Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Если число Лг достаточно велико, то остаточные члены можно сделать сколь угодно гладкими, что позволит иам завершить построение решения задачи Коши, обратившись к построению, приведенному в 8 1О. В случае, когда ряд (6') конечен или сходится, не пало учитывать остаточные члены; указанный метод применим тогда к ироиззо,гьным 618 Гя. У1.
Гинерболинеские уравнения со многи.ии аерелсенныяи функциям Я(~) = оо(у), независимо от того, сингулярные они или гладкие, Это замечание (см. также 8 18) позволяет полностью построить решение для важных классов начальных данных, не обращаясь к теоремам существования из 8 1О. 4. Распространение разрывов для систем первого порядка. Чтобы провести указанные выше действия, заметим, что Ю-1 ил=8 самца+ Х 8,И) [а',+а"'р,]+" (Ко = Е") (7) а также исл Ь зтлтгз + 8 [сг 18 + тли/+ ттзс+е сглс[л)]+ +2 5 (8; +81" у +а'"ус+8'"'~с +8'"~ у ~+" (8) и т.
дл точками здесь обозначены регулярные члены. Если оборвать формальное разложение после некоторого числа членов, то, как было указано ранее, остаточный член будет сколь угодно гладким. Подставим выражение (7) в оператор первого порядка (1) и получим Ф-1 Е[и] е Ало ] ~чр„~ (А8";л+Е[8."])+ ° о (! 0) (у=О, 1, ..., лт7 — 1), (1О') (10о) Аа =О, Е[У"]+Ай с'=0 5„Е[ук[ [ ЕЯ]=0. Следовательно, как и ранее, [А[=Я(ЕЬу)=0. 8а = к = ог.
Поэтому семейство со=сопя[ представляет собой семейство характеристических поверхностей С,. Умножая равенства (10') на левый нуль-вектор 1, получаем 1Е[Е[=о (11) -[-(ЯлчЕ [плч[+ Е [)я]) = О, (9) где А =Алрс, а 77 — регулярная функция для достаточно больших М. Мы предположим, что все коэффициенты при 8 и 5, 5н ..., а также выражение Яд,Е[дк]+Е[)я] обращаются в нуль не только при су = О, но также и на поверхностях С,: е = с + 0 для прилегающей части пространства х. Таким образом, 619 К О. Росиространенне разрывов и вадочо Коши и, в частности, для ч = 0 ]с [К] = Е [ог] = ~~'.,1А'го, + 11.[г] о = О, (11') или (см. лемму э 3, п.
11) Ц. [ог] = о+ Ы [г] о = О. (12) Это фундаментальное обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее К"=К, как указывалось выше в п, 2. Коэффициенты К1, Кз, ... теперь опрелеляются последовательно; мы рассматриваем К"'' как решение системы линейных уравнений (10'); из способа вывода этой системы следует, что она совместна'), несмотря на то, что ее матрица А особенная. Как следствие мы получаем, что ч+1 .ч-1 ] ~,.+т (13) Здесь величина Ь определяется однозначно (по модулю г), если -~1 известно значение Е[К"], а о' ' — скалярный множитель. Подставим выражение (13) в (11) и напишем ч+! вместо ж мы снова получим обыкновенное дифференциальное уравнение вдоль луча о+ 1Ь[г] о+ 1 =О.
о=о ~ . (12') (14) ') Кроме того, совместность является непосредственным следствием полученных виже соотношений (12'). где я" известно, если известно А[К']. Эти обыкновенные дифференциальные уравнения „переноса" (12) и (12') позволяют последовательно определить функции К" на поверхности С,: о=сопзг=с, если известны их начальные значения на пересечении С, с некоторым пересекающим его многообразием, например ха=О. Тогда функции К" определены в некоторой (и+ 1)-мерной части пространства х, заполненной характеристическими поверхностями р = сопз1 = с. В случае, когда функция и имеет разрыв типа скачка, 5(р) = т](р), (и)=К, соотношения (7) и (8) сразу позволяют нам выразить скачки производных (и,.), (и„), ...
на поверхности разрыва С: о=О через коэффициенты К" и их производные на С. Так как скачки 3(р), Ь'(р), ... равны нулю, мы имеем (а)=К, (ас) = Кч+ К 9с (ас))=КО+КР1+К)9~+К тс)+К 9Р) 620 Гл. !«/. Гилеебелиеееке«уравнения «о многими ееременмыма Обратно, скачки производных функции и позволяют последовательно определить ф) нации л'. д', 1,"з, ... на Св (надо иметь в виду, что продолжение функций д, йч, ... вне Се не определяется скачками и, им .,. и т. д.). 6. Характеристики постоянной кратности. Как указывалось в й 3, для симметрических гиперболических снстем наличие кратных характеристик не обязательно приводит к серьезным трудностям. Хотя большинство уравнений математической физики симметрические, желательно обобщить проделанный выше анализ на важный случай уравнений с кратными характеристиками, кратность которых постоянна, т.
