Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Надо подчеркнуть, что в случае приволимости лучи можно (а для кратных кусков нужно) опрелелять не относительно г,г, а относительно неприводимых множителей (! . Как указывалось выше, приводимость формы и кратные характеристические поверхности встречаются во многих задачах математической ') Мы здесь не будем рассматривать случай, когда дзз клк несколько кусков С' просто пересекаются вли касаются (см. Ямагути н Кзсахзрз[Ц ). ') В частности, такая ситуация возникает для системы б [и] = О, если ока состоит зз блоков уравнений, каждое из которых содержит производные только от некоторых иеиз„гстных функций, так что связь между этими блоками осущесгзляется только через члены младшего порядка (слабая связь).
б 3. Характеристики дия опериторое высших порядков 59) физики, например, в уравнениях Максвелла, в линеаризоваиных уравнениях магнитной гидродинамики, в уравнениях упругих волн (см. й За и 1За). Часто встречаются также касания и пересечения характеристических поверхностей '). Однако в этих слу гаях гиперболических симметрических систем кратность не вносит никаких трудностей при доказательстве теорем существования и единственности (но при изучении явлений распространения особенностей и других аналогичных вопросов треб!ется особое внимание). 11.
Лемма о бихарактеристических направлениях. Мы добавим сейчас к этому параграфу несколько замечаний, которые будут использованы в 9 4. Лемма. Рассмотрим в некоторой фиксировинкой точке х характерастическую матрицу А как функцп!о переменных 1)=дфдхг, (=О, ..., и; пусть на нее нагсладываеп!ся условие ~~А) =Я(1о, си .., ;'„)=О.
Если А имеет ранг й — 1, то производные по поправлению бихарокгперистических лучей определяются формулами хг=-(А,г (!=О, ..., п), где точкой обозначено дифференцирование вдоль луча по некоторому пираметру на этой кривой, а 1 и г обозначают левый и правый нуль-векторы матрицы А, доказать это моокно с помощью непосредственного вычисления э). Однако мы проведем доказательство с помощью следующего неявного рассуждения.
Рассмотрим характеристические элементы поверхностей в некоторой фиксированной точке О; они ортогональны образующим конуса нормалей и определяются совокупностью параметров 1о, ..., 1и, которые должны удовлетворять условию О ((о, ..., 1и)=О, но в остальном ') Можно предположить, что такая кратность должна иметь место в системах дифференциальных ураеиеиий.
В частности, легко видеть, что любая система, содержащая нечетное число уравнений, обязана ичеть кратные корни. Разобраться в этои предположении э общем случае было бы интересной алгебраической задачей. ') В случае системы первого порядка Л =- ~~" Л'1и мы обозначим элеь менты матрицы А' через а„'г и заметим, что О. = э! аП А!!, где АО— ц ьи и )=! и алгебраическое дополнение и элементу аы =- ~~ а„'з1, в определителе ))А 1. .=.о По предположению, нуль-векторы г и Г определяются однозначно с точностью до скалярного множителя; они пропорциональны алгебраическим дополнениям некоторой строки или столбца матрицы А. Мы имеем А; А = А: А )! . г/ гг, г! 592 Гж Л.
Гиперболические уравнения са многи>ш леремвнньсяи являются независимыми переченными. Векторы г и 1 являются функциями С. Продифференцируем уравнение Аг = О: А г1г+ ~~ А. гдс,.=О. >=о Умножнв это равенство на 1 и заметив, что 1А = О, получим ~г 1А, г дсг = О. > 0 Дифференциалы г)гг должны удовлетворять линейному соотношению е ж~= л~г де де>=о, ;0 «! так как 5, удовлетворяют условию 1>(5е, ..., 1н)=О; в остальном они независимы. дг;) Из этих соотношений немедленно следует, что величины и 1А'г пропорциональны, так как а компонент г11; можно выбирать произвольным образом. Таким образом, лемма доказана. Этот результат можно обобщить на кратные куски характеристических поверхностей, на которых матрица А имеет ранг 1г — в всюлу в рассматриваемой области.
Такой кусок характеристической поверхности удовлетворяет уравнению вида 5е= Г(5>, ..., с„) Матрица А имеет линейно независимые правые нуль-векторы г', гт, ... и левые нуль-векторы Р, Р, .... Тогда для произвольных 1 и / мы имеем 1РА'гг — 1РАег' Рг Таким образом, независимо от 1 и / справедливо соотношение 1)А'> > ° 1>Аегг (> ) О). (К, )=1, ..., Л), нли 1 О ~1 и 6,„) тле 1; = А'>, г> = А > являются соответственно компонентами векторов и г, а 1/ч = Ап.
(Мы предполагаем, что нтн ф 0.) Далее, е 1А"г = т 1 а~)гт — — ч — а„'>Л >, йнв а г,! > ьт=> и, следовательно, н~г ' 593 4 Уа. Приведи Доказательство точно такое же, как приведенное выше: в фиксированной точке х рассмотрим уравнение Аг' = ~з А "1,гг = — О, где ~н ..., ";„— независимые параметры. Продифференцируем это уравнение, умножим слева на один из векторов 11 и, как и ранее, получим !4 ~ 11А'г' д[ = О, с-з где для рассматриваемого куска поверхности сз — — г" (,"г, ..., с„) соотношение ":о= Х 1,д:, .=1 является единственным условием, наложенным на дгг„.
