Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 136
Текст из файла (страница 136)
И. Гиперболические уровнепил со многими переменнььми В 13. Метод сферических средних. Волновое уравнение и уравнение Дарбу Теперь мы проведем обоснование результатов 9 12, применяя другой метод') решения задачи Коши. 1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений. Мы будем рассматривать среднее значение произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции ф(хи х...,, х„)=ф(х) от и переменных х; о(хи хг, ..., х„, г)=п(х, г)= — ~ ... / Т(х+рг)дчь (1) 1 ип по сфере й, радиуса г с центром в точке х.
В этом интеграле р обозначает единичный вектор с компонентами ~н 8,, ..., рп; кроме того, Ычо = дып = др — элемент поверхности на единичной сфере, а ды = гп ' дчо — элемент поверхности на сфере радиуса г с центром в точке х. Тогда среднее значение функции о удовлетворяет дифференциальному уравнению Дарбу г) (см.
9 б,п. 2) и — 1 о„+ о — Ью=0 г (2) с начальными условиями о(х, 0)=(ч(х), о,(х, 0)=0. (2') ') См. Джон [4]. ') См. работу Вайнштейна [2], где теория уравнения Дарбу обобщается на случай, когда (и — 1) заменяется произвольным параметром к. на расстоянии г от начала координат только в течение короткого интервала времени, начинающегося на г единиц времени позже. Однако принцип Гкпагенса несправедлив для задачи излучения в случае четного числа пространственных измерений.
Это непосредственно видно нз формулы (49). В этом случае резко локализованное во времени возмущение в начале координат не может быть обнаружено в точке, отстоящей на расстояние г от начала координат, раньше, чем через г единиц времени. Однако после этого момента влияние в этой точке остается заметным. Другими словамн, решение, вообще говоря, остается отличным от нуля при Г ) г.
Таким образом, в пространстве четного числа измерений невозможен четкий прием передаваемых сигналов, удовлетворяющих волновому уравнению. В этом случае сигналы всегда будут расплываться. Этот факт и дальнейшие соображения (см. б 18) показывают, что трехмерное пространство, в котором мы существуем, замечательно тем, что в нем можно передавать резкие сипчалы без искажения. 695 4 И Метод сферических средних Следовательно, функцию о можно одиозна пк! продолжить для отрицательных г как непрерывно диффереицируемое решение э!ого уравнения, полагая о( — г) = о(г). Мы сформулируем этот факт следую!пик образом: функция о есть решение уравнения Ларбу, нежное относительно неременнод г. Для доказательства мы вычислим с помощью интегральной теоремы Гаусса ') функцию л и гдхгг '"л Я„г=! — ) Ьфгг'х, и, где О, — внутренность сферы ьс,, бх — элемент объема, бх = л = с(х! бхс...
г(х„, а д!дч = ~ч~~ 3, (дгдх,) обозначает дифференцирог= ! ванне по внешней нормали к сфере й„. Дальнейшее дифференцирование по г дает о„= — „~ ... ~ Ьфггх+ „, ) ... ~дфсИ= и, Я н — 1 г = — — о +до, г откуда следует наше утверждение. Если мы предположим, в частности. что наша функция чг(хг, х.„,. „х„) =у(х) зависит только от одной переменной х=х, и что она дважды непрерывно дифференцируема по х, то в силу 3 11, п. 2 ее среднее значение может быть записано в виде ! о(х, г)= — "' 1 р(х+гр)(1 — ре)г" ' сгр чгл Г -! (3) и удовлетворяет дифференциальному уравнению и — 1 Огг+ г (4) Из 9 6.
п. 2 мы делаем вывод. что формулы (1) и (3) дают решение задачи Коши соответственно для уравнений Дарбу (2) и (4) с начальными условиямн (2'). ') См. примечание редактора нв сгр. о37. — Прим, ред. 696 Гл. И. Гинербомтеснне дровннноя со многи.нн неременнымн 2. Связь с волновым уравнением. Ичеется взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения Дарбу и волнового уравнения.
