Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 140
Текст из файла (страница 140)
Э 1й. Решение задачи Коши как линейный (рункционал от началъных данных. Фундалеенталъные решения 1. Описание. Обозначения. В предыдущих параграфах и раньше, в гл. гг, 2 5, решение задачи Коши — которое является линейным функционалом от начальных данных — было представлено в виде интеграла от некоторого произведения; один множитель задается начальными данными в области зависимости, а другой множитель, „ядро", зависит только от дифференциального оператора.
В этом параграфе мы дадим широкое обобщение этих явных „римановых представлений" решений задачи Коши для линейных гиперболических уравнений произвольного порядка с произвольным числом независимых переменных, не предполагая, что коэффициенты постоянны '). Если порядок дифферснцизльного уравнения достаточно высок по сравнению с числом независимых переменных (как в кристзллооптике или в магнитной гидродинамике), то ядро является обычной функцией. Если это не так, то оно может быть выражено с помощью обобщенной функции, т.
е. может быть получено из непрерывной функции с помощью днффсренцнрованняа). Нашей целью является построение и исследование этого ядра Римана. Как и з гл. гй это представление позволяет выяснить более ') См. также й 15, п. 4, ') Такое представление для одного уравнеиня второго порядка является предметом знаменитой теорни Адамара (см. п.
5). На общий случай впервые обратил внимание П. Ланс (см. Курант и П. Лакс [2)). ') Роль обобщенных функций в случае более двух независимых переменных иллюстрировалась н раньше на примере решения З(г — г),'г волнового уравнения с тремя пространственными переменными (см.
Я 12) с особенностью на конусе лучей. Надо отметить, что применение обобщенных функций, хоти око удобно и изящно, не является обязательным; в Га !2 — 14 я в работе Куранта и П. Лакса (2) показано, как можно без этого обойтись. 722 Гл. И. Гиссерболи сеян»се уравнения со многими яеременнылш при С )~ О, с начальными условиями сс (О, х) = ») (х), где матрицы А', В и функции с]с, У достаточно гладкие.
(Позже мы аналогичным образом рассмотрим системы более высокого порядка.) Мы можем считать, что векторы с[» и У обращаются в нуль при достаточно больших значениях своих аргументов. Тогда в силу теоремы единственности и также обращается в нуль при фиксированном г н при достаточно больших значениях пространственных переменных х. Мы исходим из тождествз Ы [и] — б*[п] и = ~ — (оА и)+ — (ои).
'кч д с д л~е дх; дс (2) Как и раньше, У.' есть оператор, сопряженный к с. Мы проинтегрируем тождество (2) по слою О.<'1: т и получим ] (о(.[и] — У.*[о[и)»ХхН= ] рисХх — ] оис(х. (3) аиск» Это соотношение справедливо, если обе функции и и о обращаются в нуль при больших значениях ]х]. Если вместо о мы подставим решение уравнения с*[о]=0 и если ь[сс]=У, то (3) примет вид ~ оных= ~ оис(х+ ~ ]с нуссхс(с. (За) о<с« В эвристических рассуждениях мы будем применять соотношение (3) также и тогда, когда под знаком интеграла стоят обобщенные функции. Затем мы покажем, что все эти операции можно обосновать для обобщенных функций, рассматриваемых в этом параграфеа). ') См., однако, замечание в конце и.
7. ') Заметим, между прочим, что (За) можно использовать длн определения обобщенного решения. тошсие стороны структуры решения; в этом состоит его главное значение. В этом параграфе предполагается '), что решение задачи Копи существует и единственно; при этом можно опираться на Э 4 н 8 †, где были построены решения с особенностями на характеристических поверхностях. Рассмотрим опять гиперболическую систему первого порядка относительно вектор-функции и: и', ..., и н с'.[и]=и,+~~'., А'и,+Ви=у(х, 1) (с=1, ..., и) (1) 5 гд Ресиение задачи Кокса как линейный функционал 723 В частности, мы рассмотрим в качестве о в слое, расположенном ниже т, матрицу й(х, е; с, т), удовлетворяющую уравнению У.' [й] = О для г ~ т, (4) которая при с = с принимает „конечные значения" й(х, с; с, с) =б(х — ()А (4а) Здесь Ь есть л-мерная дельта-функция, а У вЂ” единичная матрица.
При таком выборе о формула (За) принимает вид л(с, т)= ~ й(х, О; с, к) ф(х) с(х+ + / / й(х, У; $, т)у(Г, х)асхсИ, (5) где с)(х) — начальные значения функции а(х, (). Для однородного уравнения. т. е. для случая у=О, мы имеем и(с т)=] й(х о' с т)Ф(х)дх (5') где и(х, те)=ф(х); формуау (5) можно отсюда немедленно полу. чить с помощью принципа Дюамеля. Аналогично мы можем вместо и(х, с) ввести матрицу о (х, 1; сс, -м), которая в слое выше с =т, удовлетворяет уравнению У.[5]=О, г) тр (6) с начальным условием 5(х, т,; Цс.
т,)=б(х — бс)У (ба) при с=то Интегрирование тождества (2) по слою тс (1 (т тогда формально дает ] й(х, т; с, т)5(х, т; сс, тс)с(х— — ~ й(х, т,; с, т)8(х, т,; сс, т,)асх=б. Пользуясь условиями (4а) и (ба), установим закон силслсетриис 8 (с тС ср кс) — й (чей тсС с 'с). (7) Из формулы представления (5) следует, что матрица й, если рассматривать ее как функцию с и т, является фундаментальным решением для дифференциального оператора: Сц,[й(Х, с; С, т)] =б(Х вЂ” С, *с — т) А (б) Аналогично, Ьср,, [о(х, Г; ср с,)]=5(х — ср У вЂ” с,)У.
