Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Но в общем случае эту область Г трудно охарактеризовать. Она может быть областью в пространстве х, содержащей лакуны'); в других случаях она может состоять только из грашщ таких областей (см. дальнейшие исследования, касающиеся принципа Гюйгенса). Поэтому мы стараемся найти некоторый компромисс, считая по определению об.часть зависимости Г настолько малой, насколько это можно сделать с помощью удой>ного и естественного геометрического описания, не ставя себе целью обязательно найти наилучшее точечное множество Г.
Такие описания будут даны в следующем пункте. 2. Описание области зависимости. Мы снова выделим время г = ха и будем обозначать совокупность пространственных переменных хп ..., х„ через х; предполагается, что пространство х пространственного типа и что с есть настоящая временная переменная. Мы будем рассматривать следующие тесно связанные между собой понятия: область зависимости Гр н выпуклую оболочку коноила лучей, или внешний сферический фронт волны с центром в точке Р, обозначенный Г в э 3. Такой коноид, проведенный из точки Р з сторону убывающих значений времени, называется „обратным конондом зависимости"; коноид, проведенный з сторону возрастающих значений с, называется „прямым".
Если уравнение неоднородное, то область зависимости состоит из всех точек (и+1)-мерного пространства х, Г, лежащих внутри Г и на !" между точкой Р и начальным многообразием. Если уравнение однородное, то ооласть зависимости состоит только из точек внутри 1' и на Г, лежащих на начальном многообразии, Мы позволим себе снова обозначать область зависимости через Гр, илн, для однородного случая, через Тр.
Повторяя н дополняя определения, данные в й 3, мы рассмотрим сначала операторы 1.]и], главные части которых имеют постоянные коэффициенты. Из гиперболичности оператора А ]и] следует тогла, что „сердцевина" конуса нормалей выпукла (см. й' 3, п. 7). Двойственный для нее конус Г также будет выпуклым; в каждой точке 1' нормали приналлежат сердцевине конуса нормалей. Следовательно, ') Возможность существования таких лакун видна на примере упруп>х волн (см. й >йа) ) нлн уравнен:ш крнсталлооптнкн.
Глубокое исследование этого явления прннадле>кит Петровскому ]3]. 644 Гл, е!'. Гиперболические йравяепия со многими перемеяпыми элементы поверхности Г отделяют элементы пространственного типа от всех остальных. Как было указано выше, поверхность Г= Гр по определению есть канона зависимости.
Мы можем также определить Гр следующим образом: пусть точка Р имеет координаты (т, 1!, ..., 1„). Для любого а рассмотрим характеристическую плоскость о(г — !) — а (х — ',) = О, для которой скорость о максимальная. Гр есть пересечение всех полупространств о(г — ч)--а ° (х —,') -.О, т. е. множество точек, общих для всех этих полупространств; а пробегает единичную сферу. Для непостоянных коэффициентов определение аналогично: через линейное многообразие (ах) =О или (а(х — $))=О в плоскости г=.т пространственного типа в направлении Г ( т мы проведем характеристические поверхности „типа плоскостей".
Одна из них, для которой „отрицательные' направления нормалей идут по границе сердцевины конуса нормалей, отделяет элементы пространственного типа от всех остальных и соответствует наибольшей локалы<ой скорости в точке Р. Тогда Гр есть пересечение соответствующих полупространств, причем а пробегает всю единичную сферу. И здесь Гр можно рассматривать как выпуклую оболошсу обратного коноида лучей, проходящего через точку Р. Определение направлений „временнбго типа", данное в й 3, п. 7, немедленно приводит к следующему утверждению: внутренность коноида зозисилсости Гр есть множество точек, которые можно соединить с точкой Р кривыми, всюду имеюисилси нанривление временнбго тило.
В следующем параграфе мы ограничимся симлсетрическими гиперболическилчи операторами первого порядка 1[и) = и, + ~ А и,+ Г)и = и,+ Ми, 1=1 Тогда плоскости г = сопя( — пространственного типа. Поверхности Я„ состоящие из куска плоскости г =-., лежащего внутри коноида, и из куска полости Р, коноида 1', лежзщего между плоскостями г =О и Г=т (Ок г(т), образуют „линзу пространственного типа" 1, Если Г = ; есть временная координата точки Р, то эта линза совпадает с внутренностью коноида для О ( г ( т.
