Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Очевидно, что можно построить одно дифференциальное уравнение порядка д с произвольно заданным алгебраическим конусом нормалей. ') Для уравнений с постоявпыми коэффициентами (а также в какой-то мере и для непостоянных коэффициентов) обобщения понятия гиперболнчиости даны Горлингом и другннн; в этих случаях уч~лтывается также влияние младших членов дифференциальных уравнений (см, !'ордннг 12) и А. Ланс 1!) ) ') См. также гл, т', 8 8. Р 3. Характеристика длл операторов во~си~ил порядков 587 чгскими'). В частности, центральной и наиболее плодотворной темой исследования оказались симмегирическив гиперболические системы первого порядка; с точки зрения математической физики несимметрическне системы имеют второстепенное значение.
8. Симметрические гиперболические операторы. Мы будем рассматривать линейные (илн квазнлинейные) симметрические системы первого порядка, т. е. системы вида а В [и] =,Ээ А'и;+Ви, о где матрицы А' симметричны, а матрица В произвольна. Симметрическая система (14) называется симметрической гиперболической системой (в точке 0), если одна ив матриц А' или некоторая линейная комбинация ~~'.~ с~А' является знакоопределенной, например положительно определенной; п-мерные многообразия Я, ортогональные таким векторам Е называются многообразиями пространственного типа.
Так как линейная комбинация положительно определенных матриц с положительными коэффициентами снова является положительно определенной. то множество векторов Е ортогональных к элементам пространственного типа, представляет собой выпуклый конус. Если, например, матрица А' положительно определенная, то и-мерные пространства вида хо=1= сопз1 будут пространственного типа. Тесную связь понятия симметрического гиперболического оператора с определениями, данными в п. 7, можно установить, например, следующим образом (для простоты предположим, что матрица Ао положительно определенна). Для 1о = 1, $, = ...
= ',вэ О уравнение 1~ (Лэ + О) = д (Л, бн .. „ О„) = О имеет Й действительных корней, так как оно просто является усло- вием обращения в нуль определителя симметричной матрицы (15) где Аэ — положительно определенная матрица. Корни Л являются собственными значениями матрицы ХО,А' относительно положительно ') Между прочим, симиетричность тесно связана с тем, что обычно эти уравнения являются уравнениями Эйлера для некоторой квадратичной вариационной задачи. 588 Гл. РЕ Гиперболичегггие Кривнгния го многими переменными определенной матрицы А'.
Существенная разница состоит в том, что в нашем определении симметрической гиперболичности не делается нмкаких предположений о том, что корни ). уравнения [1б) должны быть различными. Как мы увидим в 8 8 и 1О, для симметрических гиперболических систем задача Коши исегда разрешима. Для многих физических примеров очень важно слелующее замечание: если матрица Аз положительно определенная, то мы можем линейным преобразованием привести нашу систему к виду и Е[и] = Е [о] =ог-]- ~л Аго,.+ Вщ ;=г где через А', В, о обозначены преобразованные величины и где матрицы А' остаются симметричными'). Даже в случае кратных корней характеристическая матрица имеет полную систему й линейно независимых левых собственных векторов 1[1 =г), таких, что оператор 1Е [и] является внутрешщм оператором на соответствующей характеристической поверхности, независимо от того, является ли эта характеристическая поверхность кратной (т.
е. допускает несколько линейно независимых нуль-векторов 1). 9. Симметрические гиперболические уравнения высших порядков. Последнее замечание будет касаться одного уравнения или системы высигего порядка. Если онн получаются в результате исключения из симметрической гиперболической системы первого порядка, то они также будут называться симметрическими гиперболическими; в этом случае к ним применима теория, построенная для систем первого порядка. Например, уравнение ихьч .. = О возникает таким путем из симметрической системы х, ' х, ' х, Замечателен следующий факт.
Любое гиперболическое дифференциальное уравнение второго порядка может быть сведено к симметрической гиперболи- ') Преобразование имеет вид Е [о] = ТЕТ [и), так что А' = ТАгТ, Поскольку матрица А' положительно определенная, онз имеет квадратный корень С; А =- Сг Выберем теперь Т =- Г '. Ясно, что Х =- У, и так как матрица т симметрична, то матрицы Хг также симметричны. д 3.
