Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 138
Текст из файла (страница 138)
е) См. Джон [4), стр. 7 — 13. и условия (7) составляют разрешимую задачу Коши для неиавестной функции ! (р, с, а) от двух независимых переменных. Тогда эту функцию можно построить с помощью методов гл. чг. Мы предположим, что это уже сделано лля каждого единичного вектора а и, кроме того, что полученное решение /(р, с, а) непрерывно зависит от а '). После этого остается задача о восстановлении функции и(х, Г), если известны ее интегралы по плоскостям /" а).
Мы поступим следующим образом: для р =(аа) построим интегралы 1((аа), Г) для всех плоскостей (ха) =(аа) = р, прохолящих через фиксированную точку О с координатами ап ..., г„; затем мы проинтегрируем по единичной сфере и'= 1. Таким образом мы получим функцию Ь'(г, г)=И(аы ..., х„, 7)= ) / У'((га), с)с(а, (8) 709' З !4.
Метод плоское сродник значений С другой стороны, имеем ьт = ын / у (г) г"-' то (г) дг. о Поскольку функция у" (г) произвольна, мы делаем вывод, что то (г) = с»„, (1/г). Теперь предположим, что число пространственных переменных л нечетно. Тогла решение и можно легко найти, применяя итерированный оператор Лапласа к обеим частям равенства (10). Заметив, что оператор Лапласа (по л илн по х) от любой степени (л — х! есть е-2 просто постоянная (зависящая от и и )с), умноженная на 1л — х) мы получим О Ь'" ' И(х, Г)=Ь„~,, ~ — "' ''' "' с(х, ... с(х (11) 1е х~л-2 где Ьн зависит только от и. Интеграл Пуассона, введенный в гл.
И, 2 2, показывает, что оператор Лапласа от правой части равен О Ьк ~ ~ ... ~ ''': — '„', с(г, ... агз„=а„и(хп ..., х„, 1), (12) ет где а„— еще одна постоянная, зависящая от и, а Ь вЂ” оператор Лапласа по х. Подставив в (12) значение интеграла из (11) и объединив константы, иы найдем для нечетных и следующее явное решение нашей исхолной задачи Коши: и(х, Г)=С„Ь '" "ч)т(х, Г). (13) Множитель С„ легко определить: (1За) 2 (2кг)" 2 (2г)" Вил решения (13) наводит на мысль, что он может быть сохранен и для четных и, есля соответствующим образом определить дробные степени оператора Лапласа.
Мы не будем останавливаться на деталях, так как всегла можем спуститься от нечетного числа переменных х к четному; более подробное исследование случаев четного и нечетного числа переменных х будет проведено в. й 15. Наконец, подчеркнем, что результаты н методы итого параграфа можно применять также к гиперболическим системам дифференциальных уравнений. Если 2.(и] — векторный дифференциальный оператор с постоянными козффициептами, лействующнй на вектор и, а д— также некоторый вектор, то результат остается буквально тем же 710 Гл.
И. Гиперболические рраоненил со многими переменнылш самым. В частности, 1[и[=у может быть системой уравнений первого или второго порядка. Конечно, начальные данные должны задаваться в соответствии с порядком 1 [и[. 2. Применение к решению волнового уравнения. Метод п. 1 здесь будет использован для того, чтобы еще раз получить решение волнового уравнения 1.
[и[ = =Ли — ип — — 0 (14) с начальными значениями и(х, Г)=0, и,(х, Г)=ф(х), (15) где Х (р)= / ° ° ° [ Ф(Р уэ ° ° ° уп)оуе ° ° ° сгуби (!6) Решение уравнения (16) (см. гл. 1, й 17) есть л-~с 7 (р Г) — —, [ Х())б[ — —, [" [ [Ибу " уп (10) (р-с.с и < ран Так как ф обращается в нуль вне 5, это решение должно непрерывно зависеть от о для кусочно-гладких ф. Тогда мы можем рассмотреть поверхностный интеграл Ъ'(хи ..., х„, 1)= ~ [ $ ((ссх), Г)с[а (20) !п)=1 и получить решения и(х, Г), применяя к этой формуле итерированный оператор Лапласа: и(х, Г)=С„° Ьо' " Ъг(х, Г), где С„= 1/2 (2яЕ)" (21) которое уже рассматривалось в э 12.
Как указывалось в п. 1, без ограничения общности можно предполагать, что ф(х) обращается в нуль вне некоторой большой сферы Я в пространстве х. Во всех ранее описанных преобразованных системах координат (см. п. 1) функция 7(р, Г)= / [ ... / и(р, уэ,..., Уп, Г)с[у,... с[у„ удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению 7- [(,[=Грр — 7„=0 (16) и начальным условиям 7" (р, О)=О, )г(р, 0)=Х'(р), (!7) 711 а !4, Метод нлоскик средних значения Мы подробно произведен зти вычисления только для нечетных л; решения для случая четных п ') можно тогда получить с помощью метода спуска Адамара. Из формул (19) — (21) мы получаем ди-! и(х, Г)=С„„, ~ ~ I" ((ах), Г)!уа= ~=! — — ~ да ~ ~ ф(х+'„)с((= !ы ! ! е!к! — — — ) ) ...
) ф(х+ )К(х, с)с(с, (22) где К(х, ';) определяется поверхностным интегралом К(х, 1) = ~ ... ) с(а (23) )а(=! ! Ц<! К(х. 1)=Х ~~ц~). (24) где функция )((г) задается формулами ! 2юн ! ~ (1 — )!)си ~~и!) =сопз1 для 1а) > 1, о )5! 2!о„!~ (1 — Лз)'"-'!пдЛ д ° ~ ~ (1.
