Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Уравнения второго порядка С помощью формулы (4) из 8 11 получим ') 1 — ! В формуле (11) мы теперь положим рг = в и получим Вл(г, 1)= "" „ / тИ(в)сова — )Хв=, "", ~ Л4(в) ет"Рттв, о илн, после простых преобразований, согласно (13), Б|и М )< тч.ь о» 1,+— (13) В силу хорошо известных свойств „интеграла Дирихле", стоящего в правой части (см. т. 1, стр. 73), мы имеем 22 т)л-а),'2 8.(,, С)= Г(йл)л~ ф О для г(г.
Но для функции о мы имели представление о= ) ... ) ту(х+1)5л(г, 1)с)В тл (14) Вводя полярные координаты яр 2 2 2 г=г()+12+ ... +1л, а,, ат, ...,ал в силу (14) мы будем иметь о=ото ~ сг(х, г)г'-' В„(г, г) птг= о (2 ут Г (,2 12)1" з)Г)гг)(х, г)т(г. ') Согласно т. 1, стр, 408, мы, между прочим, получаем 34 (,) 2,л 2)д р ( тт )л — 2))2 — 2 2(т) и следующее обозначение для среднего значения функции ф на сфере радиуса г с центром в точке х: (г(х), хя, ..., х„; г) = — ~ ... ~ ф (х + аг)т)а, (15) "тл л бг82 Гь )гд Ггяерйоличегние Вровнвнил ео многими перененнесни Для нечетных п ) 3 мы воспользуемся тождеством де †дтп — 2 (г' — 22)'" ' гЯ(х, г) дг = О. о (15') Так как подинтегральная функция есть полипом степени (л — 3) по С то его производная (и — 2)-го порядка по Х равна нулю.
Вычитая (15') из д" пгдт", мы получим для и=( — 1)'" Р д" п)дт" предста- вление а(х, 2)=ф— „2 ~ (22 — г2)г" гг гьг(х, г)дг, о эквивалентное представлению (10). Постоянную С„можно найти либо из приведенных выше формул, либо просто рассматривая частный случай ф = 1, и = С когда <'Э = 1. Мы найдем, что С„ = 1((а — 2)!. Таким образом, решение задачи Коши задается формулой )и — 2 и(х, г)=,. „2 ~ (22 — гт)г" г' гО(х, г)дг. (16) о ') См, Адамар (2). См, также гл. Н!, 4 4, и. 4. Та же самая формула справедлива для четных и; ее можно получить, исходя из (гг').
Однако выкладки в этом случае более громоздки, поэтому мы предпочитаем распространить формулу (16) на случай четного числа измерений с помощью прямого метода, описанного в следующем пункте. 3. Метод спуска. Метод спуска ') основан на следующем замечании: из решения нашей задачи лля и независимых переменных можно получить как частный случай решения для п — 1 или меньшего числа переменных. При этом мы „спускаемся" от „высшей" задачи к „низшей'.
В силу теоремы единственности, мы получим решение задачи в случае и — 1 пространственных переменных из формулы для и пространственных переменных, предположив, что начальная функция г)г(хг, ..., х„) не зависит от переменной хгг Тогда решение и также не зависит от х„и, следовательно, является решением задачи Коши для и — 1 пространственных переменных.
Аналогично мы можем спуститься от п пространственных переменных к и — 2 пространственным переменным, предполагая, что начальная функция г1г зависит только от хп х2, ..., х„,, и т. д. Теперь мы применим метод спуска для того, чтобы вывести формулу (16) лля четного числа переменных в предположении, что она доказана для нечетного числа переменных. з 72 Уравнения второго нарядна Мы будем исходить из (и + 1)-мерного пространства переменных хп х,, ..., хл„н В этом пространстве мы рассмотрим функцию ф(хп хз, ..., хл), зависящую только от л переменных, и ее среднее значение по сфере Я„е, радиуса г: 9 ., (х; г)= — - / ... / ф(х+аг)г(гл 1 ~ла! л~-~ где а — единичный вектор. Так как ф не зависит от (и+1)-й пространственной переменной, то, в силу 2 11, этот поверхностный интеграл сводится к интегралу по п-мерному шару. Имеем г ()лл,(х; г)= ", ) р" ' агр 1 ф( +~ ) ,1 Поскольку лг„= 2 ( )г а) /Г(п!2), получаем 'г 2) (17) где Я„(х, р) = — / ...
/ ф (х+ о:р) г(мл 1 е (Гг гг)(л — ляг и=С вЂ” 1 ~ рл-'Я„(х, р)Фр ~ — — й. дт'-з ~ " ' „л-з 1/гг 2 о г гле С вЂ” постоянная. Введем новую переменну|о интегрирования а, полагая 1 — рз7гз=(1 — рз/Р) з; тогда легко видеть, что ! Гл а ~л-жд (Га а)~л-згз е о Следовательно, ! дл-2 и=С„('(Гз р,)1 -зиг () ( о есть соответствующее среднее значение функции ф в л-мерном пространстве. Таким образом, спуск на один шзг приводит к нужному результату, если произвести следующие несложные выкладки. Заменим в формуле (16) и на и+ 1 и подставим вместо Ял„,(х; г) выражение (17); после перемены порядка интегрирования и дифференцирования получим 684 Гл. И.
