Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 112
Текст из файла (страница 112)
3. Интерпретация характеристического уравнения во времени и пространстве. Конус нормалей и поверхность нормалей. Ха- рактеристические нуль-векторы и собственные значения. Если ха= 1 выделяется в качестве временнбй переменной, то мы можем, как в э 1, представить характеристическую поверхность в виде ф(Е х) = ф(х) — 1 = О, т. е. как поверхность С с уравнением ф(х)=сопз1=Е перемещающуюся в и-мерном пространстве х.
Мы имеем сы = — 1, рк = ф = "; и будем рассматривать вектор — к —, в и-мерном пространстве. Нормальная нсоросаь перемещающейся поверхности ф=7 есть вектор о, ортогональный к поверхности и такой, что ~о[ есть скорость изменения значения ф вдоль этой нор- мали. Таким образом, мы имеем и ю=)ч, 1= Хсо,=со, ЛР=1, где ск=О) — и-мерный вектор, а ) — некоторый скаляр; поэтому Векторы ч и о обратны, или „двойственны", друг другу относительно единичной сферы, а характеристическое уравнение (2) можно записать в виде д( 1, (н ..., с )=О ((=Оф).
(9) Если ввести и-мерный единичный вектор 6 [с[ в пространстве х, нормальный к позерхностя С, то из уравнения (9) мы в силу однородности функции Я (са, ",, ..., кп) получим эквивалентное ему уравнение Я( — [о[, а„..., аа)=О. (9а) Это алгебраическое уравнение степени ж)з относительно нормальной скорости [о[ для такой характеристической поверхности, нормаль 576 Гв. Л. Гивегбвлннеснне Кравнгннл со льногилш переменными к которой имеет направление вектора и. Для дифференциальных операторов с непостоянными коэффициентами эти соотношения относятся, конечно, к фиксированной точке в пространстве х и к определенному моменту времени Ф. Вместо уравнения (9а) мы можем также написать уравнение (9б) Важно отметить, что для системы первого порядка и 1.! и] = и, + ~~ А" и, + ... = О, =1 (1а) А = ~~г, и, А!.
ь=! Это следует из того, что соотношение (;>=,~~А,'(=0 дает й — Ы+ А!(= О. Не подчеркивая без необходимости временнбй характер переменной г, мы сейчас определим харагстеристический конус норльалей в точке О пространства х, хп ..., х„как конус, порожденный нормалями ко всем характеристическим элементал! поверхности в точке О. Если через 1„, ..., 1в обозначены текущие координаты на конусе с вершиной О в начале координат, то однородное алгебраическое уравнение степени тп О Дз, 1ь, .... св) = 0 (10) дает конус нормалей, проходящий через точку О.
Конус нормалей непосредственно выражается через дифференциальный оператор !'.. Если мы снова выделим переменную хе=!, то характеристическое уравнение (9) в пространстве 1п ..., 1ь с геометрической точки зрения представляет собой поверхность, называемую поверхностью нормален, т. с. пересечение конуса нормалей с плоскостью (с= в 1: О ( — 1, 1!, ..., 1„) = О. Аналогично, мы можем истолковать вид (9б) характеристического уравнения в л-мерном пространстве компонент скорости о,, о„ как поверхностчь которую мы назовем поверхностью нормальных тле Ав=!' есть единичная матрица, нуль-векторы 1 или г для характеристической поверхности !~ = ф (х) — г = 0 являются просто левыми или правь!мн собственными векторами матрицы л, 1 А', где =1 =1н а нормальные скорослги )о( равны собственным значсиилм матрицы Е 3.
Характеристики длп операторов вь~сшах порлдков 577 скороешей, плп взаимной поверхностью нормалей '). В силу уравиеиия (Оа) эта поверхность является геометрическим местоле таких точек Р, для которых расстошие до точки О по направлению а равно скорости 1те!. Эти поверхиости нормалей соответствуют друг другу при преобразовании инверсии относительно единичной сферы ~Це = 1 в пространстве сз). 4. Построение характеристических поверхностей или фронтов. Лучи, конус лучей, коиоид лучей. В физическом пространстве х решения характеристического уравнения О(!) =0 лля нормалей 1= асад:у = Ос7 можно интерпретировать как характеристические поверхности е7(хв, хи ..., х„) = сопя(.
Как и в $ 1, мы будем рассматривать О=О как дифференциальное уравнение с частными производными первого парилка относительно функции р(хо...., х„); тогда все поверхности семеиства ю = сопя! = с являются характеристическими повеРхностЯми Ссз).
Оии стРоатса в соответствии с теоРией дифференциальных уравнений первого порядка, развитой в гл. П. Любое решение характеристического дифференциального уравнения О (Оу) = О порождается п-параметрическим семейством характеристических кривых, соответствующих уравиеияю первого порядка О = О. Эти „бихарактеристики", или лучи, связаииые с оператором Е, можно дополнить до бихаракглерисепических полос.
