Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 143
Текст из файла (страница 143)
1, мы предпочтем взять в качестве исходной функции особенностей Э 13, Решение задана Коши как линеиныи функционал 737 Функция 6(Г) удовлетворяет уравнению Га (Г) = О, (58) а Ь ' (Г) == = удовлетворяет уравнению <-в р" р" г изг-~гй 1 ~-гр à — —, (Г)+ — 3- (Г) =О; йр 2 (59) ') Интересное изложение этого вопроса см.
в работе Адамара (3). с помощью дифференцирования можно убедиться, что не только функция (57а), но и наша функция 5о(Г), определенная формулой (576), удовлетворяет условию (46). (Эга неоднозначность в определении 8 связана с тем, что уравнение (46) имеет особенность при Г=О.) Которую из формул (57а) и (57б) следует выбрать? Рассмотрим сначала случай, когда и четное. В этом случае формулы (а) и (б) совпадают, но только в формуле (б) Бо надо понимать как обобщенную функцию.
Разница сказывается только тогда, когда вычисляются интегралы от этих функций по областям, содержащим коноид лучей Г = О. В случае (а) такие интегралы, вообще говоря, расходятся. Эта трудность была существенным препятствием') и привела Адамара к рассмотрению „конечных частей" расходящихся интегралов. Однако эти,конечные части" являются просто выражениями, которые получаются при интегрировании обобщенной функции (б). В действительности введение Адамаром понятия конечной части оказалось одним из существенных поводов для возникновения современной теории обобщенных функций.
Аналогичная ситуация имеет место при нечетном п. В этом случае Адамар вводил „логарифмическую часть" интегралов, входящих в его решение. Этн выражения совпадают с теми, которые получаются при применении дельта-функции. Поэтому для четных и нечетных и мы одинаково можем записать наше решение в виде и(х, ()=йы" Мей(Г) У(х, ()+ п(Г)Ъ'(х, ';), где т)(Г) — функция Хевисайда, а И обращается в нуль при четных л. Из свойств Ь-функции и ее производных следует, что и(х, с) обращается в нуль всюду, за исключением коноида Г=О, тогда и только тогда, когда и нечетно и )г(х, $)=0. Это и есть строгая форма принципа Гю(ггенса.
Формулу (60) легко можно сравнить с выражением, полученным Адамаром; в этом выражении содержится !одГ, а не т)(Г). Чтобы убедиться в том, что фундаментальное решение действительно имеет вид (60), можно воспользоваться определениями п. 2; это мы предоставляем читателю. 738 Гл. И. Гиперболические уравнения га многими переменив~ми 7. Дальнейшие примеры. Случай двух независимых переменных. Замечания.
Надо обратить внимание на тот факт, что обобщение представления Римана, дашюго в гл. Н, на случай одного уравнения высшего порядка или на систему 7г уравнений первого порядка с двумя независимымн переменными получается как почти тривиальный случай общего представления этого параграфа. Что касается вырожденных уравнений, то стоит отметить типичный пример оператора лелле Здесь функция Римана, как видно из п.
2, имеет вид 8 <х, — 1г) (ха — 1 ) й Сса — гз) где й — функция Хевисайда. Вообще говоря, оказывается, что на кратных характеристических элементах, на изолированных лучах и каустиках матрица Римана имеет особенности более высокого порядка, чем в остальных точках конуса лучей или его выпуклой оболочки. Тщательное исследование эгих особенностей позволило бы лучше уяснить обобщенный принцип Гюйгенса '). Наконец, мы повторим сделанное выше аамечание относительно теорем существования и единственности. Хотя доказательство теорем существования в 3 !О опиралось на интегралы энергии, теорема о сходимости разложения для бегущей волны вместе с проведенным в этом параграфе построением в случае аналитических операторов Е позволяет получить матрицу Римана независимо от интегралов энергии и независимо от того, является ли оператор симметрическим.
Матрица Римана позволяет непосредственно получить решение задачи Коши и, кроме того, позволяет изучить дифференциальные свойства решения. Теорема Хольмгрена из гл. 111, приложение 2, обеспечивает единственность решения. Таким образом, мы получили подход к решению задачи Коши, отличный от использованного в 8 8 — 10. р 16.
Ультрагииерболииесние ди44еренциальньее уравнении и общие дир3ференциальные уравнения вгиорого порядка с постоянными ноэййЯициентами 1. Общая теорема Асгейрссона о среднем значении. Метод сферических средних позволяет получить для произвольных линейных уравнений второ~ о порядка с постоянными коэффицнентамн простую, но сильную теорему о среднем значении, принадлежащую Асгейрссону 12, 3). Согласно гл. 1П, й 3, п. 1, однородные лиф- ') Некоторые шаги в этом направлении предприняты в работе Людвига 13).
