Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 104
Текст из файла (страница 104)
4), даже в предположении. что начальное состояние не является состоянием покоя. Метод решения опирается на тот факт, что задачу ! можно свести к некоторой другой задаче 11, содержащей на одну независимую переменную меньше. Обе эти задачи эквивалентны, что устанавливается с помощью прямого и обратного преобразования Лапласа, но во многих случаях вторую задачу можно решить просто и в явной форме, а первую нельзя.
Желательно, чтобы предположения, при которых можно применять преобразование, были достаточно широкими и охватывали бы важные практические применения. Мы потребуем, чтобы решение и(х, Г) задачи ! удовлетворяло следующему условию: существует такое действптеяьное число ао, что функции и(х, !)е-"', и„(х, г)е-"', и„„(х, С)е-" (6) остаются ограниченными равномерно по х при стремлении ! к бесконечности. При этом предположении соответствующее преобразование Лапласа, которос удобно записать в виде — =- -'-=- ~ и(х, С) е т'а>1, '! о Пралолггние 2 к ел.
р существует для це ( = а ) ао и является регулярной аналитической функцией от т=и+гр в полуплоскостп и ) яв На основании наших предположений мы получаем следующие формулы для производных этой функции: —" = — ~ и,е-г' Ж, т о — — = ~ и ..е-т' ж.
т кк о Из наших условий мы заключаем, что преобразования Лапласа для функций и, и ии также существуют. Мы имеем ~ и,(х, ~)е-т' А = и(х, Т) е-т" — ~о(х)+.( ~ и(х, () е-тг аг'. Так как правая часть имеет прелел при Т-+со и )хе () ао, то левая часть также имеет предел, т, е. мы имеем и,е г' гг'г =о(х, () — о(х). Г о В гиперболическом случае (а ' О) отсюда следует также существование интеграла О~ иие г' Л. о Мы получаем, что Я ~ иае-и Ж = (о — ь) .( — ф.
о Кроме того, если мы умпожим дифферепциальпое уравнение (!О) из й 1 иа е-П и проинтегрируем его по г от О до со, то для о мы получим неоднородное обыкновенное дпффсрспциальпое уравнение Е ~о) + (а('-~-Ь.() о+ а)ч) =(а )'+ д)) о. д 3, Общая теория нестационарны» задач Это уравнение становится однородным, если в начальный момент мы имеем состояние покоя. Аналогичным путем мы получаем граничные условия о (О, 7) = т ~ / (1) е-тт й1, о ро» = (а — йТ) о + )~Та (1) для х=Е Такилз образом, возникает следующая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения относительно функции о независимой переменной х, содержащего комплексный параметр Т. Задача 11.
Е]о]+ (итг+ дТ) оь+ аТф =(а те+ Ьт) о, (7) о(0, Т) = т ~ 7'(С) ежй ~Й, о (7') ро»=(о — ).Т)о+)~'(о(1) для х=Е ~ ".;") ) «ф(]р]) (8) Пусть фунсция 7 (1) — кусочно-гладкая для С )~ 0 и интеграл Х 7'(г)е "'д( абсолютно сходится для а ) ао; пусть ~1(х) и ф(х)— о непрерывные функции для 0 (х (1. Мы немедленно делаем следующий вывод: Если задача 11 имеет единственное решение для любого 7 =э+1Р с и ) ио, то существует не более одного ретиения соответствующей задачи 1, удовлетворяющего условиям (6).
Однако еще более важно показать, что с помощью формулы обращения преобразования Лапласа из решения задачи 11 можно получить решение задачи 1. Мы докажем следующую теорему. Пустпь о(х, т) — решение задачи Н, непрерывное и обладающее непрерывными производными по х вплоть до второго порядка на отрезке 0 ( х (Е Пусть для любого фиксированного х на этол отрезке функция о(х, т) регулярна всюду в полУплоскости ]те т ) ао комплексной плоскости Т. КРоме того, пусть в каждой полуллоскости ]се 7) а +8, аз которой в случае ао(0 начало координат исключаетсн с помощью произвольно малого фиксированного круга, и для любого фиксированного отрезка е ( х (1 выполняется неравенство вида Приложение 2 к гл, )г.
