Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 119
Текст из файла (страница 119)
р, + 61ч (ри) = О. Последний член в третьем уравнении представляет собой силу ЗХВ, с которой магнитное поле действует на единичный объем жидкости. ') Подробнее по этому вопросу см. Гофман н Теллер [1), Фрндрнхс и Кранцер [1], Град [1), Базер н Флейшман [1], см, также Фридлендер [2), Лайтхилл [1] н Вейтцнер [1]. Обозначения в этом пункте более соответствуют тому, что принято в фпзнческой литературе, чем обозизченням, применяемым в Ь 3. э Зи. Прилмрь> 607 Как и в случае обыкновенных уравнений Максвелла.
первое уравнение имеет характер начального условия. Мы рассмотрим линсаризованную форму этих уравнений. опуская все члены второго порядка. Тогда легко в >деть, что систел;е эквивалентна некоторой симметрической гиперболической системе в смысле й 3, п. 8. Сначала мы рассмотрим случай несжимаемой жидкости р= сопя!. Последнее уравнение системы (14) тогда примет вид б)хи=О, а давление р может быть взято в качестве неизвестной функции.
Чтобы получить характеристическое уравнение, мы рассмотрим произвольное многообразие Ч(к, 1)=0 и положим (! 5) (о =Ч есть скорость изменения величины о с течением времени при наблюдении из точки, перемещающейся вместе с жидкостью, так как (гЬ11)Ч(Г к(1))=Ч,+и ЧЧ). Лалее, если Ч=О есть характеристическое многообразие, то величина о удовлетворяет уравнению, в левой части которого стоит некоторый определитель, а в правой — нуль; если раскрыть этот определитель, то легко можно получить, что рро (ррот — (ВЧЧ)')' = О. (16) Таким образом, мы иллеем однократную характеристическую скорость, соответствующую о= О, и две характеристические скорости е кратности 2, соответствующие значениям Ь о= ВЧЧ(рр) Как и в п.
2, характеристика о=О дает линию тока. Оставшийся множитель в выражении (16) дает прямую и ооратную волны Альфвена. В обозначениях т=оо (=Чо соответствующие поверхности нормалей будут плоскостями с уравнениями )>ро(т+ и 1) чс + (В() = О. Мы не ограничим общности, если положмм и = О, т. е. будем пользоваться системой координат, которая перемешается вместе с жидкостью, так как наши уравнения инвариантны относительно такого переноса. Взаимная поверхность нормалей для прямой волны Альфвена (иногда ее рассматривают вместо настоящей поверхности нормалей) является просто сферой диаметра д= !В!(рр)-", проходящей через начало координат (см.
рнс. 50). Ее полюсом будет поверхность лучей, состоящая из единственной точки к = ЬВ/) В/; эта точка проектируется из начала координат с помощью изолированного луча. Следовательно, прямая волна Альфвена распространяется только в направлении вектора В; ее скорость Ь относительно жидкости называется скоростью Альр>вена. Аналогично, обратная 008 Гл.
РА Гоперболические Крооненил ео мноеимп переменными а= у' р' положение теперь более сложное, Со- храняя обозначения, введенные для слу- чая несжимаемой жидкости, мы полу- чим характеристическое уравнение Ф(ог Фулг)2) [тле (а2+ 62) ог+ +аз(бур)2)=0 (!7) Р и с. 50, Взаимная поверхность где а = )' р, (г = )В((цр) ' ° Лва пернормалей для прямой волны вых множителя дают характеристичеАльфвена. скую поверхность о=О, соответствующую линиям тока, и характеристичешсие поверхности Альфвена о = -'- В Ре (рр) Геометрические места, соответствующие множителю четвертой степени в уравнении (!7), т.
