Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(8) На прямой уз=О в плоскости х,, у, мы зададим начальное условие и(хи хм уп 0)=и(х,, хм у,), а в качестве второго начального условия мы потребуем, чтобы выполнялось равенство ( д . д Ли в = ( — +1 — 1и=О для у =О. 1 дуг дух ) 2 (9) лх,хг пугуг+' пх,хг пугуг О для уз = О Но так как при у =0 мы, как было показано раньше, имеем также Чи = и„+(и,,=О, то с помощью дифференцирования и вычитания мы получим, что иу у + пу.у 0 для )га — 0 (10) Тем самым функция и(хи хю уи уз) определяется однозначно.
В силу непрерывности решения уравнения (8) по переменным х, у,, оно будет определено и непрерывно дифференцируемо по своим зргументам в некоторой четырехмерной окрестности В начала координат. Теперь, чтобы доказать аналитичность функции и, нам остается установить, что всюду в В выполняются соотношения уи = 0 и Ли = О. Соотношение Ли=О для уз=О как раз и является нашим начальным условием (9). Кроме того, для уз=О выполняются оба уравнения (8) и (4), и с помощью вычитания мы получаем Э 5, Применение номпленсньн пере ~енных С другой стороны, там выполняется также условие (9), и, таким образом, с помощью дифференцирования по параметру у, мы получаем, что июх, + Гижу, = 0; применяя (10), получим д — Ли=О при уь=О. Уь Из единственности решения задачи Коши, так же как и выше, мы получаем, что Ли = 0 всюду н четырехмерной области В.
Аналогично доказывается, что в В выполняется соотношение Чи=О. Так как из этого следует, что функция и — аналитическая в некоторой комплексной окрестности точки х=хн у=ум то мы доказали аналитичность исходного решения и(х, у) эллиптического дифференциального уравнения би =~'. 3. Замечание об общем дифференциальном уравнении Р(х, у, и, р, г), г, е, г) =О. Идею Леви можно применить также и в случае общего аналитического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
Справедлива следующая теорема. Если и(х, 'у) — трижды непрерывно дифференцируемое решение эллиптического дифференциального уравнения, аналитического относительно всех своих аргу,ментов, то сама функция и(х, у) также является иналитичетой относительно переменных х и у. Детали доказательства читатель найдет в литературе'). Основная идея заключается в том, что, как н раньше. дифференциальное уравнение заменяется квазилинейной системой дифференциальных уравнений.
Но, в силу ее эллиптического характера, в ней нельзя перейти к действительным характеристическим параметрам а и р. Тем не менее можно привести эту систему дифференциальных уравнений к виду о' +о!.,= ( (а, [), о', о'-, ...; о', ог, ...; о', ог, ...) с неизвестными функциями о', о', .... Для такой системы можно почти без изменений применить теорию $ 2, и на основании этой теории доказать аналитичность решения. 9 5. Применение комплексных переменных для продолжения реигений Пусть и — решение аналитического эллиптического уравнения, удовлетворяющее аналитическим краевым условиям на части границы его области определения, С помощью продолжения в комплексную область Г.
Леви [2], а также Гарабедян [2] доказали возможность ') Си, работу Г. Леви [6] и изложение доказательства Леви в книге Адамара [2]. Пвиложекие 1 к гг. 'г' аналитического продолжения решений эллиптических уравнений через границу. Важные приложения этого метода к продолжению минимальных поверхностей, к формулировке обобщенного принципа отражения, к зздачам со свободноИ границей можно найти в указанной литературе'). Мы дздим здесь только понятие об этом методе, рассмотрев очень элементарный пример.
В Э 4 мы видели, что если функция и является решением аналитического эллиптического уравнения в действительной области, то ее можно продолжить в комплексную область, решая задачу Коши для некоторых гиперболических уравнений. Если функция и удовлетворяет аналитическим краевым условиям на аналитическом куске границы, то мы можем использовать продолжение краевых условиИ в комплексную область. Прн этом получается сжешанная. с начальныли и граличкыши условиялш, задача для гиперболических уравнений, которые позволяют аналитически продолжить функцию и в более широкую область.
Это и дает продолжение через кусок границы первоначально заданной области существования. Чтобы получить сколько-нибудь общий результат такого рода, надо преодолеть значительные геометрические и аналитические трудности. Самые сильные полученные до сих пор результаты принадлежат Гзрабедяну; в его работах даны ссылки на более ранние исследования Г. Леви и Адамара. Мы продемонстрируем этот метод на примере простейшего нетривиального случая; рассмотрим уравнение (3) нз э 4 в прямоугольнике гг: — а (х (а, — -. (у (О, находящемся в нижней полу- плоскости.