Характеристики для операторов высших порядков 589 порядка. Мы запишем (см. 8 1) диффефункции и в виде а'ии — ~ а"и!я+ " =О с, а=! ческод сиоп!елее первого ренциальное уравнение для 7. [и) = ии+ 2 ~~,'л т =- ! (17) где точками обозначены члены, содержащие производные функции и не выше первого порядка, а а =а '. Мы предположим, что уравнение (17) гиперболическое, и ° 2, а 1= сопя! — поверхность пространственного типа; тогда квадратичная фоРма Н(тт, (л) = ~„а!"!тая бУдет положительно опРеделенной, к И=! а точка !! = с! = ... =со = О лежит внутри эллипсоида 1+ 2 ~,' ит(! — Н (;-,, (а)= О; т=! действительно, элемент поверхности с компонентами нормали ;, ;',, ...,:„, будет элементом пространственного типа, если уравнение л (8+а)!+2(Х+т) и ат(! — Н(с! са)=О т=! имеет два действительных корня Х одинаковых знаков.
Чтобы свести уравнение к системе, мы просто заменим первые производные ии и„в уравнении (17) на новые неизвестные функции юв, о' соответственно. Тогда уравнение (17) заменится системой о'+2 ~~ атю' — ~~'.~ а!во! + ... =О, ~=! т с,я=! л ~л а!" (о,' — о„".) =О (!!=1, 2, ..., и) 2а' — а' ... — а' л — й О ... О 1 О ... О О а ...и" О ал ...алл — а'л О ... О относительно вектор-функции о=(ов, ..., ол). Это — симметрическая и!перболичсская система ').
Ее!и!, как и ранее, на начальные данные для о накладывается условие, что они получены путем отождествления с начальными данными для и, и иа то легко установить эквивалентность двух этих задач, л ') Действительно, ей соответствует форма Ало!+ ~я~' А "о,+... = О, где ! 590 Гл, Р!. Гнпербппичееппе урпененип сп липгипщ переиенньпии 19.
Кратные характеристические поверхности и прнводнмость. Надо добавить краткое замечание относительно общего случая систем первого порядка, необязательно симметрических. Пучок й различных характеристических поверхностей С, описанный во втором определении п. 1, соответствует й линейно независимым нуль-векторам Р, ..., 1", таким, что выражение 1 1.[и] является внутренним дифференциальным оператором на характеристической поверхности С". Предположим теперь, что е таких характеристических поверхностей, например С', ..., С', совпадают, но в каждой точке этой поверхности ') е(л) = О мы все же имеем з линейно независимых нуль- векторов 1г... „ 1* матрицы А. Тогда вся поверхность С называется з-кратной, и все е дифференциальных операторов 1г1„ 1 = 1... „ з, являются внутренними на С.
Такие операторы 1.[и] мы можем называть гиперболическими (в обобщенном смысле), несмотря на то, что, по предположению, матрица Л на С имеет ранг !г — з. Наличие кратных характеристических поверхностей тесно связано с приводизеоспгью характеристической формы (1(1, ..., «„), т. е. с возможностью ее разложения на неприволимые множители более низкого порядка з) с) = (,!Яз ... 11! ... и.
в частности, с наличием а одинаковых множителей (1р Характеристические поверхности должны удовлетворять олному из уравнений ь! = О; кроме того, при предположении, что уравнение гиперболическое, т. е. что существует и линейно независимых нуль- векторов 1", каждому уравнению 11! — — О соответствует точно !г! независимых нуль-векторов 1', если полипом (;!! имеет степень !г!. Если з множителей 1;)! совпадают, то соответствующая характеристическая поверхность имеет кратность з и на ней мы имеем з линейно неззвнсимых нуль-векторов. Обратно, как показывает простое алгебраическое рассуждение, наличие кусков поверхности кратности е в силу нашего определения влечет за собой приволимость формы (,1, 9 = 9',(,!з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
