Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 106
Текст из файла (страница 106)
„х„), чтобы на С зта функция и ее производная по р совпадали с заданными функциями (1') от Ло, ..., Л„, и чтобы функция и удовлетворяла уравнению (1) на поверхности С. Ясно, что все вторые производные функции и(хо, .... х„), кроме и , однозначно определяются из данных на поверхности С с помощью дифференцирования функций (1') по внутренним переменным, Теперь мы постараемся выяснить, когда дифференциальное уравнение и начальные данные определяют также н производную и на Фе поверхности С, В переменных Л, ),,... „Л„=>!> уравншще (1) принимает вид и !',>(у>)+...
=О, (2) где (3) я (р>) = (е (~> рв) = лч", и>л'Р>р» >,л о ') Далее в этой главе мы изменим обозначения, сохраняя обозначения С и т для характеристических поверхностей. ') Для уравнений порядка >л соответствующие данные Кои>и состоят нз значений и и ее выводящих производных до порядка я> — 1. ') Сравните с соответствующими рассуждениями в гл. 1И. 4 д Уравнения второго порядка — хара!стерыстыческал форлга. Точки в выражении (2) заменяют члены, которые выражаются через начальные данныс, т, е.
члены, содержащие только внутренние производные функции и и первых производных от и. Следовательно, вторая произволная и однозначно определястся данными задачи в каждой точке Р поверхности С, в которой коэффициент при и „в формуле (2), т. е. квадратичная форма Я(р!), не обращается в нуль. Таким образом, для каждой точки Р поверхности С мы получаем следующую альтернативу: либо вторая производная и, а вместе с ней и все вторые производные, однозначно определяется начальными данными и дифференциальным уравнением, либо дифференциальное уравнение представляет собой некоторое дополнительное ограничение, наложенное на начальные данные.
В лальнеишем будет предполагаться, что на всей поверхности С для начальных данных, заданных формулой (1'), выполняется одна из этих возможностей. В первом случае мы называем начальную поверхность сшбодной (см. гл. Ш, Э 2), а во втором случае — характеристической. Во втором случае иа поверхности С при заданных значениях и и и! удовлетворяется характеристическое уравнение (4) !)(ур ув) = — гг(!у!) = ~ а!Игра= О г,в=о причем в коэффициенты ага подставлены начальные значения и и ир Хотя характеристическое соотношение (4) имеет форму дифференциального уравнения первого порядка относительно функции ст функция о(хв, хи ..., х„) не обязана тождественно удовлетворять этому уравнению; по определению, она должна удовлетворять соотношению (4) только на повсрхности С, т.
е, при =О. Однако если С задается в виде хо=ф(хы х,, ..., х„). то (4) представляет собой дифференциальное уравнение относительно функции ф!!, зависящей только от и переменных: ~ а;ьфгфл — 2 ч!' агоф,. + а, = О, причем вместо хо пало подставить в коэффициенты его выражение через хи х,, ..., х„, а вместо и и и, — их начальные значения.
548 Гл. Чб Гиаербалические уравнения со многими переменными Если, в частности, аад, — — — 1, а;„ = 0 для 1 -. Г ( и и если коэффициенты аиь не зависят от х, =- Г, то уравнение (1) принимает вид л ии — ~~ а;ьггт+... = О, (5') ь,ь=! а характеристическое дифференцпальное уравнение для функции ф— вид и ~ агьфьфь =1 г,ь=! Этот случай часто встречается в физике. Для заданного решения и=и(хе, хп ..., х„) днфференциаль. ного уравнения (1) функция и и производные и, являются известными функциями переменных х„, хн ..., хи, Заменим и и и! в коэффициентах а; на эти известные функции; тогда хирактеристическое уравнение (4) определяет характеристические поверхности для заданного решения и. Если уравнение (4) удовлетворяется не только при !р= О, ко и тонсдественно по х„, х,, ..., х„, то уравнение !у=с=сопя! дает однопараметрическое семейство характеристических поверхностей, зависящее от паральетра с.
Обратно, если уравнение э=с является ураенениел! такого сельейства характеристических поверхностей, то функния удовлетворяет уравнению (4), которое надо пони. мать как дифференциальное уравнение первого порядка. Кроме того, из уравнения (л) видно, что иа характеристической поверхности С, где О(ви у )=О, дифференциальный оператор второго порядка С [и[ является ануа!ремни.и дифференциальным оператора.и в следующем смысле: если на С заданы значения функции и и производных иг, то известно значение Е [и[.
Действительно, из начзльных данных можно найти значения всех внутренних производных от и„а также от и . Выводящая вторая производная и не входит в оператор, так как член с этой производной имеет вид и г,), а ь,)=0, Поэтому уравнение О[и]=0 на поверхности С можно тч рассматривать как дифференциальное уравнение первого порядка относительно выводящей первой проиаводной и,.
Как уже указывалось в гл. П[, хзрактеристические поверхности могут существовать только в том случае, когда действительные функции р удовлетворя!от соотношению (4); тогда квадратичная форма (;г(р!) не должна быть знакоопределенной. Уравнения, для которых квадратичная форма О, содержащая и+ 1 переменных, может быть с помощью линейного поеобпазования сведена к ана- 3 А Уравнения второго порядка логьчной форме, зависящей от меньшего числз переменных (параболические уравнения), не будут рассматриваться в этой главе '). Теперь мы предположим, что форма Я не только не является знакоопределениой, ио что ес индекс инерции равен 1, т. е. что в каждой рассматриваемой точке форму Г~ можно с помощью соответствующего линейного преобразования независимых переменных привести к виду Я=Ф',+Фа+... +Фп — Фо. Тогда дифференциальное уравнение (1) называется аилерболическим.
