Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Снова предполагается, что функция г' имеет непрерывные производные вплоть до порядка (а+ 1)72 или (и + 2)72 соответственно. Г!усть функция о(х, г; т), зависящая от параметра -., есть решение однородного дифференциального уравнения оп — Ьо= О, удовлетворяющее начальным условиям о(х, 0; т)=0, о,(х, 0; т)=7(х, т), Тогда о = ~ о(х, 1 — т; т)е(т. (31) Из этого „интеграла Дюамеля" сразу получается решение для неоднородного уравнения (30) с начальными условиями (30').
Возьмем среднее значение ьГ (х, г; т) = — ) ... ~ Г'(х -+ !3г, т) г7ыя; мы будем иметь ! г о(х, г, .)=-- — — -- — — (1 — г ) гьг(х, г, .)г7г 1 д г з в <я-зиз (и — 2) ! дг" о и, следовательно, е! г д" з г !я -зрз и(х, ()= — — — З! е(т, ~ ((à — т)з — гз)!я 'г()(х, г; т)г(г, (и — 2)! дев ' о о где г))г(Гз=(1721)(е(/Ж). Решением этих рекуррентных уравнении являются функции ВВВ Гл. И Гинерболинесние уравнения ео многия>и оереиеннв>л>и нли, если переменить порядок интегрирования и дифференцирования (законность этого легко проверить), получим и(х, г) = — ( ат ~ (та — ге)Ы ~~г»г(х, г; г — т)г(г. (32) = (и — 2)! с>тл-е, о о Для и=2 и и = 3 получаются выражения и =- —, ) >>т ~ л1 —,' " -»»е(т> (рт=(х — ')а+(у — т>)е) (33) О е"'е и — — ) ~ ~ — Г(», т>, ю > — р)>>»а>т,а>, (р'=(х — »)'+(у — о) +(з — ~) ); (34) это соответствует результатам, полученным в гл.
Н!. 6. Задача Коши для общего линейного уравнения второго порядка. На основании и. 5 задача Коши для общего линейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка может быть легко решена с помощью метода спуска. Достаточно сначала рассмотреть дифференциальное уравнение Ь>>+ с'и = ии (35) с начальными условиями и(х, 0)=0, и,(х, 0)=(>(х). (35') В силу гл. Ш, 6 3, общий случай можно свести к этому. Явное решение снова получается с помощью метода спуска.
д(ы искусственно увеяичим число „пространственных" переменных до и+ 1, полагая х„„, = е, н рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения (36) относительно функции о(хп х,, ..., х„и г) с начальными условиями о(х, 0)=0, о,(х, 0)=ф(хп ..., х„)е' н'>=ф(х)е". (36) Положим о = е"и(хи х, ..., х„, (); (37) тогда и будет решением задачи Коши (36). Действительно, полученное ранее представление (16) показывает, что решение о задачи Коши (36') имеет вид е"и(х, х,, ..., х„, Г). Но, если мы под- 4 12.
Рровлепоя второго порядка ставим функцию о в уравнение (36), то мы сразу получим, что и есть решение задачи Коши (35), (35'). В силу теоремы единственности, доказанной в й 8, может существовать только одно решение и и, следовательно, и=ее '*. Теперь мы можем получить представление для о, а следовательно, также и для и, с помощью фэрмул п.
4. Таким образом, для четных и, а следовательно, для нечетных и+-1 мы имеем тле ве- 6*(()= — ' — ~ ... 1ф(х+8()выг" г(ы„,ч ил -~ Тогда и =(Ры здз((6), причем 6(г) = — ~ ... ) ф(х+ рг) е™л е~ аЪ глл т Как и ранее, через г(ы„е, обозначен элемент поверхности (и+1)- мерной единичной сферы. Так как функция ф не зависят от последней переменной х = хл ,, в силу того, что ! ! )г'Гт т л р'тл л мы получаем соотношение 6(х, г)=- —" — „—, / .