Если уравнение !~(У, х) = О задает границу линзы Го то характеристическая форма А = /р! + ~г А!!~! просто совпадает с единичной /=1 4 8. Интегралы энергии для систем первого порядка 645 матрицей 1 при Г =О и 1=;, и характгригтичгскин матрица А неотрицатгльни на конической части поверхности )с, ).
Действительно, на характеристической поверхности чтица плоскости", соответствующей максимальной скорости, характеристическая матрица неотрицательна, Так как лсобая точка границы Гр является точкой касания с такой характеристической поверхностью, характеристическая матрица будет неотрицательной на границе Гр. Следовательно, для поверхности, элементы которой лежат как раз па границе между элементами пространственного н не пространственного типа, матрица обязательно будет неотрицательной.
Конечно, понятия области зависимости и области влияния точно так же применимы к любому более общему точечному множеству П, например к некоторой области плоскости 1 = сопз1 ) О. Область зависимости Ссс является тогда замыканном мномсества всех точек, таких, что Г ~~ О, которые могут быть соединены с точками области П с помощью кривых временного типа. Как мы подчеркивали выше, понятие области зависимости Гр не совсем точно, так как область Гр всегда может быть заменена более широкой областью Гр, содержащей Гр.
В частности, мы можем рассматривать „тетраэдральную" область Гр, ограниченную тремя характеристическими поверхностями, типа плоскостей", проходящими черга Р и соответствующими максимальной скорости. Тогда Гр есть область, общая для всех таких „тетраэдральных' областей Гр. Снова заметим, что оправдание введения понятий, которые рассматривались в этом параграфе, неявно содержится в приведенном ниже доказательстве теоремы существования и единственности з). ф 8. Интегралы энергии и теоремьг единственности для линейных симметрических гиперболических систем первого порядка 1.
Интегралы энергии н единственность решения задачи Коши. В этом параграфе мы ограничимся линейными симметрическими ') Часть гс* является поверхностью .слабо пространственного типа"; иногда мы будем называть ее поверхностью пространственного типа. Основное состоит в галс, что на й" выполняется неравенство А йи О.
') Частные случаи, допускающие явное решение, показывают, что не всегда необходимо заменять коканд лучей его выпуклой оболочкой. Например, пусть и = 2, Д= 2, ь', = 0~ ~— ггз — 4В~~, 5з — — )гэ — 4сэзс — сг;. 1!овсрхность лучей на плоскости х, у тогда состоит иэ двух пересекающихся эллипсов. Система Ес ]и,] = О, 5г ]иэ] = О, очевидво, имеет единственное рещение, если начальные давные для каждой из функций и, и и, заданы на одном из этих эллипсов; здесь нег необходимости рассматривать выпуклую оболочку.
Но если два уравнения связаны через члены порядка, ниже второго, содержащие н ио и и,, то поверхность лучей не изменится, а данные надо будет задавать на выпуклой оболочке. 646 Гд П Гиперболические уравнения со иногиин перелегснсгип гиперболическими снстемамп первого порядка, которые у;ке рассматривались раньше (см., например, 6 3, п. 8 и стр. 587). Они имеют вид и Е [ и] = ~~3 ~Л' ис+ Ви = О. (1) глс все матрицы Л' симметричны, а В не обязана быть симметрячной, Согласно 3 3, и, 7, поверхность Я: -(х) = О является поверхностью пространственного типа для оператора Е, если на Я характеристаческая матрица положительно определенна.
Мы предположилц что система (1) гиперболическая, т. е, что для нее существуют поверхности пространственного типа. Без ограничения общности мы опять можем предположить, что плоскости хв = 1 = сопз1 являются поверхностями пространственного типа, т. е. что матрица Ао положительно определенная. Рассуждения этого параграфа основаны на формуле Гаусса, которая непосредственно вытекает из следующего „дивергентного" представления для и В [и[: 2и Е.[п[ =(и, Ауи) + 2(и, Ви) =О, (2) где В =  — —,„~~ А1~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