о Х(а) = (25) Подставляя (24) в (22) и вводя для среднего значения ф на по- верхности сферы радиуса г с центром в точке х обозначение ь)(х, г)= — ~ ) ф(х+ го)с(с, !1~=! (26) мы получаем решение и(х, г) в виде и (х. 7) = ю —" — ~ Я (х, г) у ~ — ~ г" -' с(г. 2 дГи о ') См. также соответствующие рассуждения в $15, который связан с настоящим чараграфом. и с геометрической точки зрения представляет собой площадь пояса с высотой 27/~с~ на и-мерной единичной сфере. Этот интеграл легко вычислить; он равен 7!2 Гл. П.
Гиперболические уравнения ео многими нере,пенными Если явно произвести одно дифференцирование, то получим И (Х т) оп 2 / Сг (Х Г) / 1! ) Гп ЙГ о или, в силу (25). и (х, 1) = Ап — —., ) ('2 (х, г)(г' — 12)о' 2'2 г с(г, г (27) где А„= — ан,чэнСн — снова постоянная, зависящая только от и. Как и в б !2, п. 2, формулу (27) можно перепчсать в виде дн — 2 и(х, г)=( — 1)ы У А„„2 ~ О(х, г)(П вЂ” гг)ы ' гг(г. (28) В соответствии с принципом Гюйгенса, в оба эти выражения значения начальной функции ф входят только через значение Ц и ее первых (и — 3)/2 проиаводных по г при г = — 1. Как и в й 12. п. 2, постоянный множитель можно вычислить, положив ф=1, Ге=1, и=(. Таким образом, для нечетных и мы получаем решение де †и(х, т)= — / Я(х, г)(12 — гт)" ' ге(г, (29) (п — 2)1 Дгп как и в Э 12, и.
2, (16). В Э 12, н. 3 было показано, что эта фор- мула справедлива и для четных значений и. ф 14а. Применение к уривнениям кристаллооитики и к другим уравнениям четвертого яорядка ') 1. Решение задачи Коши. В соответствии с идеями й За задача Коши для системы дифференциальных уравнений, описывающих явления кристаллооптики ') (см. й 3, п. 3), легко сводится к задаче Коши для одного дифференциального уравнения четвертого порядка, которому удовлетворяет каждая координата векторов электрической и магнитной напряженности. Уравнение имеет вид )ш(х, т) =О, ') См. Джон (4); там содержится упрощенное изложение фундаменталь-- ной работы Герглотца. 2) Мы снозз будем применять специальные обозначения, принятые в этой области. 4 44а. Применение к уравнение.ч четвертого аорлдка 7!3 где Р— однородный многочлен четвертой степени относительно д/дх;=Ц и дгд1=-т, такой, что Р(0, т)=-.'.
Мы имеем тэР=сг, где ь4 — характеристический полипом исходной системы. Решения уравнения (1) всегда порождают решения уравнения Р(Ь т)и=О, (1 а) где и = т'тв. В этом пункте мы дадим решение аадачи Коши ') для произвольного гиперболического уравнения (!а), если это уравнение четвертого порядка (не обязательно уравнение кристаллооптикн) с начальными условиями (О для к=О, 1, 2, к"а(х, О)= ~ (2) У(х) для х= 3, Как легко видеть, решение задачи Коши для уравнения (1а) с пронзвольнымн начальными данными, а также задачи Коши для исходной системы строится с помощью комбинации таких решений и нх производных (см.
3 За, п. 5). Пусть 1 — некоторый вектор, ,"=('„, сю .'з), а ),— скаляр; характеристическое уравнение для уравнения ()а) имеет вид (3) Р (1, к) = О. Зля любого действительного вектора 5 уравнение (3) должно иметь четыре действительных корня, так как уравнение (1) — гиперболическое. Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая, когда корни рааличны для всех Я, кроме, может быть, конечного числа единичных векторов 1, причем для этих особых 5 не могут встречаться корни кратности выше двух '). Тогда мы сможем получить явное решение задачи Коши. Частный случай Р (1, к) = Г (В к) = тэ — %'(г) та+ рэф (г), (4) э эю где рэ = ~е сэ, соответствующий кристаллооптике, удовлетворяет этим ~=1 условиям (см, 3 За, п.
3). Как и ранее, предположим, что функция у(х) обращается в нуль для точек х вне некоторого шэра. Переходи к переменным ун у, ') Для читателя может быть полезным произвести вычисления с применением Ь-функции, как в э 15. Можно также ре~нить эту задачу с помощью прямого применения интеграла Фурье (см. гл.
!!1, й 5, н эту главу, б 12). ') Что такое ограничение не обязательно, показано Джоном (4), гл. П. Однако надо еще раэ повторить, что трулности, связанные со случаем кратных характеристических элементов, еще ие полностью преодолены, так что надо удовлетворяться анализом частных классов задач. 714 Гл. МД Гиперболические уравнения со многими переменньгми уз с у,=(ах), мы установим, что интеграл по плоскоств 7(У т)=) )и(У У У т)ду У удовлетворяет уравнению Р(ит), т) 7" (у, г) = О, где д т = —. ду ' (6) Кроме того, Р удовлетворяет начальным условиям ч 0 для и=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