Д *фференцнруя формулу (3) дважды по х, мы будем иметь 1 "'и — 1 Следовательно, из уравнения Дарбу получим ! — — -- о, + о„= — — "--'- ~ он(х + гр) ( ! — !ьз)~" ' д!ь. Я -! В этой формуле параметр х, который добавляется к ги, несуществен. Поэтому мы п;>лучаем следующий результат. Ес.!а функции о(г) сс к(г) связаны между собой интегральныз! преобразование.и 1 'о(г) = ~ о(г(ь)(! —.
)ВУ)м !! д(ь, -1 то ! г (6) Таки.и образом, операции он над функцией о(г) здесь соответствует операция он+(и — !)о')г, примененная к о(г). Мы можем применять формулу (6), если !р(з) зависит не только от одного параметра х, а от и параметров х,, ..., х„; тогда мы будем рассматривать функции 1 о(г, хп ..., х ) = )Г к(х!, ..., х, гр)(1 — и')м "" др, — 1 ! -! Уи(х х г(ь)(! рз)!и з>пдр — ! такое, что о(х, О) = и(х, О) =ф(х), о,(х, О) =О. Теперь мы установям следующую связь между волновым уравнением и уравнением Дарбу.
Пусть и (хп ..., хн, т) — дважды непрерывно дифференцируемое решение волнового уравнения, такое, что и,(х, 0)=О, т. е. решение „четное относительно с". Тогда, заменяя с на г, мы будем иметь четное решение о(х, г) =о(хп ..., х„, г) = Э !3. Метод сферических средних Если мы воспользуемся найденным выше результатом, то получим дифференциальное уравнение Ли(х, гр)(1 — р.')м антс(1 = Начальные условия о(х, 0)=ф, о„(х, 0)=0 удовлетворяются в силу того, что о определяется как сферическое среднее. В соответствии с п. 1, решение задачи Кош! для уравнения Дарбу определяется формулой о (хт, ..., хл, г) = ---- ) ... ) ф (х + го~) с(ит. 1 г ' л Таким образом, решение и волнового уравнения, четное относительно (=г, должно удовлетворять соотношению — ~ и(хн ..., хл, гр)(1 — рт)'л !' ар= ил о Г 4'(х+ гчг) пеес.
(7) Наоборот, из этого соотношения мы можем теперь единственным образом получить решение и волнового уравнения. Задача сводится к обращению функционального уравнения (5): подстановка в (5) г = )е'з, гр = ')его дает [1рименяя сокращенные обозначения ш(з) = о ( ут з) зм л". у(с) = = у(т уго)/ рго, получаем ев(г) = ~ у(о)(г — с)'" ' а'а, (8) с Если и — нечетное, то единственное решение определяется фор- мулой (й) ! — 1 ! л — ! г1г — ) !л-т!П (' т(У с) !л-мй ( г с 698 Гл. П. Гиперболическое уравнения го многими переменными следовательно «и — Н,'2 ) ( п-г,(.)) ( п — 3) лг' (1О) (11) поэтому 2 Таким образом, полагая 22(г) = и(х, г) — '=', мы получаем решение мп задачи Коши для волнового уравнения Ь«« — ии — — О в случае четного л в виде л «12 и(х, Г)=- ~,) /' — — (гп 24)(х, г))ог, (13) 2 в где (г(Х, Г)= — ) ~ ф(Х+Гр)С2«в, (14) а в случае нечетного и — в виде У- «о .«и-1««2 и (Х Г) Г (1«-24~ (Х () ) —,р) ! ! (15) Таким образом, мы нашли явные выражения для решения волнового уравнения.
Легко установить их тождество с представлениями 9 12, если принять во внимание видоизмененное начальное условие, Итак, мы теперь обосновали различные формулы 9 12, п. 1, которые все свелись к уравнению (1О) этого параграфа, Между прочим, было бы достаточно ограничиться доказательством формулы (15) только для нечетных и. 3, Задача излучения для волнового уравнения. Из результатов, установленных в п. 2, мы можем также получить интересный вывод формул для решений, соответствующих ирояессам излучения.
