Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 109

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 109)

Это точечное множество У выпукло, так как оно является пересечением множества полупространств; выпукла также его граница Я', очевидно, что она является образом поверхности №. Мы могли также определить двойственный образ выпуклой области гч' как множество полюсов для всех плоскостей в пространстве 6 не пересекающих область №.

Читатель легко может убедиться в эквивалентности этих определений. Во всяком случае, очевидно. что Ь' является выпуклой оболочкой для огибающей полярных плоскостей, соответствующих точкам гладкой части поверхности №. Значение двойственных поверхностей для дифференциальных уравнений высших порядков будет выясняться еще в Э 3. 9. Построение фронта волны по Гюйгенсу, Теория полного интеграла и соответствующее построение огибающих решений задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка немедленно приводит к следующему вах<ному способу построения фронта волны (см. гл.

11, Э 4 и 8, а также Ч 3 этой главы). Мы рассмотрим возможный фронт волны ф(хо хз, ..., х„) = г, удовлетворяющий уравнению а,.а Гу = 1. Сферические волны вокруг точки Ра будем обозначать через аг(хо х,, ...,ха, Р„)=Г, Если при Г = О фронт волны совпадает с заданной поверхностью В'а, то построение Гюйгенсз позволяет получить фронт волны в момент с следующим образом.

Вокруг каждой точки Р, поверхности 1(аа мы рассмотрим сферический фронт волны (=аг(х, Ра) и прн фиксированном положительном значении г построим огибающую всех этих сфер в пространстве х,, х,, ..., х„, заставляя точку Р„ пробегать всю поверхность (г'а. Это дает поверхность ф(хн хг, ..., х„) = г, содержащую искомый фронт волны. Другими словами, фронт волны в данный момент времени Г можно получить иаи огибающую сфгр радиуса С в смысле описанной выша метрики, причем их цснпгры лежат на иоаерхности фронта волны при (=О').

') Мы обращаем внимание читателя иа то, что с первого взгляда кажется парадоксом: предположим, что и(х„х„..., х„г) есть решение дифференциального уравнения г', (и) = О, при гем ф = г — фронт волны. Пусть этот фронт волны состоит из одной поверхности В'ь перемещающейся в пространстве гсл с течением времени.

Если мы будем исходить из фроитз б 2. Урввввввв второго порядки. Значения характвлшсгик 363 !О. Поверхности пространствонного типа. Напрпвлвния врвменнбго типа, Теперь мы займемся дальнейшим выясненислл смысла понятия поверхности „пространственного типа" для гиперболических уравнений второго порялка. Значение этого понятия (см. 9 8, 9) состоит в том, что задача Коши разрешима, если начальная поверхность пространственного типа. Если оператор второго порядка Е(лл) гиперболический, т. е. если матрица ала имеет одно отрицательное собственное значение и и пололкительных, то все направления:., удовлетворяющие соотношению Я=О. обрззуют конус нормалей в пространстве Е Элемент поверхности, проходящий через точку Р, называется элементом пространсилаепиого типа, если его нормаль с направлена внутрь конуса, т.

е. если лг(с) ) О. Он называется характеристическим, если гл(с)= О, и элементом не пространственного типа, если (г(() ( О. Поверхность пространственного типа — это такая поверхность, элемент которой в каждой точке является элементом пространственного типа. Как легко видеть, следующее определение эквивалентно определению, данному выше: элемент поверхности, проходящей через точку Р, называется элементом пространственного типа, если он пересекает локальный конус лучей, построенный в точке Р, лишь в самой этой точке, т.

е. если он разделяет две части конуса. Направление называется направлением временного типа, если оно входит во внутренность локального конуса лучей. Если рзсстояние по направлению временнбго типа отождествляется со временем г, то говорят, что точка Р разделяет части конуса лучей, направленные „вперед" и ,назад", или конус лучей, соответствующий будуилвму, и конус, соответствующий прошлому. В Э 3 мы увидим, как эти понятия обобщаются, разъясняются и делаются более тонкими для задач высших порядков. 9 2. Уравкекая вгпорого порядка.

Зяачеяае харакгпераслпак Вместо того чтобы определить характеристики как поверхности, на которых нельзя свободно задавать данные Коши (как мы делали в 9 1), мы могли бы воспользоваться следующим эквивалентным их волны Ю'л в момент г = О, то построение Гюйгенса может привести к двум различным „параллельным поверхностям" %", и %'о причем обе удовлетворяют характеристическому дифференциальному уравнению.