Следовательно, 11А"гг+ 11Азг~У О В Яа. Примеры. Гидродинамика, криелгаллооитаака, магяитная гидроди..амико !. Введение. В этом параграфе мы рассмотрим три примера '), иллюстрирующие общую теорию 9 3. На [квазилинейных) уравнениях гидродинамики можно показать физический смысл характеристических поверхностей, лучей и коноида лучей.
Второй пример, уравнения кристаллооптики, позволяет изучить важное явление — анизолгролию. Скорость распространения волны зависит от направления, по которому она распространяется; для уравнений кристаллооптики поверхность нормалей и поверхность лучей являются поверхностями четвертого порядка, и, следовательно, они более слохгны, чем в случае уравнений гидродинамики.
В третьем примере уравнений магнитной гидродинамики мы видим, что в важных с физической точки зрения случаях конус нормалей и в особенности коноид лучей могут иметь очень сложную структуру. Ен е более сложный пример анизотропных упругих волн рассматривал Дафф [2[а). Некоторые примеры с сильным вырождением ') В соответствии с теи, как принято в физике, мы будем в этом параграфе иногда применять другие обозначения.
Читатель легко приведет их в соответствие с общими обозначениями Э 3. з) См. также Бухввльд [1]. 494 Гп, Л. Гиперболические уравнения со многими переяенны.яи поверхности нормалей, поверхности лучей и области зависимости были даны Гордянгом [4[. В случае симметрических гиперболических систем доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши не представляет особых трудностей (см. 8 8, п. 10). Однако для неснмметрических систем или для одного уравнения порядка выше второго возможные усложнения геометрической структуры конуса нормалей, особенно наличие кратных элементов, влекут за собой трудности, которые еще полностью не преодолены ').
Даже в случае симметрических гиперболических систем полробный анализ структуры решений, в особенности изучение распространения особенностей, затрудняется при усложнении геометрии характеристических поверхностей. Так, исследования, проведенные в 3 4, непосредственно применимы только тогда, когда кратность корней характеристического уравнения не меняется. 2. Система дифференциальных уравнений гидродинамики.
В качестве примера нелинейной задачи мы рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающую движение сжимаемой жидкости в плоскости х, у. (Случай стационарного течения уже был рассмотрен в гл. Ч, В 3, п, 3,) Если компоненты скорости жидкости обозначены через и(х, у, Г), ю(х, у, Г), а плотность через р(х, у, Г) и если, как и ранее, р(р) дает давление как функцию плотности, причем р'(р) ) О, то квазнлинейные уравнения движения, уравнения Эйлера, имеют вид ри, + рии + раси + р'р„= О, рос+ рио„+ роо + р'р = О, р,+ ир +юр +р(и + о ) =О. 0 Р ср (рс+иср„+юр ) р'ср =О. (2) оср, р,+иср +ор р(ос+но +опг ) О р ') Относительно одного уравнения с кратными характеристиками см. Гардинг [2) и А, Ланс [1).
Пусть о(х, у, Г)=0 — многообразие, на котором заданы величины сс, о, р. Тогда, вообще говоря, все производные функций и, о, р и. в частности, выводящие производные и, и, р, однозначно определяются значениями и, о, р на многообрааии., Однако это не так, если на многообразии ср= О или на всем семействе р = сопа1 удовлетворяется характеристическое уравнение З За.
Примеры Раскрывая этот определитель, мы получаем а=р <„+.р,+.~...)((р,+.р,+.р,> — р (,.+, ))=О; (3) опуская множитель р и полагая р,=т, р =,", р =т), мы будем иметь ~) (т+ ис+ тгп) ((с+ ис+ пп)г — р'(сг+ г)г)! = О. (3') Характеристические поверхности (с уравнением р=О) в пространстве х, у, 1, а также соответствующие им семейства кривых Г = ф(х, у) на плоскости х, у, которые получаются, если положить р = à — ф(х, у), снова дают многообразия, на которых возможны разрывы, или фронты водны, связанные с движениеи жидкости. Например, мы можем получить характеристическую поверхность т+ ис+ тг~ =О, (4) (т+ и";+ тгт))г — р' (сг+ 4г) = О, т.
е. квадратичная полость конуса нормалей. Направления лучей, или бихарактеристик, которые задаются отношением г(г': дх:ггу, снова представляют собой .скорости распространения" или лучевые скорости для разрывов. Лучи, на которых т является параметром, как легко проверить, удовлетворяют уравнению Монжа (см, гл. !1, 3 5) ~лх у гау 1г (6) В акустике и гидродинамике величина (( р' представляет собой скорость звука. Следовательно, уравнение (6) утверждает: относительная скорость распространения разрывов равна скорости звука.
') Член т+ и$+ ит, ч дает скорость изменения Зг в некоторой полвижной частице жидкости. ') Рассматривается локальный конус нормалей с фиксированной вершиной, например Гь — — О, хь — у, = О, и при фиксированных значениях и, Ш р. отвечающую первому множителю в уравнении (3'). Соответствуюгцая полость конуса нормалей' ) в пространстве с, т), т является плоскостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