е. поверхность нормалей и поверхность лучей, более сложны и более интересны, чем соответствующие поверхности Альфвена. Чтобы упростить исследование, не теряя прн этом общности, мы снова будем считать, что скорость а обращается в нуль, по крайней мере в рассматриваемой точке. (Наши дифференциальные уравнения инвариантны относительно замены системы координат системой, перемещающейся с постоянной скоростью.) Как и ранее, в характеристическом уравнении мы заменим рТ вектором '„а о,— величиной т. Поверхность нормалей, вообще говоря, состоит из трех кусков, вместо которых мы можем изобразить их сечение плоскостью сн 22, так как имеет место симметрия относительно осн вектора напряженности магнитного поля В.
Внутренняя полость конуса нормалей, заключающая „сердцевину', выпукла. Внешние полости уходят в бесконечность; они похожи на плоскости. ортогональные оси (вектора В), с изгибом около самой оси (см. рис. 51). С геометрической точки зрения надо различать три случая, соответствующие разным соотношениям между скоростью звука а и скоростью Альфвена д: а2 С Ьг, аг ьг ,22 ) 02 (а) (б) (в) волна Альфвена распространяется с относительной скоростью Ь в направлении, обратном к В. !!ля сжимаемой жидкости система (14) также применима, но тогда р есть заданная функция р(р). Так как кроме скорости Альф- вена Ь имеется скорослль звука а За.
Примеры Поверхность нормалей показана на рис. 51. В случаях (а) и (в) поверхность нормалей имеет две двойные точки, а именно, точки на расстоянии 115 от начала координат по направлению вектора В. Имеется также четырехкратная точка на бесконечности. Следует зам тить, что те две полости, которые уходят в бесконечность, соответствуют множителю четвертой степени в характеристическом уравнении. Таким образом, конус нормалей не состоит из вложенных замкнутых поверхностей. В случае (б) имеется две тройные точки, а именно общие точки пересечения полости, соответствующей множителям Альфвена, и полостей, соответствующих множителю четвертой степени. Точки пересечения являются коническими точками поверхности нормалей.
А А 6 Р ис. 51. Поверхность нормалей; А — поверхность Альфзена. Соответствующие взаимные поверхности нормалей получаются из поверхностей нормалей (рис. 51) с помощью инверсии относительно единичной сферы. На рис. 52, б, а видно, что внешняя полость взаимной поверхности нормалей не обязана быть выпуклой.
несмотря нз то, что сердцевина настоящей поверхности нормалей выпукла. Поверхность .лучей показанз на рис. 53, Ее алгебраическая степень выше, чем степень поверхности нормалей. Случай а показывает, что, хотя конус нормалей и поверхность нормалей регулярны, конус лучей может иметь особенности. В атом случае треугольники с остриями получаются из безобидных на первый взгляд овалов на рис.
52, а, в. Острия соответствуют точкам перегиба и бесконечно удаленным точкам внешних кусков поверхности нормалей..В случае, 510 Гл. П. Гиаерболинеские уравнения со многи.ии аеременными представленном на рис. 53, б, внешняя полость конуса лучей уже не будет выпуклой, и, следовательно, не совпадает со своей выпуклой оболочкой, Лучи, соответствугощие поверхности Лльфвена, лежат Рис. 52. Взаимная поверхность нормалей; А — поверхность Альфвена. во внешности остальной части конуса лучей, несмотря на то, что поверхность Альфвена для нормальных скоростей, т. е.
взаимная Рис. 53. Поверхность лучей. поверхность нормалей, всегдз лежит либо на остальной части поверхности нормальных скоростей, либо внутри нее. Это легко объяснить, если понять, что нормальные скорости н скорости по лучам, вообше говоря, различны. В 4.
Раеироегранение разрывов и заоана Коши 6!1 Так как конус лучей имеет острия, то мы можем ожидать. что возмущения, которые в начальный момент имеюг гладкую границу, могут в дальнейшем иметь границу с остриями. Это действительно возможно, как показано на рис. 54. Эти примеры показывают, что коноид лучей может иметь сложную структуру и может иметь особенности, несмотря на то, что конус нормалей является регулярным. Соответственно и другие характеристические поверхности могут иметь неожиданные особенности. Эти особенности приводят к интересным вопросам, касающимся связи между алгебраической геометрией и теорией дифференциальных уравнений с частными производными.
