Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Если решение и аналитически зависит от х и у, то мы можем рассматривать и как функцию комплексных переменных х = х, + Гхз, у = у, + )уз, или как комплексную функцию четырех действительных переменных хп х, уп у,. Тогда в действительной области дифференциальное уравнение имеет вид и...,+ им>,, — — /(х, у, и, иее и,). (2) Но так как на комплексной плоскости мы можем дифференцировать как по туз, так и по уп то комплексная аналитическая функция и, рассматриваемая как функция четырех переменных хп хз, уп уз, удовлетворяет также у.равнению и,„,— июю= Г(х, у, и, и„е — (им), (3) которое, имеет гиперболический характер. Обоснование такого перехода связано с предполагавшейся до сих пор аналитической природой решения и, т.
е. с тем фактом, что производная функции в комплексной области не зависит от направления дифференцирования. ') См. Гарабедян н Лнберштейн Н). 4 4 Аналитичности региениа в элэитиисснол случае 497 ~ 4. Аналитичность решений в эллиитичесном случае 1. Замечание из теории функций. Компдекснозначная функция пг(хг, х,, у,, у,)=тсг+гя„обладающая непрерывными частными производными первого порядка, называется аналитической функцией двух комплексных переменных х = х, + гхг, у = ус+ гуэ в ооласти В четырехмерного пространства хп х,, уп уг, если там выполняются уравнения Коши — Римана Рог — = ти„, + гпг„, = О, ггю = еж+ гтоэс = — О.
Мож| о дать следующее эквивалентное определение: функция ш анагати гна и окрестности точки х = О, у = — О, если существует такое положительное число М, что функция ги может быть разложена в степенной ряд пг = ~э а,,х"уи ., и=о (2) для ~ х ~ и.
М, 1у! ° М'); она называется аналитической в области В, если она аналитична в окрестности каждой точки из В. 2. Аналитичность решения уравнения Ам=у (х, у, и, р, г)). Мы предположим, что в дифференциальном уравнении Ьи = )'(х, у, а, р, гг) (3) функция à — (действительная) аналитическая функция своих пяти аргументов и что а(х, у) — заданное дважды непрерывно дифферен- ') Это условие можно получить, например, нз определения Коши — Римана с помощью последовательного првменения интегрального представленая Коши для функций комплексного переменного: пусть соотношения 1(оши — Римана (1) выполняются в области В, определенной неравенствами М ~ х | ( м, ~ у ~ м. для любой нары чисел аи с„таких, что , ,'$ ~ с — „—, ок- М ружность К,:, 'х — . -~ = — целиком содержится в В; з этой области содерМ жатся также зсе такие гочки х, что;х —;', ( —.
Следовагельно, если 2 Теперь мы могкем обратить наше рзссуждение, т. е. исходить из действительного решения первоначального уравнения и пытаться продолжить это решение в комплексную область так, чтобы это продолжение удовлетворяло гкперболическому уравнению (3) нли соответствующим системам, а затем доказать аналитичность таким образом полученной комплекснозначной функции. Эта основная идея впервые была применена Г. Лени (6) в его методе доказательства аналитичности решений эллиптических дифференциальных уравнений, 498 Приложение ! к гЛ.
цируемое решение этого уравнения в некоторой (действительной) окрестности точки х= О, У=О. Предполагается, что г аналитична в этой окрестности и в некоторой области значений и, р. 9, определяемых рассматриваемым решением. Мы утверждаем, что рассматриваемое решение и не только дважды непрерывно дифференцируемо, но и аналитично.
Мы докажем это с помощью продолжения в комплексную обласгпь, непрерывно продолжая и до комплекснозначной дважды непрерывно дифференцнруемой функции аргументов хп хз, уы ую удовлетворяющей уравнению (1)'). Вводя комплексные переменные х = х, + (хэ, у = у, + )у, мы постараемся построить функцию и (х,, хю у,, у,) — ниже булет доказано, что она аналитична по х и у, — которая при х, = уз = О сводится к заданной функции н(х, у) =- и (хы у,). Продолжение осуществляется постепенно; сначала для фиксированного х, мы продолжим исходную функцию и(хп у,) до комплекснозначной функции и(х,, х,, у,), а затем эту функцию продолжим до комплексной функции и(хц хщ уы у,). Функцию у мы продолжим как аналитическую функцию своих аргументов; тогда она мы пока будем считать у„у, параметрами, то функция ю внутри К„будет представлена с помощью интегральной формулы Коши ю(хн хг, 'уи у,) = —, ),, '' ' ', (Лс, +Гйс,).