=еет"-"6(х, р)ао. ~ ))г' — з' или 2à — -) ~ — -) р 6(х, ()= — — „, ~ — à — сй с 1ггз — р'Я(х, р)ггр, (38) где ()(х, р)= — ~ ... ~ ф(х+~)р)о(ы„, Аналогично, для нечетных и мы получаем решекие и = )((л-ца(тН), (39) где Н(х, т)= — „~ ол 'lр((сато — рз)Я(х, р)г(р; (40) о 690 Гл. И. ! олгрболилеског уравнения го,ллогиллл лгрелелныии здесь ./о — функция Бесселя порядка нуль.
Действительно, в этом случае о = 11гл-пег()Н ) агг= ин+ и, (41) при начальных условиях и(х, 0)=0, и (х, 0)=ф(х), мы полозким и =ее-нз и получим для о дифференциальпое уравнение Он = ЬО +— (42) которое совпадает с (35) при с = — . 1 2 ' Например, при и = 1, 2, 3 решение телеграфного уравнения имеет вид и=-е гР ~ у зг туг з — ррз з1 я(х р)агр о 1 ()(~, р) = — (ф(х+ р)+ ф(х — р)1 сй — )г Ег — рз и=е ~ р (е(х, р)о(р, о РР з 1 Г я (х, р) — — / ф (хз + ррн хз + орз) о(шз г и=е — — ) р l 1 — '1 1 — р )11(х, р)ир, — !Л! д Г з Г ~ 2 з д ) "1,21' ) о ! (е(х, р) = 4, ~ ~ ф(хз+р)зн хе+ Ррз хз+ ррз)г гоз для л=1, (43) для и =2.
для го=в. где Н'(х, 1)= — ) ... ~ — — — — е ' оа( ... д,' 2е" г Г ф (х+1) г; Если в этом интеграле произвести интегрирование по („э, от — ф' Р— Рз до+ РТз — Рз, то полУчитсЯ выРажение нзо()с фгР— Рз) так что в соответствии с формулои (40) Н(х, С)= Н" (х, 1)е-"= — ~ ф (х+ 1) уо ((с фри — рз)Ж '"" дз л ге Чтобы применить этот результат к решению телеграфного урав- нения 691 б Кб Уравнения второго порядка 7. Задача излучения '). Результат, полученный в п.
5, позволяет нам найти решение задачи излучения для общего волнового уравнения с и пространственными переменными; это делается посредством простого предельного перехода 2). Мы сформулируем залзчи излучения следуюгцим образом. Для С ) 0 мы ищем такое решение однородного волнового уравнения пи — ли = О, которое при Г =0 обращается в нуль вместе со своей производной и, вснсду, кроме начала координат в простринствг х. сс которое при г = )с х'-,'+ х",+....+х' =О, т.
е. на „оси времени", имеет такую особенность, что !'пп ~ ... и! — асс= — и'(Г). г ди и+а '''.) дс (44) Здесь в момент Г интегрирование происходит по сфере К, с центром в начале координат в пространстве х. Через дсдл обозначается дифференцирование по нормали к сфере, сгз — этемент поверхности, а радиус сферы е стремится к нулю. Злесь д(Г) есть заданная как функция времени интенсивность излучения. Мы можем более кратко сформулировать залачу излучения как задачу о решении неоднородного „дифференциального уравнения" з) ии — Ьи=д(() б(х, у, г) (44') с однородными начальными условиями (ЗО'); ь(х.
у, з) здесь трехмерная дельта-функция, которую мы ввели выше. Мы попытаемся построить решение с помощью прелельного перехода, используя решения неолнородных уравнений. В частности, пусть и = иь — решение уравнения (30) с с (х, Г) = ф (х) л(с), где ф = 0 лля г ) сс, ф )~ 0 лля г ( И и ) ... ~ ф а'х, аха ахл = 1.