739 э 16. Улетрагиперболические уравнения ференциальные уравнения такого вида, не вырождающиеся в параболические, всегда можно привести к виду и„ „ + ... + и„ к = ит т + ... + ит р — си, если произвести соответствующее линейное преобразование переменных н, в случае необходимости, сократить на некоторый экспоненциальный множитель. Мы можем также формально уничтожить коэффициент с (в случае, когда он положителен), если введем нов> ю фшстивную НЕЗаВИСИМУЮ ПЕРЕМЕННУЮ Хл., И ПОЛОЖИМ О=-ОЕ и~С ДнффЕРЕН- г гк циальное уравнение тогда примет вид и„,, + ... +и„, =ит + ... +и„„, причем вместо о мы снова пишем и.
В том частном случае, когда и не зависит ни от одной из переменных у, мы получаем уравнение Лапласа. Если и зависит только от одной из переменных у, то мы получаем волновое уравнение. Кроме того, предполагая, что и не зависит от некоторых из переменных х или у, мы можем без ограничения общности записать дифференциальное уравнение в виде Ь„и=А и, (1) т.
ю с одинаковым числом и переменных х и у; некоторые из них будут фиктивиыыгь Дифференциальные уравнения такого типа мы будем называть ультригиггерболггческими. Теперь мы предположим, что в рассматриваемой области пространства х, у функция и дважды непрерывно дифферепцируема п удовлетворяет уравнению (1). С помощью этого решения мы построим следующие интегралы по единичной сфере р',+... +р'„= 1, имеющей площадь поверхности ы„, и элемент площади поверхности гтгв = г(Р: р(х, у, г)= — / ... ~ и(х+рг; у)сгр (2) т (х, у, г) = — ~ ... ~ и (х; у+ рг) игр. (3) Таким образом, ч(х, у, г) есть среднее значение функции и по поверхности сферы радиуса г с центром в точке у пространства у при фиксированном значении х, и аналогично 1к(х, у, г) есть среднее значение в пространстве х при фиксированном у. Мы будем предполагать, что функции т и р чезным образом продолжены для отрицательных г.
740 Гл. гд Гиперболические уравнения со многими переменными Мы составим также среднее значение ш(х, у; г, з)= —,) ... ~ ~ ... ~ и(х+рг; у+аз)бййа, (4) п~ а2 т. е. среднее по сфере радиуса г в пространстве х и по сфере ра- диуса з в пространстве у, Ясно, что р.(х, у, г) = то(х, у; г, О). ч(х, у, г) = чо(х. у; О, г).
Теорема Асгейрссона о среднем зна~ении может быть выражена просто соотношением р(х, у, г) =ч(х, у, г) (5) или, подробнее. следующей формулировкой. Среднее значение по сфере радиуса г в пространстве у при фиксированном х совпадает со средним зночениел» при фиксированном у по сфере радиуса г в пространстве х, т. е, р.(х, у; г)=ч(х, у; г). Вообще, то(х, у; г, з) =ш(х, у; в, г), (6) т. е. двойное среднее значение симметрично относительно радиусов г и з. Сначала мы докажем частный случай теоремы. В силу З 13 оба средних значения ч и р удовлетворяют уравнениям льарбу т — 1 А,р — — р,— р„=О, г (7) т — 1 Ьч — — ч — ч =О, У г где в первое уравнение входит в качестве параметра у, а во второе х. Из уравнения (1) мы имеем Ь„р =Ь„р и 7ьзч = Ь„ч.
Следовательно, гп — 1 ам — — ч — ч =О. г Кроме того, в силу определения мы имеем р(х, у, 0)=и(х, у), рг(х, у, 0)=0, ч(х, у, 0) = и(х, у), ч,(х, у, 0) = О. Таким образом, фушщии р и ч как функции х и г, зависящие от параметра у, являются решениями одной и той же задачи Коши для уравнения Дарбу. Следовательно, в силу теоремы единственно. сти й 6, п. 2 они тождественно равны друг другу. 5 !6. Улрграгипербо»ические ураененил 741 Общее соотношение (6) получается аналогичным образом.
Для двойного среднего значения мы имеем Ь те= д чв; оно также удовлетворяет уравнениям Дарбу т — 1 ~»тв твР + тв г т — 1 Ь ш= — я,+та,р так что т — 1 т — 1 1+ РР . 5+ 55' (8) Прн г = 0 мы будем считать функцию ш(х, у; г, 0) известной; мы знаем также, что тв,(х, у; г, 0)=0. Эти начальные з !ачения однозначно определяют функцию тв(х, у; г, а) в силу утверждений й 6, п. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
