Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 113

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 113)

На такой поверхности данные Коши однозначно определяют производные порядка ш, так что этн производные не могут иметь разрывов при переходе через С. Другими словами, такие разрывы могут происходить только на характеристических поверхностях. Для других типов разрывов роль характеристик как единственно возможных поверхностей разрыва будет исследована в 8 4 з). Характеристические коноиды важны потому, что они описывают распространение возмущения, первоначально сосредоточенного в точке О. Такие возмущения называются „сферическими" фронтами волнь< с центром в точке О (см.

гл. !1, Э 9 и гл. 'Л, 8 18). В случае постоянных <совффипаен<воз все лучи являются прямыми и ни конус нормалей, ни конус лучей не зависят от вершины О. Конус лучей, проходящий через О и состоящий из прямых, является огибающей плоскостей, проходящих через О и ортогональных к конусу нормалей Я (т, с,... „ !,) = О или, точнее, эти плоскости ') Иногда более целесообразно рассматривать локальный конус лучей как конус, порожавемый его опорныии плоскостями, а не лучами. ') Лействщеяьно, построения, проведенные в й 4, 9, !О, показывают, что дяя любой характеристической поверхности существу<от такие разр«,ь иые решеаия и.

560 Гл И. Ганерболинеснш Краннннин га лнагила нергленныли являютсв опорьыми плоскостями конуса лучей '). Переменные мы представляем себе в пространстве х, г н (=хе выделяем как время. Пересечение части конуса лучей, направленной вперед, с плоскостью 1 = 1 называется поверхностью лучей. Это (и — 1)-мерная поверхность в и-мерном пространстве х. Поверхность лучей представляет собой геометрическое место точек, куда при 1=1 доходит возмущение и, при 1 —.0 сосредоточенное в точке О. В этом смысле поверхность лучей мо.кет бьль названа сфераческггжфронтолг волны, хотя оиа может состоять из отдельных полостей или кусков. Чтобы сделать эту ситуацию более ясной, предположим, что для произвольного и-мерного елиничного вектора и характеристическое уРавнение "г( о "н, аа)=0 имеет и действительных корней о.—.= и', так что функции гу(г, л)=И вЂ” а,х,— ...

— а„х„=-о( — (ал)=0 (12) представгшют собой „плоские фронты волны", передвигающиеся в просзраистве х с иормалшюй скоростью о в направлении вектора а (см, гл. 111, (! 3)з). Плоские фрошы волны вида (12), проходящие при г =О через начало координат, ие обязательно служат опорными плоскостями для всего гладкого конуса лучей; они могут быть опорными для его оболочки. Оболочка состоит из частей конуса лучей, связанных между собой кусками плоскостей (12), которые касаются конуса лучей по двум бихарактеристикам и отгораживают сектор конуса лучей между этими бихарактеристиками. В некоторых случаях, кроме внешней оболочки, возникают сложные геометрические образования. Попытка дать интуитивно ясное и тем ие менее общее описание представляется очень трудной.

Тем более важным является следующий факт, вытекающий из й' 1, п. 8. Для заданного направления о рассмотрим плоскую волну, определенную формулой (12), и предположим, что ее наибольшая скорость равна ю(а). При изменении а эти фронты волны в момент 1 будут служить опорными плоскостями для выпуклой оболочки Г конуса лучей. Таким образом, выпуклая оболочка Г дает внешний „сферический фронт" для начального возбуждения, сосредоточенного а точке О. Мы можем сказать, что „внутренние" части конуса лучей, не лежащие на Г, соответствуют более медленным „способам распро- ') Как указывалось ранее, ие все опорные плоскости обязаны касаться (лоиальиого) конуса лучей, который может иметь вогну~ые части или изолированные лучи.

') Это ио существу есть предположение гиперболичносги (си. гл. 01. Ь 2 и и. 7 настоящего параграфа). д Д Характеристики для операторов выыиих порядков 581 странения". Этими вопросами мы снова займемся в п. 7, а примеры из 9 За покажут разнообразие геометрических возможностей. Для непостоянных коэффициентов сферические фронты волны уже не являются огибающими плоских фронтов волны. Вместо этого мы будем рассматривать фронты волн типа плоских, т, е. такие решения а(Г, х) характеристического дифференциального уравнения ЯГГ, в, ..., о 1=О, которые при 1=0 имеют начальные значения (вх)=и,х, -!- ...