причем ~ Ф(р)с(р существует. Тогда если функция и, опреде- о ленная формулой (9) с непрерывна в области 0 < х <1, г -О, ге + хг)~ г ) 0 (е— произвольно малое число) и обладает непрерывными первыми и вторыми производными в области 0 < х <1, г )~ О, гг+ хг ) е, то функцая и является решением соотвелгствующей задачи !. Здесь контур интегрирования Е есть произвольная прямая, параллельная мнимой оси и лежащая в полуплоскостн а ) и„, или же, в случае и„< О, Е. есть контур, изображенный на рис. 39, Э 2, п.
5 '). Сначала мы установим, что функция и(х, 1) удовлетворяет дифференциальному уравнению. Так же как и при последующей проверке граничных и начальных условий, мы произведем нужные дифференцирования с помонтью приема, несколько р.т упомянутого в 9 1. Сначала мы составим вспомогательную функцию т(х, Г)= —, [ —,' — е 'с)7.
г о(х, 1) (10) тз с В силу предположения (8) эту функцию можно дважды дифференцировать по 1 под знаком интеграла для а < х < Л г )~ О. В частности, мы имеем тон= и(х, 1). С другой стороны, в силу дяфферешша:п,ного уравнения (7), интеграл —.= [ — — е" ду 1 с й[о~ 2-.Л 3 -Р Е равномерно сходится в области е < х <1, а <1 < Т. Из этого мы заключаем, что справедливо соотношение г) ь [т[= .
З1 еббр. 1 г с[о[ йя ~ уз г ') Легко доказать, что этот результат совпадает с представлениеи решения в зиле интеграла Люамеля 8 1, и. 3). ') достаточно проверить, что 1 и + о — и1= Рт~~+Чтю 2ти т[ с или, так как р > О, что - =— 13 Е и 3, Общая теория еестоиионорньт седая Отсюда следует, что 1 гесс + д — ( ( ) = — „; ( — „. ((ау'+ дт) о — Г- (о) ) дТ. с Таким образом, нз дифференциального уравнения (7). мы получили 1 ег' и+ (, — У.
М = —, (" —, ((а Р+ д Т) Т+ а Тф) с(Т, или атил+ дтос — б (ш) = аср+(бр+ аф) Г. (1 1) Если мы продиффереицируем это уравнение дважды пч à — это возможно, так как по предполоскению функция и(х, с) дважды непр"- рывно дифференцнруема, — то для сс ны получим лифференциальное уравнение аисс+дис=(.(и), справедливое дчя таких х, Г, для которых 0 ( х ~Г, Г ) О. Тот факт, что фунщщя и в точке х= 0 удовлетворяет граничному условию и(0, Г)=у(Г), немедленно следуег из теоремы об обращении преобразования Лапласа и из непрерывности и(х, Г) при Г ) О, 0 (х (У.
Для вспомогательной функции ш на конце х =1 выполняется условие ,. сс Рь я+Мс — ош= —,, ( —,(оо„+()гу — о)о)с(т= с 2' .( 1т(1) Г етс ь Следовательно, дифференцируя два раза по Г, мы получаем ри, + Лис — ои = О. мы положилн здесь Р(х) =ехр ~ — их' . Интегрируя выражекне о, ва(гу ~3р данное выше с помощью интеграла, мы получаем е сг я их' г о'х' Р(х) 3 — ( йих"=ш(х, с) — ш(с, С) — А(С) ( ,/ Р(х') ' где А(т) не зависит от х.
