Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 131

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 131)

7, и позже, в й 15, приводят к другому способу построения решения. 2. Теорема существования. Задача Коши для уравнения ь (и)=0 с услоеием и(х, 0)=ф(х) имеет е 77(Г) г.гадкое решение и, если оператор Е гиперболичесссий, а его коэффициенты и начальная функция ф имеют достаточное число производных. Если и принадлежит пространству Н, над областью )т(0), то и принадлеэкит Н, и е любом сечении 77(Г) коноида зависимости.

Необходимо добавить следую.цее: если функция о просто непрерывна нли не имеет достаточного числа производных длл того, чтобы обеспечить гладкость реш ния и, то, тем не менее, можно определить обобщенное реп>ение и как элементпространства Н,, и'=!1ш и„ с помощью замыкания в норме Н,. Доказательство распадается на три э>апа. Сначала мы построим решения для случая, когда коэффициенты оператора 7., а также начальные данные ф аналитические; затем мы перейдем к случаю, когда начальные данные принадлежат гильбертову пространству Н,; наконец, мы снимем ограничение аналитичности коэффициентов оператора 7.

!. Пусть ф — произвольная функция из Н,. Мы приблизим ф по норме г-го порядка последовательностью аналитических функций, например полиномов ф,(1 = 1, 2, ...). Задача Коши для аналитического уравнения 7.[и) с аналитическими (потиномиальными) начальными значениями ф> была решена в гл.

1, э 7 методом Коши— Ковалевской, состоящим в применении степенных рядов. Аналитическое решение ин которое определяется однозначно в силу теоремы единственности, было построено в достаточно узком слое Ег> 0.<г < Т. Ширина этого слоя, Т, не зависит от конкретных полиномов') фо хотя зависит от аналитической структуры коэффициентов уравнения. 2. Так как последовательность начальных значений фг сходится к функции ф по норме г-го порядка над областью 77(0), то энергетические оценки, примененные к разности и, — и , дают следующий результат: все частные производные порядка не выше чем г соответствующего решения и, сходятся по норме порядка г на любом сечении 17(Г) слоя Е при 1.( Т. Очевидно, что энергетические оценки остаются справедливыми н сходимость имеет место, если 77(1) есть некоторая конечная часть горизонтальной плоскости 1 = сопя! в слое Е .

') Си. гл. 1, й 7. ббб С л, рб Гппербп.шчеапие уравнения ео мппгпмп перемепплсмп Тогда из леммы Соболева следует, что последовательности функ- и цпй и н всех их производных порядка меньшего, чем г — —, равно2 ' и мерно сходятся в слое Ег. Если г больше, чем — ]-1, то предель- 2 нзя функция и имеет непрерывные первые производные и удовлетворяет дифференциальному уравнению (1). Кроме того, так как пространство Н, полное, то таким образом полученное решение и(х, 1) принадлежит Н, над областью Я(Г) при 1 (Т.

Теперь мы можем повгорить этот процесс; если в слое 0 (Г ( Т задано решение и, значения которого над областью )2(Т) принадлежат Н„то мы построим решение и в слое') Т: 1 (2Т с начальными даннымн, заданными в сс(Т), и т. д. Таким образом в любом слое Е мы лшжем построить решение с зздассссым~с начальными значениями. Очевидно, выбирая вместо точки Р точку Р', для которой коноид зависимости Гп включает в сегш Гр, мы можем распространить решение и на более широкую область вне Гр. 3.

Это доказательство легко можно обобщить на случай, когда коэффициенты А', В уравнения (1) не аналитические, а просто достаточно гладкие — например, обладающие непрерывными производными до порядка г+1 включительно — причем снова применяются энергетические оценки. Здесь достаточно дать краткие пояснения. Мы предположим, что г ) — +-1, и равномерно приблизим в слое Е 2 коэффициенты оператора Е и их производные с помощью аналитических функций Л„', В, (п= 1, 2, ...) и их производных. Таким образом, мы заменим оператор Е аналитическим аппроксимируюсцим оператором Еп.

Задача Коши для этого оператора в слое Е имеет решение и„; для этой функции Ее [ил] = О; ип(х, 0) = ф (х). Предположим сначала, что функция ф принадлежит Н, , Тогда, в силу энергетического неравенства, ип(1) также принадлежит Н, и ]]и,(Г)]],.лс (сопз1 ]]с]с]]„,+с, где постоянная не зависит от и. Разность и„— и,„, очевидно, удовлетворяет неоднородному уравнению Еп ]ссп сст! (Есп Еп) и и с ппс Фуссс<ция ип — ссп, обращается в нуль при 1 =0, поэтому ]] ип — сс„,', ( сопя]] /„т]],. Так как коэффициенты оператора Еп и все их частные производные до порядка г равномерно приближают соответствующие коэффициенты и производные Е, отсюда слелует, что ]],с„]],-(е„]]и ]],+н причем е„— ьО при возрастании и и т.