Гиперболическое уравнения со многими переменными Постоянную С„снова можно найти, рассматривая частный случай: С,=!Яп — 2) 1. Таким образом, вид решения сохраняется, если мы перейдем к меньшим значениям и. Следовательно, достаточно вывести формулу (16) только для нечетных значений п, так как к четным значениям мы можем перейти от больших нечетных значений. 1 дгк"' Пк(т)=(2Л+1),~ ье ~ (т г )'г0(г)с"г (Л=6 1 . ) (19) Для функций (19) легко доказывается следующая рекуррентная формула (у (г) 1 (Ю', + 2Л(/ ). (20) Из того, что (ге=)0(г), следует (/, .=с ~ аь,Р0сч(г), .=с (21) где а „вЂ” постоянные числа. Если обозначить через Рь(Г) полипом то зто соотношение можно записать в символической форме (/т(с) = тР„(10), (22) где степени 0 заменяются соответствующими производными.
Тогда решение задачи Коши (16) для нечетного л=2Л+3 можно записать в виде и = ГР~в-зуз(10). (23) где 0 (Г) = 0 (Г) = Я (х, Г) — функция, ранее определенная формулой (15). ') Сч. гл. Н!, 6 4, и. 6. 4. Дальнейшее изучение решения. Принцип Гюйгенса. Решение, заданное формулой (16), легко можно привести к виду (4) или (5), откуда легко получить следующий замечательный факт, касающийся принципа Гюйгенса '). Обозначим через 0(г) произвольную Л раз непрерывно дифференцируемую функцию г и рассмотрим функции 6 12.
)сравкеяия второго порядка 685 и = тР1п Зие (10), (23а) где О= — ~ ... ) ф(х+~Г)гасо„„н т. е., согласно п. 3, 1 , (и+1) 2 ! 2 ) 1 1 г" 'с,>(х,г) )Гс., ( и ! Гв-с / )Гте гя 'л 2) о (23') Следовательно, решение представляется через производные функции 0(х, 1) по с до порядка (и — 2)12. По аналогии с тем, как было получено выражение для нечетного числа измерений, мы могли бы дать несколько иное представление через производные выражения с Н(х, г)= ) — — 'ст'г, г г9(х, г) р'Ге — ге о (24) которое удовлетворяет волноволгу уравнению при а=2.
Положим (/л ч — Лл = — — ~ ф — гз) ' г я (г') сЕг 1 дел Г л-ссс *-' л (21) с дтес о (25) н получим для л рекуррентные формулы ( Ел= 21 ((2) — 1)Ел л+(Хл 4 () =1 2 ), Ео Ул с Н (2 б) Отсюда следует формула вида Лл = ~ бл „ГН!'! (1) =о (27) с постоянными бл „. с'!ы можем символически записать полиномы П„М)= ~чР, бм„т' .=о ее через в анде г„= !1,(гн). Из этой формулы мы получим представление решения также и для четного числа и пространственных переменных, спускаясь от нечетного числа измерений л+ ! к и; мы сразу будем иметь 686 Гл. РЛ Гиперболические уравнения со многими лерельеннььчи Следовательно, решение залачи Коши для четного числа измерений есть и=п1„1, (1Н), (29) где т )' гг — г' О Формулы (23) и (29) показывают, что функция и непрерывна, если начальная функция ф имеет непрерывные производные ло порядка (и--2)/2 для четных п и (п — -3)12 лля нечетных и. Возможность двукрашюго лифференцирования и, необхолимая для того, чтобы можно было написать дифференциалыюе уравнение (1), обеспечивается предположением, что ф имеет непрерывные производные до порядка (п+ 1)!2, если п нечетное, и до порядка (и+2),'2, если п четное ').
Из полученных ранее представлений слелуют некоторые факты, касаюгциеся принципа Гюйгснса. Принцип Гюигенса есть утверждение о том, что значение решения задачи Коши для волнового уравненая зависит только от границы области зависимости на плоскости 1=0, т. е. что оно зависит только от начальных значений' решения и и его производных на границе основания г=1 характеристического конуса, но не от начальных значений внутри этого основания.
Мы напомним, что принцип, Гюпгенса справедлив для волнового уравнения с тремя пространственными переменными, но не в случае двух переменных г). Наши формулы показывают, что этот факт является частным случаем следующего общего правила: принцип Ггойгенса справедлив для волнового уравнения, если число п пространственных переменных нечетное, и несираведлкв, когда п четноз). Наконец, рекуррентные формулы (20), (26) легко приводят к представлениям (4), (5). Если вместо У или 7 взять функции й~=(2/[Г~)Г(2Л+ 312)(У~ или 5,=(!/~)Л !2, соответствен о, то мы получим более простые рекуррентные формулы )т =Лйэ,+(г — ай> и тса — — 1(е(х, 1), г о Лс [сг 5„= — Н(х, у) ') Независимо от нашего представления в В 10 было показано, что такое предположение достаточно для решения задачи Коши, э) См.
гл. Ш, 9 4 и гл. У!, 9 2. ') По-видимому, это впервые было четко указано Вольтерра [1) и резоне [1!. 687 4 !2. Уравнения второго порядка откуда следуют представления (4) и (5). Б. Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля. Для того чтобы получ!!ть решение неоднородного уравнения ип — Ли=у(х, г) (30) с заданной правой частью 7'(х, г) и с начальными условиями и (х, 0) = и, (х, 0) = О, (30') мы снова обратимся к методу вариации параметров, или „интегралу Дюамеля', который рассматривался, например, в гл. Н1, 3 4, и, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