ю(.~ сь У» Уг) 2ят 3 ($, +1сг) — (х, +гх,) нх Диалогично, окружность К:[у — ч[= М/2 и соответствующий круг цели- М ком лежат в В, если ти н ел удовлетворяют соотношению [Ч[ < —. Поэтому ю можно представить также в ниде 1 Г ю(си сэ, Н„чг) 2яг 3 (т +ге) — ( + ) К С помощью подстановки мы получаем представление через двойной интеграл Коши Г Г ( с +гн!г)(НЧ +ГЛ г) ю(х| хь У> Уг) 4 г ) [ ю(б~ $ъ Ш йэ)( +я )( + Лробь, стоящую в полинтегральном выражении, можно теперь разложить в степенной рял по х и у, так же как в случае одной переменной, а полученное выражение проинтегрировать почлеино. Тогда мы получим для ю искомое представление в зиле ряла. ') Для нашего уравнения доказательство можно было бы так же просто полу читгь применяя методы теории потенциала. Однако метод Ганса Леви представляет самостоятельный интерес и открывает возможность для решения других задач (см.
работы Г. Леви [5), [3[ и [4)). Аналогичные идеи, связанные с продолжениеи решений в пространство большего числа измерений, успешно применялись в других, ио связанных с этой, областях (см. Г. Леви [2) ). З 4. Аналитичность решений в эллалточеслон случае 499 автоматически будет непрерывно дифференцируемой по этим аргументам. Наш первый шаг состоит в том, что мы будем рассматривать х, как параметр и попытаемся определить новую функцию и(х,, ха у,) с помощью дифференциального уравнения итач — и„»,= г" (х,+с'ха, ур и, — (и,е ит,), (4) которое возникает из уравнения (3), если мы формально заменим х на х,+схж Здесь х, считается фиксировакным параметром, а у, и х,— два действительных независимых переменных в комплексном дифференциальном уравнении.
Мы рассмотрим для этого уравнения задачу Коши с начальными данными на линии х,=О. Начальное условие на этой линии имеет вид и(хи О, у,)=и(хн у,), !5) где правая часть есть исходное действительное решение уравнения(3). В качестве второго начального значения мы зададим и»е определив его из условия Чи= — и„,+си,,=О для ха=О, (6) которое означает, что на начальной линии выполняется условие Коши — Римана. Таким образом, согласно теории, нзлои<енной выше, функцию и(хм у,) можно однозначно продолжить до и(хв х,, у,) в некоторой окрестности начальной кривой.
Так как, кроме того, и(хм у,) непрерывна и непрерывно дифференцируема по параметру х, в некотором интервале (см. гл. Ч, 9 5), то функция и(хр х,, у,) определена и непрерывно дифференцируема по х, в некотором параллелепипеде, который является.
окрестностью точки х, = О, х, = О, у, = О. Аналогично, производная и„ непрерывно дифференцируема по х,. Дифференцируя второе начальное условие (6) по параметру хм мы получаем соотношение =и... +ги„,„=О. Положив ха=О, д (ги) дх, »» вычтем из уравнения (3) уравнение (4). Мы получим и»со+и„,„.,=О для ха=О или, применяя полученное выше соотношение, и,,„— (и»м,=О, илн же д д — Чи —= . — (и,, + ги„,) = О.
дхт ' дх, Теперь мы применим оператор Коши Ч к уравнению (4). Полагая для краткости Чи = м, мы после формального дифференцирования получим ььу у сь»„» У„Чх + тт „Чи — сусрЧи„, + / Чите Приложение ! и гл, Так как ул = О, мы, наконец, получим муж, — игхгх, = гуиог — гу'ригх, + уоогуи Коэффициенты в правой части — известные комплексные функции у, и х,.
Поэтому наше уравнение является линейным однородным гиперболическим дифференциальным уравнением относительно функции нй в силу предыдущих результатов, для него однозначно определяется решение задачи Коши. Но так как, в силу условий (6) и (7), начальные вначения го и дог(дхз обращаются в нуль, иг=О тождественно в некоторой трехмерной окрестности ь) начала координат. Теперь мы должны сделать второй шаг, а именно продолжить и в четырехмерную область хи х,„ уп у, С этог! целью мы рассмотрим любые два значения хз и у, в г, н продолжим а по новой переменной так, чтобы она удовлетворяла гиперболическому дифференциальному уравнению и...,— иу,у, = г'(х, у, и, и и — 1иу,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