В новых переменных его главная часть в точке Р равна и„+и + ...+и,— т. е. совпадает с главной частью еолноеоео уравнения. Элемент и-мерной поверхности Фа=О называется элементом пространственного типа, а направление оси Фо можно рассматривать как временную ось в точке Р.
Позднее, в $3, мы дадим более общий анализ понятия гиперболичности (см. также гл. П1, 3 2), не используя тот факт, что Я вЂ” квадратичная форма. Простейшим примером является волновое уравнение иц+ им+ + т'пп иго= О для которого характеристическое уравнение имеет вид Р'+'г+" +.~' — Я'=О Конечно, существуют квадратичные формы Я с другими индексами инерции. Мы вернемся к этим .ультрагиперболическим" случаям позже, в 3 16 этой главы. Типичным примером служит дифференцизльное уравнение иц+ и,— и — и„, =О с характеристическим уравнением ,г+,я,г тз ') Теория линейных параболических уравнений второго порядка полробно изложена з обзорной статье А. М. Ильина, А. С.
Нвлвшиикозв и О. А. Олей ни н, Линейные уравнения второго порядка пзраболпческого типа, Успехи матам. наук, 17, вып. 3 (1962), 3 — 146.— Прим. ред 550 Гя. И. Гиперболические уравнения со многими переменными 2. Линейные дифференциальные уравнения.
Общая ситуация, описанная в п. 1, упрощается для линейного дифференциального уравнения 7. (и) + с( = О, (6) где л л 7. (и): — ~ч~~ а, и,. + ~ч~~ а,.и,+ пи, (7) ,я=о с=о а коэффициенты ас„, аг а являются заданнымн функциями только от и+ 1 независимых переменных х„, хн ..., хл. Тогда выполнение характернстнческого уравнения (4) или (5) зависит только от поверхности С н не зависит от начальных данных; поэтому характеристики не зависят от того, какое решение рассматривается. То же салше справедливо, если от и и ее производных не зависят коэффициенты главной части, т.
е. ат. Такие уравнения называются почти линейными. Поверхность су=О в пространстве х, удовлетворяющая уравнению (4), т. е. такая, что (г(ус) = О, называется хараитгрссстической' повгрхногтью линейного дифференциального уравнения (б). Очевидно, в этом случае гиперболнчьость является свойством самого дифференциального уравнения и не зависит от начальных данных. Связь между характеристическим уравнением (4) н дифференциальным уравнением (5) л л ~ асаф!(ся — 2 ч! асо(сс+ ам! — — 0 кг=! с=! можно описать следующим образом: предположим, что функция су=су(хо, хн ..,, хл) является решением уравнения (4), которое рассматривается как дифференциальное уравнение с частными про изводными.
Если уравнение т=с=сопз1 решить относисельно х„, хо=ф(хс, хг, ..., хл, с), то получится однопараметрическое семейство решений уравнения (5). Обратно, если хо = ф (хи х,, ..., хл, с) есть однопараметрическое семейство решений дифференциального уравнения (5) и это равенство раарешается относительно г в вчде с = р (хо, хо ..., хл), то функция в является решением дифференциального уравнения (4). Пусть теперь сл = Π— произвольная характеристическая поверхность, удовлетворяющая уравнению (4) прн чс = 0; тогда соответствующая функция хо — — (с(хс, хг, ..., хл) б Д 1травнення второго порядка является решением дифференциального уравнения (5).
Любое достаточно гладкое решение такого дифференциального уравнения с частными производными первого порядка может быть включено в однопараметричсское семейство решений хс — — ф(хн хм ..., х„, с)'). Решая это уравнение относительно с, мы получаем соответствующее решение уравнения с частными пронзволными (4), Следовательно, любая характеристическая поверхностнь с=О может быть включена в однопараметрическое семейство характеристических поверхностей у= с. Поэтому мы можем без ограничения общности предполагать, что такое включение произведено, если специально не оговорено противное. Тогда функция р является решением уравнения (4), причем его надо понимать как дифференциальное уравнение с частными производными.
В качестве примера такого включения мы рассмотрим при и =2 дифференциальное уравнение ии — и„„ — и = 0 и характеристический конус у =†та — хт — уа = О. Эта функция )( уловлстворяет дифференциаяьному уравнению ут — )(г ус 4)( х 7 Поэтому конус у = О характеристический, но поверхности )(= с не являются характеристическими при стыд, С другой стороны, если мы включим исходный конус в семейство конусов ьт = 1 — утка.+ ут = с, то получим ~, — ~„—,р,=О, 2 т 2 так что поверхности о=с будут характеристическими при любой постоянной с. Соответствующие утверждешш справедливы длв волнового уравнения с любым числом переменных. 3. Лучи илн бихарантернстики. В соответствии с теорией уравнений первого порялка. изложенной в гл.
П, любая характеристическая поверхность с=О или о=сопз1 порождается семейством бихарактеристических кривых или лучей, которое тесно связано с уравнением второго порядка (1). Эти лучи задаются как функции некоторого параметра в на кривой с помощью системы п+1 обыкновенных дифференциальных уравнений и х,= — Я„= у атьть (1=0, 1, ..., и) 1 к'к (8) ь=о ') Например, согласно гл. П, иы можем определить решения дифференциального уравнения (5), задавая начальные значения, зависящие от параметра с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
