Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 110
Текст из файла (страница 110)
') !1о предположению, все производные функции т не мнут обращаться в пуль одновременно ни в какой точке поверхности й = О. ') Аналогичное исследование можно провести для таких разрывов нн поверхносп! С, когда разрывны толю!о производные порядка 2 + г; мы должны просто ! раз продифференцировать уравнение и применить к проднфференцированноиу уравнению прежнее рассуждение, В результате снова получится, что поверхность С характеристическая; кроме того, если скачок выводящей (г + 2)-й производной есть ) = (и ), то скачки производных т чЕт„о...Ет„"и равны !.т ' ... ч„" (и +... + и = г + 2), где О; обозначает дтдхп ') .Допустнмыс" решения будут охарактеризованы в Ь П 5ББ Гл.
П. Гссссердо:>ические уравнения ео многими еерелсенноыш 2. Дифференциальное уравнение на характеристической поверхности. Для краткости мы ограничимся линейнымн дифференциальными уравнениями. Мы выясним, какие сведения можно получить из того факта, что В[и[= ~с а;„и; + ~~'.~, аси,.+ аз= О с,е=о с=о на характеристической поверхности су=О. Вез ограничения общности мы можем предположить, что семейство поверхностей с( = е = сопз1 преобразовано в семейство координатных плоскостей х„ = с = сопз1. Результаты можно будет затем сформулировать для произвольных поверхностей р = с на основании свойства инвзриантности, доказанного в Э 1, п.
5. Мы запишем уравнение (1) в виде Ь[и[== ~~' а;еи„+ ~с а,и,+ аи+ а„„ие„+ >, е=о и-! + 2 ~~,'с аи,и,„+ а,и„= О. (2) с=о Теперь мы объединим члены, содержащие только внутреннее дифференцирование на поверхности С:х„ = О, т. е. дифференцирование по переменным хо, хм ..., хе и и обозначим их сумму через У. Мы имеем е-! Ь [и[==-=/+ а„„и„„+ а„и„+ 2 ~с ас„и,„= О. с=о Из предположения о том, что поверхности э=и„=сопя[ являются характеристическими, немедленно следует, что а„„= — О, и обратно.
Поэтому на этих характеристических поверхностях мы имеел! 1[и[=У+ а„сс„+2 ~.: ас„сс;и=О. (4) с<е Далее, для !у= х„производные характеристической формы Я(ус, сул) равны дг) . дС;> д — — 2и;„, с(и' д — — О. дт,. те В Сиду й 1, ВЕКтОр С;> КаСаЕтСя ПОВЕрХНОСтИ >о=СОПЗ1 И уКаЗЫВаЕт направление бихарактеристических лучей. Вволя производную и =о, выводящую иэ поверхности, и соответствующий параметр з на лучах, д 2. Уравнения второго лорядкв. Значение «ирактериетлк 567 лежащих на поверхности ее =сопэ1, мы можем записать уравнение (4) в виде + д +~в~ дв где д[дв = 2 т а,.„дгдх, ! <л В соответствии с З 1, дифференцирование по характеристическим направлениям инвариантно ') относительно преобразования, переводя- щего плоскости хл = сопз1 в другие семейства характеристических поверхностей Р = — с =- сопз1.
Кроме того, по определению, выражение Е[р — с[ на поверхности р = с инвариантно относительно преобразо- ваний координат (эта инвариантность определяет преобразование коэффициентов оператора Л). Так как для !р = х„ = О мы имеем [.[!~[ = ал, и, вообще, для т = хл = с мы имеем 7.[у — с[ = ал, то мы мои!ем теперь записать уравнение (5) на характеристической по- верхности С, с уравнением:р = с в виде З+ - — + 7, [т — с[ = О, дв дв (6) где оператор Л [Р— с[ на С, обращается в известную функцию, а выражение З также известно па С,, если известна функция и.
Эта замечательная форма исходного дифференциального оператора будет по разным пояодам встречатьсч и дальше. Это соотношение показывает, что на С данные Коши действительно нельзя выбирать произвольно, Мы сейчас воспользуемся этой формой уравнения для изучения распространения разрывов. 3. Распространение разрывов по лучам. Уравнение (6) представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно выводящей производной о = — и . Это обыкновенное дифференциальное уравнение выполняется на каждом из лучей, порождающих характеристическую поверхность т = — е. Теперь мы на некоторое время вернемся к предположению, что семейство характеристик состоит из плоскостей у = хл = с. Тогда тождественно выполняется равенство алл = О.
Мы воспользуемся уравнением (6), дифференциальным уравнением, которое получается в результате дифференцирования (1) по хл = р, предположим, что алл = О, и получим, что а;егття„+2 ~ а„ивы+ ~.", а,.ил,+ аил+ т,я<л т<л +(а)л и+ алиня+ ~ (аы)л им + Пя<л + 2 л~а (агл)л ил, + ~~'„(ае)„и, = О. ') С точностью до произвольного внутреннего параметра на бихарактеристических кривых, 568 Гл. У!. Ги»еров»ические уравнения са многими»еременнвкми На поверхности в=О функция и и ее первые производные, а следовательно, также их внутренние производные, предполагаются известными. Обьедиияя их во внутренний оператор в'", будем иметь .!'+2 ~~,'г и!»та!+а»м =0 (я= ит ).
