Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 97
Текст из файла (страница 97)
к системам вида аи~„+ Ьи~ + сиг + Ф = О Ц= 1, 2, ..., т), (1') где а, б, с, Ф вЂ” заданные функпии от х, у, ис, р', с1г'. Общее нелинейное гиперболическое уравнение г(х, у, и, р, и, г, з, Г)=О (б) можно также снести к эквивалентной ему системе квазилинейных уравнений с одинаковой главной честью; это делается с помощью дифференцирования ураннения (б) по х и у. Вообще говоря, получается эквивалентная каноническая система первого порядка. причем независимыми переменными являются характеристические параметры; она состоит уже не из пяти, как прежде, а из восьми уравнениИ для восьми величин х, у, и, р, и, г, з, С, зависящих от а и р').
(Специальный случай уравнения Монжа— Ампера будет рассматринаться в слелующем пункте.) Тот же метод, который применялся н п. 1, лает двеналцать уравнений для восьми величин х, у, и, р, с), г, з, г, и можно доказать следующее. а) Четыре из этих лвснадцати уравнеюгй являются следствиями остальных, и только восемь из них независимы. б) Если для уравнения (б) поставлена залача Коши, то м чжно опрелелить начальные значения для этой системы из восьми уравнений первого порядка.
Решение х, у, и, р, д, г, з, Г системы снова строится с помощью последовательных приближений и дает решение и(х, у) =и(а(х, у), р(х, у)) уравнения (б). в) Решение и системы имеет непрерывные произнодные вплоть до третьего порядка, если начальные значения для неличин х, у, и, р, и, г, з, с непрерывно лифференцлруемы и если функция г" имеет непрерывные произволные по х, у, и, р, е, г, л, ( вплоть ло третьего порядка. ф 2. Исключительный характер уравнении Монжа — Ампера Уравнение Монжа — Ампера Р = А г+ Вэ+ С1+ В (гй — гт) + Е = О, ') Подробности см. в работах Г. Леви [7] и Адамара Я. Прилажеиие ! к гл. У Мы можем предполагать, что А+ 01 ~ О, С+ Ог Ф О.
Уравнение (2) имеет действительные различные корни т', та, если уравнение (1) гиперболическое, т. е. если дискриминант Ь = Ее — 4Гере =  — 4АС+ 4ЕО > О- (3) Эамечательно, что вторые производные г, з, 1 не входят в выражения для дискриминанта. Кроме того, из уравнения (!) и из вида дискриминанта Ьа вытекает следующее тождество О=О!Аг+Вз+СГ+ О(гт — зг)+Е1 = = (А+О!)(С+ Ог) — — ( — 20а) + 4 Ьа, 1 или 1 А+О, 2 (в — 20е+а) (4) — ( — 2 Ое — Ь) 1 2 С+ г Мы решаем уравнение (2) относительно у/х и получаем корни  — 20е+Ь з  — 20а — а у(ле.ее ' ЙТХ+ЮГ' зто позволяет получить уравнения (А+Ое) у" 2 ( — 2 Оз+Ь) х„=О.
1 (А+ Ог) уа — 2 ( — 2 Оа — Ь) хй —— О 1 (б) имеющее большое значение во многих областях, как, напрнмер, в дифференциальной геометрии, — существенно нелинейное: оно квадратное относительно г, Г, е. Но в противоположность общему нелинейному уравнению, которое сводится к системе восьми дифференциальных уравнений, задача Коши для уравнения (1) сводится к задаче Коши для системы только пяти квазилинейных уравнений первого порядка, точно так же, как в случае квазилинейного уравнения второго порядка. Этот факт влечет за собой интересные следствия; например, класс начальных условиИ, допустимый для уравнения Монжа — Лмпера, шире, чем для общего нелинейного уравнения (т. е, на начальные функции накладываются менее строгие условия гладкости).
Рассмотрим уравнение (1), где А, В, С, О, Е являются гладкими функциями от х, у, и, р, д. Характеристическое соотношение (9) нз 9 1 принимает вид (А+ 01) уз — ( — 20з) ух+(С+ Ог) ха = О. (2) 4 2. Исключительный характер уравнения Манаса — Анвера 493 с характеристическими независимыми переменными а и 1т, или Р(1у + эх,)+ Ау„— 2 (В+о) х„=О, 1 Р(туч+ох )+Ау — — ( — Ь) х =О. 1 (5') В силу соотношения полосы мы имеем — (В+ Ь) хя — Ауч — Рс)„= О 1 1 2 ( — Ь) ха — Ауа+ Рда — — О. (5н) Применяя тождество (4), из уравнений (5) мы получим два дополнительных уравнения (С+Рт) х,— — ( — 2Ра — Ь)у„=О.
1 (С+Рт) хв — — ( — 2Рг+Ь)уа — — О 1 2 (6) или Р (тх„.+ гу„) + Сх„— — ( — сь) у„= О, 1 Р(гх +вуа)+Сха — — (В+А)ув — О, (6') а с помоюью соотношения полосы р=тх+ау мы получаем 1 — ( — Ь) у, — Сх„— Рр. = О, 2 1 — (В+А) у — Сх — Рр =О. (6н) Заметим, что система, состоящая из пяти уравнений (5н), (ба) и соотношения полосы и, — рх„— ау, = О, (7) эквивалентна исходному уравнению Монжа — Ампера (1) в следуюшем смысле. Если х, у, а, р, т есть решение этой системы с начальными данными, определенными через начальные данные для урав- 494 Прилохеение 1 к гл.