Сначала мы будем искать решения волнового уравнения, зависящие только от гг=~г„хг и от времени 1. Такие решения и(г, 1) должны «=1 Если и четное, то обращение осуществляется с помощью „дробного" дифференцирования порядка (и — 1)(2. Мы получим э" И. Метод сферических средних (16) являюшсмуся уравнением Ларбу (2), в котором переменились роли пространственнои переменной х и временнбй переменной 1. В соответствии с и. 1, решение этого уравнения дается формулой г и(г, Г)= ~ р(! +гр)(1 — рз)л птр -г (17) с произвольной функциея с7.
Лля нечетных л разложение степенной функции в подинтегральном выражении в соответствии с биномиальной формулой дает ~к-з~,"г Г и(г, г)= „, ~ с,г" '( — 1) / ~р(г-1-р)р ар, (18) .=о где с„— бнномиальные коэффициенты. Если л' — любая функция, такая, что (с(" 'гпгх' ')д(х)=р(х), то мы можем интегрировать по частям, Получим гч-зкг 1 ъч и(г, Г)= гч-е-,7а А„г'(( — 1)й (с+г) — К" (г — г)), (19) ,.=о где ун> обозначает ч-ю производную функции и и где коэффициенты А„можно определить '), например, с помошью подстановки в формулу (16). Кроме того, члены — ~~ ( — 1) А,г"и ' (1 + г) и — „- — е ~ А,гчд~я(! — г) каждый в отдельности также удовлетворяют волновому уравнению, так как значение д в точке Г-+ г не зависит от значения в точке ! — г, ва исключением случая г = О.
4. Обобщенные бегущие сферические волны. Сферические бегущие волны, имеюшие вид и =г7(! — г)/г в пространстве трех измерений, обладают аналогом в пространстве любого нечетного числа измерений з). Обозначим волновой оператор д",дР— Ь через С), Мы ') Мы получим (ср. 5 12, и. 7) ((л — 3)/2) 2т ~~л — 3) ') Это интересное замечание принадлежит Фридрнхсу. быть четными по г и должны удовлетворять дифференциальному уравнению (см.
г.ч. !П, 9 3) л — 1 и — а,— и =О, и г нг00 Рл. Л. Гинербо.щнесяне нравнения ев ггнвгияи лереиенныии утверждаем, что для нечетного и функции и = ]<н-1>%у(! — г) с произвольной формой волны 1~ являются решениями волнового уравнения г и=О. Для и=!, 3, 5 мы находим следующие решения: еэ(1 — г); 2(м'(! — г)/г) = /(/ — г)/г, где / = 2~'! (8,'г ) "'(! — г); (3/гэ) тн(1 — г). Последнее решение является не просто относительно неискажаюшейся бегущей волной, а суперпозицией двух таких волн.
Это утверждение немедленно следует из тождества') ь3 1' ' Нггю (/ — г) = О, которое можно проверить непосредственно, но лучше получить из более об1цего тождества, выполняющегося для оператора п — 1 /. 1и(г, /))=и„+ и,— иги (2О) Для нечетных и и произвольных с обе функции л (Г+ г) и л (/ — г) удовлетворяют (и + 1)/2 раз итерировзнному уравнению Дарбу (21) Чтобы доказагь это утверждение, мы сначала покажем, что для произвольной функции ю и целого числа э ~~ О справедливо соотношение э) 1 ! /е ~ 1э (/+ гр)(1 — !ьэ)'г/(ь = иге „~ 1эн(/+ г(ь)(! — (ьэ)" ' с/й, (22) -1 -1 где (э+ 1) лг„ь „=(и — 3)/2 — э. Если обозначить интеграл а левой части через шн(г, х), то в силу п. 1 (ти) = О и 1ак как /е = /т,,з+1(п — (2э+ 3))/г)(аг/г/г), имеем 1 (2э + 3) и — (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