Однако, по предположению, разрыв решения и в момент г происходят только на одной из них, а именно на той, которая действительно соответствует моменту времени г, в то время как другая поверхность соответствует времени Характеристическая поверхность может (но не обязана) быть поверхностью разрыва решения и, и построение огибающих может также привести к поверхностям, иа которых решение в момент г не имеет разрыва; зло не будет противоречить нашей теории. 564 Гл.

1П, Гигербо.шчегкие уравнения ео мпогимп переменпегвк свойством, которое подчеркивает несколько иную сторону этого понятия: на характеристической поверхности С дифференцизльный оператор является енуглрецним олералгором в смысле, который мы сейчас уточним. Мы видели в гл. Хг, что это свойство является решающим для построения решения задачи Коши в случае двух независимых переменных. Для большего числа независимых переменных это свойство, вообще говоря, не приводит к аналогичному прямому построению решения, за исключением некоторых специальных дифференциальных уравнений (см. п. 4). Однако в общем случае можно исследовать основные свойства разрывного решения, пользуясь внутренним характером лифференциального оператора на характеристиках. При этом можно построить хотя бы остов решения, решая только обыкновенные дифференциальные уравнения.

При соответствующих предположениях можно даже пойти дальше по пути полного построения решения задачи Коши. Следующий важный факт играет большую роль в теории распространения волн, а именно: имеющие физический смысл разрывы решений могут происходить только на характеристических поверхностях (в связи с этим такие разрывы будут называться фронтами волны) и перемещаются по этим характеристикам вдоль бихарактеристических лучей. Это распространение разрывов описывается простым обыкновенным дифференциальным уравнением. В этом параграфе мы кратко опишем положение дел для линейного (и квазилинейиого) уравнения второго порядка с тем, чтобы более подробно рассмотреть эти вопросы в $ 4 и 5.

1. Разрывы второго порядка. Рассмотрим поверхность С: о(хе, ..., х,) = О, на которой первые производные решения и уравнения (1) из З 1 непрерывны ') и непрерывны также все тангенциальные, или внутренние, производные от этих первых производных. Вторые производные и; (если оии це являются внутренними производными) могут иметь скачки на поверхности С.

Для любой функции у', имеющей скачок при переходе через поверхность С, мы будем в дальнейшем обозначать этот скачок через (г)'). Выражение иыо; — и,.р является внутренней производной от и, на поверхности С (см. гл. !1, прил., э" !) и, следовательно, непрерывно при переходе через С.

То же самое справедливо ОтНОСИтЕЛЬНО и;Ре — и Лир СЛЕДОВатЕЛЬНО, ЛИИЕйнаЯ КОМбннаЦИЯ и, г,кт — иу,рле этих двух непрерывных выражений также непре- ') Здесь можно яредполагать, что зто уравнение линейно нли квазилинейио. ') В гл. Ъ', Э 1, и, 3 скачок функции У обозначался через (У!. — Прим, ред. б 2. Уравнения второго порядка, Значение хирактериетик 565 рывна при переходе через С. Тогда для величины скачков мы получаем соотношепне (итя) р!',"! (ит!) ртра' и, таким образом '), (нш) = )етрт» где коэффициент пропорциональности ), есть функция, определенная на поверхности С, которая не может обращаться в нуль ни в какой точке поверхности, где хотя бы одна из вторых производных функции и разрывна.

Между прочим, легко видеть, что Л = (и,,). Очевидно, что поверхность С должна быть характеристической, так как иначе значения всех вторых производных на поверхности С однозначно определялись бы через значения и и и; на С и, следовательно, не могли бы иметь скачков. Этот факт можно также установить непосредственно, рассматривая на поверхности С соотношение на разрыве (Е (и]) = О и применяя предыдущие формулы; мы получим а) 0= ~ атн(ита) =), ~ а!яр!фа. т, я=о т, я=о Разрывы первых производных некоторого искусственно введенного обобщенного решения и могут быть совместимы с дифференциальным уравнением и на нехарактернстических поверхностях (см.

гл. Ч, 2 1 и 2 3 атой главы). Однако в обобщенных решениях, имеющих физический смысла), такие скачки в действительности происходят при переходе через характеристические поверхности, как мы покажем в ч 3. То же самое справедливо относительно скачков самой фушсции и и для других типов скачков. Доказательство существования таких решений, которые исследовались в атом пункте, будет дано в 5 4 и в 2 10.

Характеристики

Список файлов книги