задавая иа иих значения Ц=ор. (Мы рассматриваем виачеиия Е! иа этих кривых как функции параметра Л иа нашей кривой, и точкои мы будем обозначать дифферепцироваиие по Л.) Тогда, как и в 4 1, бихарактеристические полосы удовлетворяют системе'2п+2 канонических обыкновенных диффереициальиых уравнений (1 1) (1!а) ') Обе эти поверхности, уравнения которых тесно связаны, очень полезны при иаглядиом изучении явлений распростраиеиия. Между прочим, ииогла используется термииология, обратная применяемой здесь.
') Независимо от того, выделяем ли мы переменную й мы можем иитерпреюеровать геометрические соотиошеиия в и-мериом проективиом пространстве. ') Вели мы будем рассматравать ие семейство поверхиостсй, а отдельную поверхность т = О и прелстаэим эту поверхиость в виде т — — — — т б+ Ф (х1 хп) = О, то Функция Ф от и переменных х уловлетворяет диффереициальиому уравнению 0 7 †, ф ,..., ф ) = О, причем в коэффициеитах переменную с кадо замевить иа ф. 578 Гл.
1Г Гииерболичеекие уравнения ео многими иерененныли функция О(х, 1) есть интеграл этой системы. Мы потребуем, чтобы в одной из точек каждого луча выполнялось условие О=О; тогда уравнения (11), (1!а) и Я=О определят 2л-параметрическое семейство характеристических полос; оно определяется независимо от частного вида характеристической поверхности чь=сопзг.
Если переменная хо —.— 1 выделяется и мы записываем уравнение О(1) = О в виде ьо — у((н ..., 1„) = О, то снова имеем хо — 1, т. е. параметр Л можно отождествить со временем: ),=1= хо. Если предполагается, что функция о(х) известна, то ясно, что даже одна система (11) определяет бихарактеристики на характеристических поверхностях С,: ~у = сопя( = с, если в О вместо 1; подставлены значения р,, зависящие от хо, ..., х„. ь Для того чтобы построить характеристическую поверхность р(хо, хн..., х„)=0, проходящую через заданное (л — 1)-мерное многообразие Я' на и-мерной начальной поверхности г, мы предположим, что Т имеет вид хо=О, так как любую и-мерную начальную поверхность Я можно преобразовать в плоскость хо — — О, н при этом характеристические элементы останутся инвариантными.
Теперь мы зададиль на У начальные значения р(0, хн ..., х„)= =ы(хн ..., х„) так, что многообразие Гу' определяется уравнением ы = О. Затем мы найдем бихарактеристические лучи (и полосы), проходящие через Д, вычислив на еу начальные значения для грн При 1=-хо=0 мы кмеем соотношение у(0, хн ..., х„)=ы(хн ..., хи); следовательно, чье =ыл, для 1= 1, ..., и. Следовательно, при 1=0 равенство (,~(гро, ы , ..., ьь„ ) = 0 является алгебраическим уравнением степени тй относительно начального значения ро; оно определяет тк (нлн меньше) действительных начальных значений ььо. Тогда уравнения (11), (1!а) дают такое же число бихарактеристических полос, а они порождают такое же число семейств характеристических многообразий у = О, выходящих из начального многообразия г'.
Особое значение имеет случай, когда начальное многообразие у' вырождается в точку О. Мы введем следующие определения. Бнхарактеристические лучи, проходящие через фиксированную точку О, образуют конрад лучей, проходящий через О; бихарактеристические направления, проходящие через точку О, образуют локальный конус лучей, или конус Монжа, проходящий через точку О. Если главная часть оператора Ь имеет постоянные коэффициенты, и, следовательно, форма О также имеет постоянные коэффициенты, то лучи являются лрнльыми, а локальный конус лучей совпадает с коноидом лучей. Как указывалось в й 1, п. 8, локальный конус лучей является двойственным по отношению к конусу нормалей.
Даже в случае, когда конус нормалей есть сравнительно простой алгебраический конус порядка тй, конус лучей может иметь особенности или изолирован- й 3. Характеристики дяя операторов выси<ах ларядкав 579 пые лучи и не обязан состоять из отдельных гладких конических полостей') (см. п. 5 и примеры в й За). Например, дифференциальный оператор третьего порядка в пространстве трех измерений б = О,О<Оа дает <к< 6) 0~<!2 Конус нормалей, проходящий через точку О в пространстве Е, состоит из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям, а лучи будут просто прямыми, параллельными координатным осям в пространстве х.
Поэтому конус лучей вырождается в тройку прямых, а характеристическими поверхностями, проходящими через невырожденное многообразие а<' на начальной поверхности ;/, будут три цилиндра, проходящие через Г' и параллельные координатным осям. Наконец, л<ы напомним, что теория полных интегралов из гл. 11 позволяет строить решения дифференциального уравнения первого порядка О=О как огибающие семейств других решений; сейчас мы проиллюстрируем эту теорию на примере построения Гюйгенса для фронта волны. 5.
Фронты волны и построение Гюйгенса. Поверхность лучей и поверхность нормалей. Как указано в й 2, п. 1, характеристические поверхности имеют важное значение как возможные поверхности разрывов решений и уравнения Е (и) = О. У!егко убедиться в том, что разрывы первого рода, возникающие только для производных порядка т, не могут происходить на „свободной" поверхности С, где Я + О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