Пусть и = О на стороне у = О, н предположим, что и имеет непрерывные третьи производные в замкнутой области гс. Мы будем продолжать и в полуплоскость у ) О. Введем, как и раньше, переменные к, и ка. Уравнение (4) с начальиымн условиями (5) и (6) (см. предыдущйй параграф) и с граничным условием и=О при У=О дает гиперболическу|о почти линейную граничную задачу; мы внаем, что онз имеет решение в достаточно малом треугольнике, ограниченном с одной стороны хзрактеристиками, а с другой стороны — динией у = О, на которой заданы граничные значения (см.
рис. 35). Такой треугольник задается явно неравенствами ! у ) +' ,х, ! ( р. у ( О; (1) х, входит в эту задачу только как параметр. Наибольшая область на плоскости км у, в которой уравнение (4) (э 4) имеет решение, зависит от х,; для достаточно малых значений р решение будет ') Ом, также вскоре выходящую в свет книгу Гарабедяна (Ц. З б. Примененне комплексных переменных существовать при всех , 'х, ( ~~ о и х,, у, удовлетворяющих неравенствам (1).
ТепеРь мы знаем значениЯ и, и, пРи У = О,;ха( ( Р, 1х,( " о. Эти даниеле позволяют нам найти а, решая задачу Коши для уравнения (4) (й 4) в некоторой области, гле у ) О, заключающей часть действительной полуплоскости у ) О, ха= О. Надо еще проверить, что полученное нами продолжение яиляется решением исходного уравнения. Это можно сделать, показав, как и Рис. 35. выше, что функция и удовлетворяет соответствуюьцему уравнению в четырехмерной комплексной области; мы не будем иа этом останавливаться. Заметим, что для линейных уравнений вида (4) из й 4 область, в которую можно продолжить функцию и, зависит только от Й и от расположения особенностей коэффициентов, но не от самого решения а.
В ~астиости, если коэффициенты не имеют особенностей, то функцию и можно продолжить на весь прямоугольник, который является зеркальным отражением Й '). ПРИЛОЖЕНИЕ' ) 2 И ГЛАВЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ХЕИИСАЙДА Нестационарные задачи (см. гл. Ш, й 8) играют весьма важную роль в различных приложениях, например в электротехнике. ') Как заметил Гарабедяи, зго сообраисение позвеляет гюлучить принцип отражения Леви (см. Г Леви (21). ') Хотя ато приложение тесно связано с залачами, рассмотренными з гл.
Ш, 7 и Ч1, его слелует рассмагризать как вставку, несколько отличную по стилю и направленности от остальных частей книги. Приложение 2 к гл. т' Им посвящена обширная литература, в которой особо выделяется символический метод операторов Хевисайда, Этот метод дает очень прямой подход к задачам и часто позволяет получить явные решения, которые другим путем не могут быть так просто найдены. Сначзла этот символический метод был предложен без строгого обоснования: Хевисайд выражал даже некоторое пренебрежение к опасениям профессиональных математиков.
Но поразительный успех метода Хевисайда заставил объяснить его с математической точки зрения, что привело к полному оправданию и дальнейшему развитию символических методов. Исчерпывающее изложение этого вопроса вышло бы за рамки этой книги '). Однако мы рассмотрим теорию нестацнонарных задач, по крайней мере простейшего вида, и приведем несколько примеров. ~ 1. Решение нестационарных задач с иомоьцью интегральных представлении !.
Пример явного решения. Волновое уравнение. Мы будем искать решение волнового уравнения ин — и,„=- 0 (!) на отрезке 0 .. х ( В удовлетворяющее начальным условиям и(х, 0)=0, и,(х, 0)=0 и граничным условиям и(0, Г)=у(Г), и((, Г)=0 илн и (О, !) = у (!), и„(П () = О, где,сила" у(Г) есть заданная функция !. Первая задача (а) может относиться к струне, которая в начальный момент г = О находится в состоянии покоя, закреплена в конце х = — й а на другом конце х = 0 совершает движение, описываемое заданной функцией у(Г), вызывающей отклонение и. Во второй задаче (р) струна совершает то же движение на конце х = О, но конец х = ! теперь может свободно перемещаться по прямой, перпендикулярной оси х (положению покоя). Вторую задзчу можно также истолковать как задачу об определении напряжения и(х, () в идеальной л щии передачи, где ток и обращается в нуль в конце.
В обеих задачах мы предполагаем, что У(!)=О для Е (О. ') Читатель найдет подробное изложение, содержащее многие достижения последнего времени, в книге Мнкусинского [!]. 505 э" I. Решение с ааллащью ингегра ~иных аредсгаалений Эту задачу легко явно решить, подбирая функции 5 (Л) и ф(Л) в общем решении волнового уравнения и(х, 1) =ф(1+х)+ф(1 — х) (2) гак, чтобы удовлетворялнсь начальные и граничные условия. Мы разделим ось Л на интервалы л,1т1 (Л ((т+ !)1, а затем последовательно определим са и ф в каждом из этих интервалов. Сначала мы рассмотрим вторую задачу, соответствующую отражению относительно концз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
