с'+ ~ .
Тогда интеграл, определяющий К, берется по поверхььости И' с уравнением Р<1 +., 1) — 0, (3! ) ') Согласно нашим предположениям, знаменатель полиятегрзльного выражения имеет только нули первого порядка в особых точках. Поэтому интеграл сходится. 719 Э 14а, При,яененое к уравнения» нетвертага порядка Эта поверхность получается из И с помощью переноса, так, что градиент и элемент поверхности в соответствующих точках остаются неизменнь1ми. Следовательно, 1 Г Г е в1йв( — Е'е)дФ' (32) Но этот интеграл равен просто К(з. О), где К вЂ” ядро, которое получилось Г>ы из (21), если бы полипом Р(с. )), соответствующий исходному дифференциальному уравнению (!), мы заменили на полипом (33) Так как (а находится внутри Ин то любая прямая, проходяша» через ;',, пересекает И в четырех точках.
Следовательно, Р имев~ четыре действительных корня )) для всех с. Поэтому к К применимо соотношение (23) и наше утверждение доказано. Так как И вЂ” поверхность четвертого порядка и любая прямая, пересекающая Ин должна по крайней мере два раза пересекать Им то ни одна прямая не может пересекать И, в трех точках.
Поэтому поверхность И, выпукла '). Следовательно, мы можем сформулировать полученный результат следующим образом: К (л, 1) = О, если з1г лежит вне поверхности ор полученной из И, при двойственном преобразовании относительно единичной сферы. Возвращаясь к решению исходного уравнения и(х, г), мы возьмем точку (х, 1) в качестве вершины и построим две конические поверхности С, и С, с осями, направленными в сторону убывания С Конус Сг определяется тем свойством, что его сечение на расстоянии от вершины, равном единице, конгруэнтно лр Ясно, что С, содержится внутри Сн Из формулы (20) мы теперь можем заключить, что область зависимости для точки (х, Г) есть в точности пересечение С, с начальной плоскостью 1=0.
Кроме того, подмножество этой области, которое является внутренним также и лля С,, обладает тем замечательным свойством, что каждая его точка оказывает на решение одинаковое влияние, опрелеляемое формулой (30а). Дело существенно упрощается, если поверхность нормалей И симметрична относительно начала координат (это будет так лля уравнений кристаллооптики). В этом случае едМ 1' Г еЛФ Г 1' еддг .I ~йгадР(6, 1) ~,),) (йгадР($, 1) ~ .г у (йтад Р(к, 1)/ ьн гч Л е >г -ее>г ') Это рассуждение повторяет рвссучкдение, приведенное в я д. 720 Гл.
Рй Гиперболические уравнения со многими переменныяи так что на формулы (30) имеем )(.(з, 7)= — —, ~~ й"Ды (34) Ф ~ Ьг 1жг где величина й'Дг;=зйИ)~йгадР(В 1)1 называется элементом .псевдоплощадн" ') поверхности нормалей М. Таким образом, „фундаментальное решение" К с геометрической точки зрения можно истолковать как „псевдоплощадь" части поверхности М, лежащей между двумя параллельными плоскостями згс = ~-г (см. рис. 58). Рис. 58. Наконец, мы обращаем внимание на тот факт, что в случае кристаллооптики наше дифференциальное уравнение четвертого порядка надо еще дважды продифференцировать по т, чтобы получить то уравнение шестого порядка, которое получается после исключения нз исходной системы (7), э За всех неизвестных, кроме одной компоненты электромагнитного вектора.
Предполагая, что выполнены соотношения (7а), й За, нетрудно выразить решекне залачн Коши для этого вектора через дифференциальные операторы, примененные к решениям уравнения четвертого порядка (1); отсюда мы видим следующее. Внутренняя полость конусз лучей, соответствующая внешней полости конуса нормалей, вносит в решение задачи Коши для нашего уравнения четвертого порядка значение, постоянное по времени во всех точках пространства.
Вектор, который является решением задачи Коши для уравнений кристаллооптики, в любой точке к пространства не зависит от начальных значений внутри внутренней по- ') Этот сермпн был введен Гергаотцем, см. Лжон (41, стр. 23. 721 15. Решенае еадаеа Каша кан линейный дуннуаанал .гоеглн конуса зависимости; эта внутренность есть лакуна'). Этот результат является естественным; он выражает тот факт, что локальное возмущение в точке О в пространстве х доходит до точки х за время, соответствующее большей скорости распространения, и прекращается во время, соответствующее меньшей скорости; после прохождения более медленного фронта волны не остается никаких следов возмущенна. С другой стороны, предыдущие выкладки позволяют легко прийтя к следующему заключению: любая точка на начальной плоскости, находящаяся внутри выпуклой оболочки конуса лучей, но не внутри его сердцевины", вносит в решение значение, не постоянное по времени. Это значит, что вся область между выпуклой оболочкой Г и внутренней полостью конуса лучей действительно составляет точную область завигимаенгн для решений и их производных по времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
