Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Теперь мы сформулируем следующую теорему: скаляр о, определяющий скачок (и ) =ог, распространяется по бихарактеристнческим лучам, лежащим на поверхности С, в соответствии с обыкновенным дифференциальным уравнением (уравнением переноса) о + Ро = О (3) (точка обозначает дифференцирование по некоторому параметру вдоль луча), где 1' = 1(. [г[.
(4) Чтобы коротко') доказать эту теорему, исследуем разрыв и при переходе через поверхность С: у=О, представляя решение в виде и = --[р[д(х) + й (х), ! где д =-(и ) = ог, а функции д (х) и Й (х) имеют непрерывные первые производные, для которых на С непрерывны внутренние производные. ! ! Положим )г(р)=-,- для р) 0 и )г(у)=- — — для ~р(О, Тогда 2 2 в силу того, что Ад'=О, мы имеем на обеих сторонах поверхности С 1.
[и[ = 1з(~р) Ад+ 2 [зз[1. [д[+ 1. [)11= —,[р[1.[к[+с [Р[= О. ! ! ! Умножая это равенство на нуль-вектор!, получаем — [4[1(.[д[+1сЯ[=-0. Оператор 1(,[)с[является тангенциальным, так как 1~а А'о, =1А=О. Следовательно, по предположению, первые производные выражения 11.1111 непрерывны на С. Поэтому мы можем продифференцировзть ') В п. 4 мы будем более подробно и в более общем виде исследовать разрывы для систем вида (!). 614 Гл. Л.
Гинербалинеские ураенения са многими неременнылш последнее урзвнение по ч) и рассмотреть скачок левой и правой части прн переходе через С; мы немелленно получим внутреннее дифференциальное урззнение на характеристической поверхности С: 11. [я) =1~а Ад,. + 1Вд = О. Кроме того, подстановка я = аг дает 1 ~ч.', А'га, + 1(~л А'г, + Вг) а = О, откуда в силу леммы из з 3, п. 11 получается уравнение а + 11. [г) а = О. Между прочим, мы могли бы получить этот результат также по аналогии с з 2, п.
3, предположив сначзла, что и имеет специальный вид и=х„, и воспользовавшись аатем инварнантностью характеристик и дифференцирования по характеристическим направлениям. 3, Разрывы начальных значений. Введение обобщенных функций. Бегущие волны. Как уже укззызалось в гл. Ч, 9 9, и. 1, правильное матемзтическое описание физической реальности требует введения обобщенных решений с более сильными разрывами, например решений и, которые сами при переходе через С имеют скачок (и)~О. Однако мы ие можем приписать физический смысл всем разрывным решениям, возможным с математической точки зрения').
Обобщенные решения должны подчиняться тому ограничению, чтобы они и их производные получались из гладких решений с помощью предельного перехода. Следуя указанным выше идеям, мы будем попускать в качестве физически осмысленных решений такие решения, которые выражаются через обобщенные функиии, или распределения. Такие обобщенные функции, в частности дельта-функция ))ирака, н раньше применялись в этой книге как символические обозначения. Здесь и далее мы опрелелим их и будем пользоваться имн систематически.
Последовательная общая теория обобщенных функций лана в качестве приложения к этой главе, здесь мы сформулируем только следующие важнейшие идеи этой теории. Распределения 5(ю), или обобщенные функции, зависящие от переменной а, можно в ограниченной области изменения у определить как символические производные непрерывной функции Ф'(~) „фазовой переменной" у ') Например. рассмотрим дза различных решения и', их уравнения б [и) = О н отожлестзни .разрывное решение* и по одну сторону произвольной поверхности С с и', а по лругтю — с и'.
Тогда и имеет на С значок (и), и нн С, ни (и) ничем не выделяютса Э 4. Распространение раарыооо и задача Коши б15 где а — положительное число, а 0 есть е(~с(~. Мы тогда сможем дифференцировать обобщенные функции так, как если бы они были обычными функциями. Мы можем также образовывать их линейные комбинзции с обыкновенными функциями, дифференцируемыми не менее а раз, в качестве коэффициентов и получать таким образом новые обобщенные функции.
Кроме того, мы можем подставлять обобщенные функции в линейные дифференциальные операторы и обращаться с этими илеализированными функциями так, как если бы они были обыкновенными. Кроме обобщенной функции Я = 5о. мы будем рассматривать обобщенные функции 5,(р), такие, что З,'(р) =05, =5,, (5) Если 1) а, то 5, можно определить как (1 — а) раз проинтегрированную функцию %'. причем в качестве нижнего предела берется нуль, так что 8,(0)=0, Предположим, что 8(р) — регулярная функция прн рФО; это означает, что функция уст(р) имеет обычные производные при р+О. Тогда, очевидно, 8„(Т) имеют при возрастающих ч все меньшие особенности, непрерывны при ч )~ а и сколь угодно гладки для достаточно больших ч.