сиь ' л 2 Здесь г =- хс + хг-1-... + хл. Искомое решение задачи излучения получается как предел решений и„при И -ь О. В результате получим, что с!л — 2 — — ~ ~(~ — т) ~ ~(т — ")'"-м". )(..) д., (и — 2)! дг. 2 З о тле С)(х, з) = — ) ... ) ф(х+82)ссслли Если мы запишем внутрен- 1 и л'л ~ л ') Изложение близких вопросов см, в работе Вайнштейна (2). ') См. б 15, где дано более общее и подробное изложение. ') Ниже (в б !4 к 15) мы будем систематически пользоваться Ь-функцией; здесь мы воспользуемся более классическпм методом. 692 Гя.
И. Гиперболические уравнения со многими переиеннылси ний интеграл в виде („2 2)'и-зиз ( 2 Л2)1в-МГЛ ЛЯ(Х 3) а!8 ~ / ф (С) гЛС о л! (в' = (х, — !!)2 -!- (х, — (2)2 -'г- + (х„ — (,)2) и перейдем к пределу при й — э О, то получим (О для г)т, !!щ ~ (22 зз)" зСГ(х л)г1л= ( 2 .еуя-зн2 для г (т. ы„г' Следовательно, искомое решение задачи излучения таково: для г) л' и=О, а для г к.
с — ~ д(1 — т)(22 — Гз) ' ~й (и — 2)! г" л дтп или г-г )п — 2 и= 1 1 д у ~г(т)[(1 )2 з~ы-з!12д (45) ы (и 2)~ и — 2 длп-2 и о и= — 2~( )ей 2в 1 )/пе — гя (46) 1 и = — д(! — г). 4яг (47) В случае л = 5 имеем и =, —,((к (! — г)+ гк'(т — г)], 1 1 а в случае а=4 1 1 д !" р(1 — т) г Для п= 2 и и=3 (см. тл.
!!1, 2 4) мы снова получаем соответ- ственно 693 4 )2. Уравнения второго порядка С помощью вычислений, вполне аналогичных тем, которые были проведены в п. 4, решение задачи излучения можно ааписать ') в более компактном виде 1)сп-Зсд и сп-Зсд и(х, с)=- — - „[ — ) — для нечетных и, (48) 4гй" !'г [дг ) г 1)'и — 2!!э с д !Св — 2М2 и(х, т)=-- —. — [ — —.[ Н(т — г) лля четных п, (49) 2г„" г [ асг'г ) причем Н(т — г)=) [д(т — т)сС)гта — ге[да.
Заметим, что результаты этого пункта останутся справедливыми, если с — г заменить на (+г. Надо также отметить, что решения (48) и (49) задачи излучении можно прелс!авнть в виде сумм сп-згя „з в и= --сй — н,г ~Э аьп(2г)'д" (( — г) для нечетных и (50) н= 1 г „! -югг и= „;„, „Ьь.(2г)'Н" (г, () для четных и (51) ° =1 с постоянными а, „, бию Выражения вила (50) называются бегущими волнами высшей степени (и — 3)с2 (см. 9 4 и далее 9 18). Снова с помощью исслелозапия наших представлений мы получаем подтверждение слелуюшего замечательного результата: принцип Гюгсгенса справедлив для задачи излучения с нечетным числолс п пространсспвенных переменных т).
В точке х в момент Г влияние возмущения, исходящего из начала координат, зависит только от характера этого возмущения в один предыдущий момент времени, а именно в момент ( — г. Возмущение, распространяющееся из начала координат с елиничной скоростью, дохолит ло точки х как раз в момент с'. Таким образом, импульсы, исхолящие из начала координат и резко локализованные во времени, т.
е, представляеиые с помощью функций д(т), отличных от нуля только на малом интервале времени, воспринимаются в любой точке ') Подробное рассмотрение втой задачи см. в 9 18, п. 3. Заметим также, что, применяя обобщенные функции и дробные пронзволные, можно получить выражение, об ьедиияющее формулы (48) и (49). с) Безусловно, принцип Гюйгенса для залзчп Коши и принцип Гюйгенса ляя задачи излучения эквивалентны. 694 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