Мы уже показали, что ') Равномерность ширины слоя, в которой существует аналитическое решение, следует из теорелсы Коши — Ковалевской. бб? й 10. Теорема суиьесгеоеанил норма у и„,)~,+с равномерно ограничена. Следовательно, )~?„ (), стремится к нулю и, в силу энергетического неравенства, к нулю стремится и би„— и Согласно лемме Соболева, последовательность функций и„и их частных производных первого порядка также равномерно сходится. Предел и(с) функций и„принадлежит Н, прн каждом значении Е Кроме того, так как функции и, удовлетворяют энергетическому неравенству !)и„(г)сс, <сопз( ссф'б', с постоянной, не зависящей от и, такое же неравенство справедливо для предельной функции и.

До сих пор мы предполагали, что функция ф принадлежит Н, Чтобы построить решение для любой функции ф из Н„ мы приблизим ф последовательностью функций ф„, прпнадле>кащнх Н,, В силу полученного выше результата лля этих начальных функций существуют олнозначно опрелеленные решения и,, принадлежащие Н,, и лля и„— и справедливо энергетическое неравенство сс ип — и сс, ( сопя> >сф„— ф с~,.

Это показывает, что последова>ельность и„сходится по норме г-го порядка к некоторому пределу и, который и является искомым решением. 3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и о соответствующих полугруппах. й!алый принцип Гюйгенса. Представим себе, что начальные значения ф(х)=и(х, 0) заланы на всей гиперплоскости 7=0. В силу теореьс существования из п.

2, решение уравнения (1) однозначно определяется для всех последующих значений времени Г ) О. Кроме того, если функпия ф(х) прннадлемсит Н, во всем пространстве х, >о решение и(х, С) будет принадлежать Н,(С) для всех последующих значений времени. Эгот результат можно сформулировать следующим образом, Если сопоставить решение уравнения Е(сс~=О в момент времени С ) 0 его значениям при С = О, то получится отображение функционального пространства Н, в себя.

В частности„решение задачи Коши выражается с помощью некоторого линейного оператора ?', зависящего от Е сс (х, С) = ? (г, 7а) ф, если функция и принимает начальные значения ф при с = Сь. Очевидно, что вместо того, чтобы делать один шаг, переходя от начальных значений прн С=-С =0 к значениям и в момент Е можно ввести промежуточное значение Гн найти и(х, Гс) и затем решить 868 Тл, )гй Гиперболические Кеввненав со нногньш неремекнымч задачу Коши с начальными значениями и(х, (,) вместо и(х, гэ) = ф(х).

Тогда решение выразится через линейный оператор и (х, г) = Т ((, Г,) и (х, г,) и, следовательно, через произведение двух операторов и(х, г) = Т(г, г~) Т((ы У~)у. Тогда, в силу теоремы единственнос'ги, операторы Т должны удовлетворять соотношению Т(Г гэ)=Т(й У1)Т((г (э) пРи С > ~~ > гэ (2) Если мы предположим, что коэффициенты оператора г' не зависят от г, то оператор Т(С, гэ) будет зависеть только от разности г — г и соотношение (2) примет вид Т(1 — г,) = Т(( — (,) Т((г гэ) при г ) ~1 ) гэ (2а) Это является групповым соотношением. Так как здесь предполагается что оно выполняется только для ))~(,)~ге, то можно сказать, что операторы Т образуют полугруппу'). Адамар обратил внимание на соотношения (2) или (2а) и назвал тот факт, который они описывают, „малым принципом Гюйгенса".

В случае, когда операторы Т могут быть явно представлены как интегральные операторы, соотношение (2) приводит к интересным тождествам для ядер этих операторов. Между прочим, то же самое справедливо в случае граничных задач для эллиптических и параболических уравнений, если они решаются с помощью функции Гринаг). Некоторое свойство Р начальных функций называется сохраняюигимся, если решение и(х, г), соответствующее начальной функции у, которая обладает свойством Р, при любом другом значении времени г также обладает свойством Р.

На этом языке наши предыдущие результаты можно выразить следующим образом: гвоиетво иметь ограниченную норму г-го порядка является гохран яюигимся э). Как мы увидим из примеров, приведенных в следующем пункте, свойства функции ф(х) иметь производные или непрерывные производные не сохраняются; некоторые из свойств дифференцируемости ') Рассматривая „обратную" задачу Коши, мы можем убедиться, что оператор Т имеет однозначный обратный Т(г„ г,) = Т '(гп г,).

Поэтому иа самом деле эту полугруппу можно расширить ло настоящей группы. ') В этих случаях граничные задачи имеют решение только в полупространстве, например для г>О, и соответствующие операторы образуют лишь повугруппу. ') Лля несимметрических уравнений это свойство ум<э ие обязано сохранятьсю Например, рассмотрим систему иг — о =О, ог=о, 069 4 1а. теареяа гкасегтаовамия теряются при применении оператора Т. Так как предположение о справедливости малого принципа Гюйгенса очевидно является разумным с физической точки зрения, то ясно, что имеющим физический смысл сохраняюгцимся условием является наличие энергетических норм, а не дифференциальные свойства'). 4.

Фокусирование. Пример несохраиения дифференцируемости. Обычно в математической физике дифференциальное уравнение ь (и( = 0 имеет регулярные, например постоянные, коэффициенты, и начальные данные также регулярны, например бесконечно дифференцнруемы, за исключением, может быть, начального многообразия у (х,, ...х„)=0, где функция и или ее производные имеют разрывы, как это было описано в 9 4, п. 3.

Характеристики

Список файлов книги