Кроме того, для ограниченного интервала и для ч ) а мы имеем Ф,(рН < („,), !И" ' где М вЂ” некоторая постоянная. В качестве примера мы рассмотрим В'И) = 2 (!И+2) 0(р= 1И). 1 0тЖ =6(р), 0 (Р=~и-"(р), где н(~) — функция Хеаисайда: ч1(р)=1 для ~р)0, н(р)=0 для 2<0, или (т) 2 ~р~' ~(т) 2 1 1 0з(Р = 5 (р), 0")Р = бы-"Оу), или (Р й) = У Ь~ 01(т Ь) = 2 ~й ' » или В'(о)=1оп ~р~, 0%'(р)= —, 0зВ'(р) = — —, и т. д. 1 1 616 Гл. Р>'. Гиоерболинеские уравнения со многими перел>еннылщ В особой точке (здесь при >с = О) не имеет смысла ') отождествление ооычных функций с обобщенными функциями, обозначаемыми теми же символам >.
Однако, как указывалось, такие обогшенные функции илн их комбинации можно подставлять в линейные дифференциальные уравнения и обращаться с ними как с обычными функциями'). Чтобы найти представление для функций и(х, 1), имеющих особенност>, на поверхности С: >у (ж, ~) = О, мы заметим, что после вычитания члена с особенностью может получиться остаток с более слабым разрывом.
Это объясняет введение в рассмотрение разрывных (обобщенных) функций следующего вида: и (х, г) = ~~р ~5„(р) л' (х, 1) + >с (х, (), .=в (6) где >>> мы можем выбирать по нашему усмотрению, коэффициенты и" настол>,ко гладкие, насколько это нужно, а остаточный член гс также имеет любую необходимую степень гладкости.
Если и — вектор, то коэффициенты сг' и остаточный член >>с также должны быть векторами, а 5о, 5>, ...— скалярами. Надо заметить, что такое прелставление не единственно, если мы просто хотим иметь определенную особенность при й = О. Вне поверхности С: >у = 0 мы можем произвольным образом изменять коэффициенты д', считая, что 5(~с) регулярны всюду, кроме о=О. Члены, которые получаются при изменении, всегда можно включить в остаточный член Й. Если мы не должны обращать внимание на тонкости строения особенности функции и, то мы можем скомбинировать члены разложения (6) в одно или два слагаемых. Например, если у>и(со) =!оп )р( и, следовательно, Я(у) =Яр(в) = сопя( ° сс ", то для целых а представление (6) может быть записано в виде и= — „0(х, Г)+)од) у(б*(х, Г), 1 и(х, г) ~~ 8„(ср)д" (х, 1), 5~=5; .=о (6') при этом подразумевается, что это формальное разложение надо прекратить после некоторого числа >ч' членов и затем добавить остаточный член >с нужной степени гладкости.
') Си. проложение. где коэффициенты б, с>* регулярны. Во всяком случае, разложения вила (6) оказываются наиболее подходящими лля анализа. Часто будет удобно в разложении (6) не указывать число Ж и не выделять остаточный член >х, а писать й 4. Распространение разрывов и задачи Кани> 617 Если в действительности ряд (6') прерывается после Лг членов и остзточный член равен нулю, то чы будем называть функцию и (имея в виду дальнейшее изучение понятия волны в $ !8) бегущей волной порядки <ч', или, если она может быть представлена в виде сходящегося ряда, полной бегущей волной; в противном случае и называется лриближенной бегущей волной.
Как указывалось выше, обобщенные функции описанного типа можно рассматривать как (слабые) пределы при г — «О функций вида О Ж" (у), где )Ь' (чч) имеет производные всех нужных порядков. Тогда и рассматривается как предел регулярных функций и', „резко изменяющихся" при переходе через С, ><о не вдоль С, таких, для которых б(<гч) стремится к Л(и).
Вместо того чтобы работать с функциями и' и переходить в конце к пределу при е — «О, мы формулируем простые правила действий над Ь-функцией и вообще над обобщенными функциями вида с)" (г'(<р) (см. приложение). Применение бегущих волн вида (6') оправдывается также необходимостью подробного изучения характера разрыва и при переходе через С. Например, разрыв типа скачка для функции и может быть представлен просто одним членом т<(<а) й (х, Г); чтобы одновременно учесть разрыв нормальной производной и, мы используем два члена ч)(<а) д(х, <)+ (~ч! д< (х, г) и т. д. Мы снова заранее оговорим некоторые предположения. Прежде всего, мы всегда предполагаем, что коэффициенты дифференциального оператора и начальные данные настолько гладки, насколько это нужно для того, чтобы были справедливы утверждения относи.
тельно гладкости коэффициентов д" и остаточного члена К'. Во-вторых, за исключением особенности при <р=О, и, возможно, еще при нескольких значениях <а, 5(<р) также предполагается достаточно гладкой функцией. Чтобы построить обобщенное решение и(х, Г) типа <'егущей волны (6) или (6'), мы просто подставим эти разложения в л,.фференциальное уравнение; при этом обобщенные функции дифференцируются так же, как если бы они были обычными. Затем потребуем, чтобы полученные в результате этого гладкие коэффициенты при обобщенных функциях В„обращались в нуль. Это приведет к последовательности дифференциальных уравнений для коэффициентов й", а эти уравнения можно свести к простым обыкновенным дифференциальным уравнениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