Рис. 54. В этом параграфе мы рассматривали геометрические формы характеристических поверхностей, в частности фронтов волны. Позднее, когда мы будем подробно изучать задачу Коши и распространение волн, мы увидим, какое значение имеют проделанные ранее исследования для задач о распространении волн (см., например, 9 4, 7, 12, 14, 15). 9 4.
Распространение разрывов и задача Коши 1. Введение. Для гладких начальных данных решение задачи Коши будет построено в 9 8, 9 и 10 с помощью метода „интегралов внергии", т. е. метода, который не опирается непосредственно на понятие характеристик. Однако в этом и следующем параграфе мы увидим, что. тем не менее. структура решений определяется характеристическими поверхностями и лучами. Исходной точкой будет служить анализ распространения разрывов на характеристических поверхностях вдоль лучей (см.
также 9 1 и 2). Но этот анализ приведет нас к несколько более общему подходу к задаче; в результате мы получим по крайней мере приближенные решения для широкого класса задач с помощью одного только интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль лучей. Разрывы начальных функций или производных этих начальных функций большей частью будут происходить только на (и — 1)- мерных многообразиях начального пространства; в остальном начальные данные будут предполагаться настолько гладкими, насколько 612 Гл. Л. Гиперболические уравнения со чноггглнг переменными это понадобится (т. е. они будут иметь непрерывные производные до любого желаемого порядка).
Как будет показано при подробном исследовании, анализ распространения особенностей основан на предположении, что рассматриваемые характеристики являются простыми, или, в случае кратных характеристик, что кратность одинакова для всех точек и всех характеристических элементов.
Это ограничение исключает из области применения общей теории многие важные задачи математической физики. Несмотря на то что эти задачи можно решить с помощью специальных методов, несовершенство общей теории остается вызовом для исследователей '). Многочисленные примеры и комментарии в последующих параграфах сделают ситуацию более ясной. 2. Разрывы первых производных для систем первого порядка. Уравнение переноса. Сначала мы рассмотрим системы линейных дифференциальных уравнений з) первого порядка гг 1.(и) = ~( Агл,.+Ви=0.
г.=о Выше (см. гл. П! и гл. Ч1, 3 3) мы убедились в том, что поверхности С: ф(х)=0, при переходе через которые сама функция и непрерывна, а производные первого нлн более высокого порядка имеют разрыв, являются характеристиками. Из соотношения на разрыве') при переходе через С ((.(л])= ~и А'(и,)=0 следует, что и ~ Аггрг (и„) = А (и, ) = О, г=а так как и =и гу,+тангенциальные производные, а тангенциальные производные предполагаются непрерывными прн переходе через С. Следовательно, мзтрица А = ~, Агф, особенная, и скачок выводящей производной и при переходе через С д =(и,)=вг (2) является правым нуль-вектором характеристической матрицы А, определенной в 3 3; а здесь скалярный множитель.
') Некоторые успехи в теории кратных характеристик были достигнуты, например, в работе Людвига (31; см. также Льюис [1). ') Относительно квазнлннейных систем см. и. 9. ') Здесь снова символ (у) обозначает скачок функции у прн переходе через С. З 4. Расироогранение разрывов а задана Ковш За исключением тех случаев, когда явно оговорено противное, мы здесь, как и в э 3, предполагаем, что характеристическая матрица А имеет ранг и — 1 н, слеловательно, с точностью до скалярного множителя о имеет один правый нуль-вектор г и один левый нуль-вектор 1, такие, что 1А =Аг =О. Любое решение о дифференциального уравнения [А[=.Я(~ро, ..., сра; х) =О дает семейство характеристических поверхностей С,: т(х)=с=сопзц и нуль-векторы г, 1 определены на всех этих поверхностях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