е. не меняется ни в зависимости от направления нормали, ни от точки к точке; система при этом может быть илн не быть симметрической. Мы предположим, что существует э линейно независимых правых нуль-векторов г', г', ..., ге н з независимых левых нуль-векторов 1, 1, ..., !': Аг'= — 1~А=О, ! (1, У~~в. В ситу того что А(и)=0, скачок (и) должен быть линейной комбинацией векторов г', гз, ..., «'. (и) = е,г'+ а гэ+ . +а г' (!5) В общем случае мы выведем дифференциальные уравнения для скалярных множителей ер подставим выражение (!5) в равенство !!.!и] =0 и для 1=-!! получим е е л !),~~, ~,, Аге,,+1~ ~, л~ч (Аг., '+Вг )а =0 (/'=- 1, ..., з), (!1е) =1 .=О ~=1 .=е Эти равенства снова представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно е,, е,„ ..., е, на С.
Таким образом, дифференцирование при з ) 1 может и не привести к обыкновенным уравнениям вдоль бихарактеристнческнх лучей; разрывы, резко локализованные в начальный момент, могут распространиться на всю поверхность С (ниже будут даны примеры). Однако это не может случиться, и, как и раньше, разрывы будут рзспространяться вдоль лучей, если во всех точках пространства х характеристики имеют одинаковую кратность.
Ссылаясь на Э 3, п. !О. мы следующим образом определим такую кратность: алгебраическое уравнение (,!(рв, ..., р,) = О при произвольном наборе значений рп р, ..., эе (в некоторой л-мерной области) определяет кратный корень рв= У(!н ..., р„), такой, что матрица А = А'ер, имеет л линейно независимых правых нуль-векторов г' (! = 1, 2..,., в) и столько же неаависимых левых нуль-векторов 1', Чтобы доказать наше утверждение, мы обратимся к лемме й 3, и. !!. Согласно этой лемме в дифференциальных уравнениях (!1е) 621 Э 4. Рагпроггравевае разрывов и эадача Коша все величины а' дифференцируются по одному и тому же бихарактернстическому направлению х,: ха =- — у'а ч ) 0 и, таким образом, паше утверждение доказано.
Как легко видеть, эти бихарактеристические лучи относятся к непризодимому множителю выражения Я, определяющему рассматриваемую полость характеристической поверхности. Ба. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий более чем одного измерения. Коническая рефракция. Если предположение п, 5 пе выполняется, т. е. характеристическая поверхность С имеет кратность более единицы, но не принадлежит семейству характеристических поверхностей, обладающих одинаковой кратностью для всех направлений нормали и во всех точках пространства, то может случиться, что начальные разрывы из точки, лежащей на поверхности С, распространяются по многообразиям, лежащим на С, имеющим размерность два или более.
Это можно увидеть на почти очевидных примерах. Рассмотрим систему трех уравнений и предположим, что первое уравнение не содержит дифференцировзния по переменной х . Тогда плоскости хз = сопя( булут характеристическими поверхностями кратности два (или, моукет быть, три), так как существует по крайней мере одна линейная комбинация остальных двух уравнений, в которую не входит дифференцирование по хз. Теперь легко видеть, что начальный разрыв на поверхности С; х, = 0 распространяется по С в двух направлениях. Достаточно рассмотреть типичный пример. Мы будем писать х, у, х вместо хн хм хз и и, о, св вместо ин ия из; рассмотрим систему и =О, и — и=О, у ш,— о=О.
Характеристической плоскости я=О соответствуют два линейно независимых левых нуль-вектора (1, О, 0) и (О, 1, 0); эта плоскость С покрыта не одним, а двумя семействами бихарактеристических кривых х= — сопз( и у= — сопя(. Компонента о удовлетворяет дифферен. циальному уравнению о„=О, и, очевидно, разрывы и при переходе через плоскость х =-0 распространяются как решения этого >ке уравнения.
Разрыв, первоначально локализованный в точке, распространяется по двум бихарактеристикам х = сопя( и у = сопз1, проходящим через эту точку. В предыдущем примере отклонение от „нормального" поведения можно считать минимальным. Однако имеются важные с физической 622 Гд РА Гпперболачесеие ураенепия са мнагими переменными точки зрения случаи, когда отличие от нормального поведения оказы. вается более существенным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