! Если, как в уравнении (6), мы обозначим дифференцирование по лучу, лежащему на поверхности С, через д!дэ, то мы можем написать, что гг" + й +и„я=О, (5а) Теперь, как в п, 1, предположим, что производная и имеет скачок при переходе через С (и, )=(ю) =), в тв время как функция и, ее первые производные, а также их внутренние производные, непрерывны на С.
Тогда, в силу непрерывности выражения в'", уравнение (ба) немедленно дает соотношение на скачке ') для поверхности С:х„ = О д~,+„ где д/дэ обозначает дифференцирование по бихарактеристическим лучам на поверхности С, а выражение Р=(.[р[=!.[х„[ на поверхности С известно. Уравнение (7) дает закон, управляющий распросглранением разрыва вдоль лучей, лежащих на характеристической поверхности разрыва.
Оно имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения и, между прочим, показывает, что величина скачка не может обратиться в нуль ни в одной точке луча, если он где-нибудь на нем отличен от нуля. Вследствие инвариантности характеристик и дифференцирования по характеристическим направлениям, соотношение (7), где Р = Ь[р[, имеет место для произвольных, не обязательно плоских, характеристических поверхностей гр = О. Чтобы установить этот факт, заметим, что если мы преобразуем х„ в у, то выводящая производная и„, перейдет в и ~рэ + .... Точками обоаначены члены, непрерывные ге л» при переходе через поверхность С; они пропадут, есл~ мы возьмем разность значений оператора 7.[и[ с двух сторон С.
Множитель уз л» приводит лишь к изменению параметра з на луче. ') Оно получается, если рассмотреть уравнение (ба) для двух точек, лежащих по разные стороны С з окрестности некоторой точки С, взять .разность и перейти к пределу прн стремлении этих точек н одной точке на С. Р 2. Уравнения второго порядка, Значение характеристик 569 Если разрыв происходит при переходе через характеристическую поверхность о = с, то закон (7) надо заменить следующим: Л +б[р — с)Л=О, Мы увндим, что аналогичные законы справедливы для всех типов особенностей решений линейных дифференциальных уравнениИ, например, для разрывов первых производных нлн даже самой фуисции и, в смысле, который будет уточнен позднее (см. 9 4, п.
3). Наконец, обратим внимание на одну специальную характеристическую поверхность, а именно, „коноид лучей', введенный в 9 1. По его лучам переносятся локальные разрывы из его вершины в пространство х. 4. Пример. Решение задачи Коши для волнового уравнения с тремя пространственными переменными.
Как указывалось во введении, есть случаи, когда решеняе может быть фактически построено с помощью ннтегрировання по лучам. Важный пример дает уравнение б(тг)=— цт — Ьн= — ин — л „вЂ” и „вЂ” а„=О. ту (8) Применяя высказанные выше идеи, мы решим задачу Коши для этого уравнения; эта задача уже рассматривалась в гл. 111, 9 5; более подробно она будет исследована в 9 12. При 1=0 мы зададим начальные значения и(х, у. », 0)=ср(х, у, л), и,(х, у, », 0)=ф(х, у, »). Мы введем следующие снмволы дифференцирования: д д д д А =» — — х —, А.=х — — у— дх д» ' г ду дх д д А =у — — » —, д» ду ' и д ! г д д д д 1 — = — ~х —,— + у — +» — +(т — т) — !, дг е — ". ~ дх ду д» ш! д 1 Г д д д д ! — = — |х — -+ у — +» — — (т — к) — !. дч à — к 1 дх ду д» дг!' Этн обозначения несколько отличаются от обозначений п.
3. Тогда на характеристическом конусе К К: (г — т)з — хэ — ут — »э = О с вершиной в точке Р: (О, О, О, т) дифференциальные операторы Ан А,, А. н лифференцированпе в характеристическом направлении д/дв явлшотся внутренними дифференциальными операторами, а д,'дч обозначае~ дифференцирование по направлению нормали, 570 Гл. П. Гиперболические уравнения со многигщ перелыгиными Каким образом на К связаны внутренние производные, видно из тождества ди д г дит Ч'( ) = — (~ — )'~( ) — И вЂ” ) д, — (И вЂ” ) —, ~И вЂ” т) д ~ = де ~ =(А~+ Ат+ Лз) и, (9) справедливого для (à — т)а=ха+уз+за. Но на трехмерной сфере ха+ ут+ зт = сопя( поверхностный интеграл от Л, (о! равен нулю для произвольной функции о, так как равен нулю соответствующий интеграл по любому кругу, образованному пересечением сферы с плоскостью з = сопзб То же самое, конечно, справедливо для соответствующих поверхностных интегралов от Аз[о) и А,(п) и, 2 2 2 следовательно, также и для выражения (Л1+ Л) + Аз) и = 1е [и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