+а,х„, где а — произвольный единичный вектор. Такие фронты волны, о=О, с течением времени передвигаются в пространстве х и могут потерять свою первоначальную плоскую форму; из этих фронтов можно построить коноид лучей н выпуклую оболочку Г таким же способом, как в случае плоских волн и постоянных коэффициентов. Построение Гюйгенса является полезным вариантом этого построения, но дает поверхность лучей, а не конус лучей.

Для краткости мы снова предположим, что коэффициенты постоянны, и рассмотрим прн ! = 1 плоские фронты волны и — (ах) = О. где Я(.— и, в,, ..., вв)=0, а а — - единичный вектор. Когда вектор а пробегает единичную сферу, вектор (пан ..., пи,) описывает поверхность нормальных скоростей (90), а плоскости и — (ах) =0 огибают поверхность лучей. Так как взаимная поверхность нормалей сама по себе лишена физического смысла и, кроме того, вообще говоря, имеет более высокий алгебраический порядок, чем поверхность нормалей, то представляется более целесообразным выразить соотношение мегкду двумя поверхностями следующим образом: поверхность лучей явливтсл геометрическим местом полюсов касательных или опорных плоскостей нормальной поверхности (9) опгносительно единичной сферы. Это легко видеть, так как плоскости (12) являются поля- рами точек нормальной поверхности (см.

9 1, п. 8). На примерах, приведенных в 9 За, мы убедимся, что для уравнений высших порядков такое построение поверхности лучей указывает на возможность не только вырождения поверхности лучей (например, в изолированные точки), но также на возможность таких особенностей, как ребра возврата. В соответствии с замечаниями в (! 1, п. 8, надо отметить, что более целесообразно рассматривать опорные плоскости, а не только касательные плоскости, и понятие огибающей связывать с опорными плоскостями. Тогда соотношение между поверхностью лучей и поверхностью нормалей будет симметричным; каждая из них является геометрическим местом полюсов для опорных плоскостей другой поверхности.

Такое геометрическое определение можно применять отдельно к каждой из полостей этих поверхностей. 582 Гл. И. Гиперболические уравнения го многими переменными Между прочим, одному изолированному лучу поверхности лучей соответствует плоский кусок поверхности нормалей.

(Лля взаимной поверхности нормалей, нли поверхности скоростей, соответствующий кусок будет сферическим.) Наконец, мы заметим следующее: для непостоянных коэффициентов понятия поверхности нормалей и поверхности лучей сохраняют свое значение; они имеют локальный характер, связанный с некоторой точкой, а соотношение между ними точно такое же, как было описано выше.

ба. Пример. Примером служит следующее уравнение третьего порядка: Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид а уравн ение конуса нормалей в пространстве т, Е и)— (т — т1) (т+ 4)' = 1'(2т+ в). Таким образом, поверхность нормалей есть кривая третьего порядка (декартов лист) на плоскости Е тр ( — 1 — )Н вЂ” 1+ ~)'=1т( — 2+ ) изображенная на рис. 45; из этого примера видно, что конус нормалей может не состоять нз отдельных полостей. Здесь одним куском является овал, а другой кусок касается овала н уходит в бесконечность.

В точке соприкосновения оба куска имеют угловые точки, через которые они аналитически продолжают друг друга, так что вместе они образуют одну связную алгебраическую кривую с точкой самопересечения. Поверхность лучей изображена на рис. 46. Отрезок между точками х = -> !1'уГ2, у = 1, является образом двойной точки поверхности нормалей. Часть поверхности лучей, имеющая угловую точку и расположенная между этими двумя точками, является образом того куска поверхности нормалей, который уходит в бесконечность.

Оставшаяся выпуклая часть поверхности лучей является образом овальной части поверхности нормалей. Этот несколько искусственный пример показывает две возможные особенности геометрической структуры конуса лучей и поверхности лучей. Если поверхность нормалей имеет двойные точки, то поверхность лучей и конус лучей могут не быть выпуклыми и, чтобы получить выпуклую оболочку, надо добавить „крышку".

Характеристики

Список файлов книги