Дифференцирование этого последнего уравнения сразу дает гс = (Ршя)» Приложение 2 к гл. Чтобы проверить, выполняются ли начальные условия, мы заметим сначала, что функции ис(х, 0) и юс(х, 0) равны нулю прн х) 0 в силу того, что ! ге и( 0)=2, [ —.1( — 2я!~ 3 ~, (, О) = 2.',. ~ — „", 1т, о и ввиду условия (8). Действительно, справедливы оценки [- (х, О)[( —, ~ Чс(р) с(о, 1 о [тссс (х, 0)] ( — [ Ф(р)с[р, о из которых нри а-ьсо получается нужное утверждение.
Из предположений, сделанных относительно функции и(х, 1), следует, что ис и ыс непрерывны вместе со своими производными до второго порядка в области 0(х(1, с) 0 и, следовательно, что выражения Е [э[ и 1. [тис[ стремятся к нулю при 1-ьО. Уравнение (11) переходит в уравнение а [асс (х, 0) — с]с (х)[ = а [и (х, 0) — с]с (х)] = О. (12) Дифференцируя уравнение (11), мы получим для 1=0 а (вессс с[с) + 'с (~се 1о) = О или (13) а [ис(х, 0) — с]с(х)]+ Ыи (х, 0) — со(х)] =О. В случае а+0 отсюда следует, что и(х, 0)=о(х), и,(х, 0)=ф(х), а в случае, когда а =О, се чьО, получаем и(х, 0)=ч(х), чем заканчивается доказательство.
Наконец, мы ааметим, что, в силу условия (8), при произвольном а ) ао для функции и справедлива оценка [и(х 1)[, ! еес ~ сгс(,)лр о Р Ц Общая теория иесгаяиоиарньс» задач Для ! ( 0 отсюда следует, что а(х, Г)=О, а для г>0 Э ( и(х. г) ( ( — е'' ~ Ф(р) г)р. 1 о (14) (16) Это показывает, что первоначально сделанное относительно и предположение (6) выполняется для только что построенного решения. 3. Пример. Волновое и телеграфное уравнения.
В качестве иллюстрации метода мы рассмотрил~ телеграфное уравнение ац=и»» — г'и (г — постоянная) (16) с начальными условиями и(х, 0) = и,(х, 0) =0 (16') н граничными условиями ') П ц(0, 1)=з,, (16и) ри»+),ц, = ол лля х = 1. Мы плгеем соответствующую задачу 11: о»» (и 7)= тэ ! ро» =(о — ),7) о для х =1, (17) (17') причем мы долзкны положять Ат = 7з + гз. Решение этой задачи определяется формулой раси Ф(1 — х)+(11 — и) ай А(1 — х) о(х,,) = »» — г(я)еам зб 1 1 — г(Д)е тз (18) ') Вместо того чтобы строить возникающую под действием импульса функцию (У(х, Г), мы построим функцию сгз(х, Г) (см.
5 1, и. 6), чтобы на основании теоремы из и. 2 иметь уверенность в толп что соответствующий интеграл (1/2тл) ~ (о(х, 1)!!! ет~ ат представляет искомое решение. ПредЕ положения этой теоремы не будут выполняться для интеграла, представляющего У (х, Г). Однако мы можем затем получить сг из Оь так как (7 (х, 0 = бз(7,' (х,'117616 Лриложение 2 к гл. р где а)' йу-гт — рй— (/с) л рй +,,й (19) Как и раньше, мы видим, что существует такое ие) О, что знаменатель выражения (18) ие имеет нулей в полуплоскости Ке т ) ае; следовательно, функция о регулярна всюду в этой полуплоскости.
'г(а любой прямой /., параллельной мнимой оси и лежащей в полу- плоскости Ке т )~ ее+ й, выполняется неравенство ! ~< е(х. 1) 1 А ~ ~ (В+~91)т где А ) 0 и В ) 0 — постоянные, не зависящие от х и т. Из этого неравенства и из соответствующих оценок для о„/т и о„„/т ясно, что и(х,/)= — ) ' е т/т 1 Г о(х, -/) 2тл ./ (20) является непрерывной функцией и имеет непрерывные производные первого и второго порядка в области 0 ( х (/, /)~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