Ь' пения (!), и если якобиан д(х, у)/д(я, р) не обращается в нуль, то и(и(х, у), 8(х, у)) =и(х, у) является решением задачи Коши для уравнения (1). Чтобы установить этот факт, мы сначала определим три величины г, з, ( из четырех условий полосы х„г+ у.з — р„= О. хзг+ уаз — ра — — О, х„з+ у„г — о„= О, хаз + уаг 9а 0 (8) Мы исключим г из первых двух уравнений, а 1 — из последних двух и получим х„рз — хар„ Уаза У«яа — и з= д(х, у) д(х, у) д (и, 3) д (и, Р) Соотношения типа д,=д„х„+д у„показывают, что уравнения (8) совместны тогда и только тогда, когда д = р .
Ясно, что функции г, з, (, полученные из уравнений (8), удовлетворяют уравнениям (5') и (6'), а, следовательно, также уравнениям (5) и (6). Из первых уравнений в системах (5) и (6) мы получаем тождество В ( Аг + Вз+ С( — (.) (гà — за) + Е) = О, или, так кзк О чь 0 (иначе уравнение (1) было бы квазилинейным), А г + Вз + С( — й (гФ вЂ” за) + Е = О. Таким образом, решение системы дает нам решение уравнения (1) и можно непосредственно проверить, что оно имеет нужные начальные значения. Достаточно потребовать, чтобы начальные данные для уравнения Монжа — Ампера обладали следующими свойствами гладкости: функция и(х, 0) должна быть дважды, а функция и„(х.
0) — один раз дифференцируемой. Другими словами, требования имеют тот же характер, что и в квазилинейном случае. но они и менее сильные, чем в общем нелинейном случае. Другое замечание также указывает на исключительный характер уравнения Мопжа — Ампера. Оно касается задачи Коши: для дифференциального уравнения, квадратного относите.чьно вторых В д. Переход от эллиптического случал к гиперболоческолчу 495 производных, Агя+ Вез+ СР+ 0гз+ Егс+ РэС+ Ос+ Оэ+ П+ К = О, (9) где А, ..., К являются функциями от х, у, и, р, и, рассмотрим задачу Коши на кривой х(Л), у(Л), задав значения и(Л), р(Л), с)(Л) таким образом, чтобы они удовлетворяли условии полосы и = рх+ уу. Затем мы должны дополнить эту полосу первого порядка до интегральной полосы второго порядка, вычисляя начальные значения для г, э, ! из уравнения (9) и соотношений полосы гх+эу=р, эх+!у=и. В силу того что уравнение (9) квадратное, это дополнение, вообгце говоря, можно сделать двумя способами.
Однако можно показать, что из всех уравнений вида (9) только одно уравнение Монжа— Ампера допускает однозначное дополнение любой начальной полосы первого порядка до интегральной полосы. Чтобы доказать это, мы положим в написанных выше соотношениях полосы у/х = — а и получим э=ос+ ..., г=азс+ где точками обозначены величины, известные на полосе первого порядка.
Вводя эти выражения для г и э в уравнение (9), мы получим в качестве коэффициента прн Р выражение Аа4+ глаз+ (Е+ В) аз+ Ра + С. Если это выражение обращается в нуль при всех знзчениях а, то оно эквивалентно уравнениям А = О = Р = С = О, Е+ В = О, что и доказывает паше утверждение. Этот результат для задачи Коши тем более замечателен, что для краевой задачи в случае эллиптического уравнения Монжа — Ампера, как было показано в гл, !'чг, Э 5, п. 3, возмоэкна неоднозначность решения. 9 3. Переход в комплексной обласиги огп эллиптического случая и гиперболическому Всюду в этой книге предполагзлось, что переменные лействи.
гельны; иногда комплексные переменные вводились чисто формальным образом. Но з следующих двух параграфах мы коротко рас. скажем о более существенном применении комплексных переменных 496 Проложение 1 к гл, уе нзчало которому положил Г. Леви (б] и которое было развито далее в работах Г.
Леви, П. Гарабедяна') и других. Многие рассмотрения главы Ч остаются почти без изменений, если функции Г" и коэффициенты а„, являются комплекснозначными функциями лействительных переменных х, у. Мы можем разбить решение и = и, + (и, на действительную и мнимую часть; таким образом, вместо л уравнений с комплексными коэффициентами мы получаем 2п действительных уравнений того же самого типа для функций и, и и . Теория интегрирования, теоремы единственности и доказанные ранее теоремы о непрерывности и дифференцируемости решений как функций параметров остаются без изменения. Кроме того, если левая часть действительного дифференциального уравнения Г (х, у, и,, ) = б является аналитической функцией всех своих аргументов и если мы, кроме того, знаем, что решение и(х, у) аналитически зависит от х и у, то мы можем аналитически продолжить дифференциальное уравнение и его решение в комплексную область, считая, что х = х, + Гх, и у = у, + )у, — комплексные переменные.
Если мы это сделаем, то исчезнет различие между типами уравнений и в принципе станет возможным переход от эллиптического к гиперболическому случаю. Простейшим типичным примером является дифференциальное уравнение Ли=и +и =Г(х, у, и, и, и), (1) которое в действительной области эллиптическое. Мы предположим, что правая часть этого уравнения является аналитической функцией своих пяти аргументов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