(О) 724 Гв. РЕ Гиперболические уравнения со многими переменными Здесь в прзвой части мы имеем (и+1)-мерную дельта-функцию. Таким образом, функция )т([п т,; 1, т) описывает влияние в точке (Цп;,) обратного излучения, исходящего иэ источника, расположенного в точке (В т), а 5(В т; 1п т,) описывает влияние в точке (В т) прямого излучения из источника в точке (сп -.,). Закон симметрии утверждает, что эти влияния одинаковы, если прямое излучение описывается оператором Е, а обратное — оператором Е*. В следующем параграфе мы построим матрицу гс и дадим обоснование нашего метода.
Кроме того, мы докажем дза важных свойства функции гс. Во-первых, матрица гс(х, 1; В т) регулярна всюду, за исключением бихарактеристических лучей, исходящих из точки (В т), а во-вторых, Й(х, г; В т) тождественно равна нулю вне коноида зависимости для точки (В т). Следовательно, в выражении (б) для решения уравнения Е [и[ =Г' с условием и(0, х)=ф(х) интегрирование надо производить только по внутренности коноида зависимости Гр, исходящего из точки Р(В т) в направлении убывания Г. Для дифференциальных операторов Е[и) более высокого порядка т положение совершенно аналогично.
Снова римановы ядра излучения гс и 5 можно охарактеризовать с помощью простых начальных условий, соответствующих условиям (4а) или (ба) и содержащих Ь'-функцию только от пространственных переменных '), Например, для т = 2 мы имеем Е*[)с[=0 для г < т, )с=О. гсг=о(х — 1) для 1= с; Е[5[=0 для с)т, 5=0, 5,=о(х — 1) для (10) (10') Тогда формула (б) дает решение, соответствующее начальным значениям и(0, х)=0, и,(0, х)=ф(х). 2. Построение функции излучения с помощью разложения о-функции.
Теперь эвристические соображения иэ и. 1 мы заменим прямым построением матрицы Римана Гс (илн 5, что эквивалентно). Основная идея состоит в том, что точечную особен- ') Между прочим, начальные или конечные условии выделяют фувкции излучения из всех фундаментальных решений; это следует из единственности.
В случае, когда данные Коши для и, ир ... заданы произвольно, можно таким же образом получить представление, применяя формулу Грина. Для произвольного и не требуется дальнейших пояснений. /5. Решение задачи Коши кик линейный функционал 725 /."1Ь'(х, /: с. " и)1=0 для /к. т с „конечным условием" К(х, си К т, и) =о((х — 1)а)/, /. [и)= 0 (/ > 0) Если и и(х, 0) =ф(х), то из (За) следует, что /(с, с; и; и)= ~ и(х, к)й((х — с)а)с/х= / Ь'(х, 0; Е к, сс)ф(х)с/х, Эта формула выражает интегралы /(с, т, а, и), определенные в й !4, через начальные значения функции и. В силу й 14 мы можем восстановить и по соответствующим интегралам /(с, т; а; и) и таким образом получить явное выражение для /2. Однако мы предпочтем несколько иной, более изящный метод, который одинаково применим к случаю четного и нечетного л.
Он основан на разложении и-мерной о-функции й(х) на плоские волны; зто разложение дано в й 11, п. 2 формулой (!1). В соответствии с этим мы можем представить функцию /с(х, /; К т) (которая характеризуется дифференциальным уравнением /.,сЯ) = 0 и „конечным условием" /с (х, -.; с„ т) = и(х — 1) /) в виде суперпозиция функций (/(х, /; ,", т, а), удовлетворяющих тому же самому дифференциальному уравнению /», с//=О, но более простым конечным условиям //(х, с; К к, сс)=!овесе>((х — 1) и)/ на и-мерной плоскости /=т; здесь а — произвольный единичный вектор. Эти функции (/(х, /; К т, и) =//(и) можно построить с помощью метода й 4.
Если функции //(а) мы будем считать известными, то немедленно получим искомое представление лля /7: /Г(х, /; Е т)= — — к ~ (/(х, /; с„т; и)с/а. (11) ы=! Конечно. анзлогичную формулу можно нап кать для сопряженной матрицы Римана 3. Построим с помощью метода $ 4 функцию ность матрицы /7 мы сведем к более простым особенностям, сосредоточенным на характеристических поверхностях, и применим теорию задачи Коши, развитую в й 4 для таких особенностей. Этот метод тесно связан с методом й 14.
Пусть и — произвольный единичный вектор в л-мерном пространстве, а о — одномерная дельта-функцня. Мы будем решать задачу Коши в обратном направлении: 726 Гл. И. Гиперболические уравнения со многими переменными 1г(х, 7' Е т; 'р) (где р' — произвольный единичный вектор), при 1=то удовлетворяющую начальному условию ~ Е) = Ь (х, 1; Е, т, 1) = 1оК<п!(х — Е, 1) Л а при т ) то, удовлетворяющую дифференциальному уравнению Г.л г[[г[=0. Тогда 5(Х, Г; Е, т)= —, ~ [г(р)др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
