Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 142
Текст из файла (страница 142)
6. Если число и нечетное, то (/(о) с точностью до постоянного множителя имеет вид ."Р о*г"61"-Н (Л"1+ ох); фуиламентальное решение Римана получается интегрированием по сс. Далее предположим, что нн одна из скоростей к не равна нулю и что х11 принадлежит „сердцевине" конуса лучей; тогда очевидно, что фундаментальное решение обращается в нуль в этой серлцевине, так как для каждого а в ней равны нулю функции йш "() "1+ ах), Таким образом мы получаем слелуюшую замечательную общую теорему. ') См.
Людвиг [1]. ') Зависимость решения и от начальных данных легко исследовать, если выразить ядро гс через производные от гладких функций по переменной о (ч = О есть уравнение полости характеристического коноида). Тогда повтор. ное интегрирование по частям снимает особенности ядра за счет введения соогветствуюшнх производных от начальных данных. 4 !5. решение задачи 7(о)и!ч как линейный функционал 731 5. Пример. Волновое уравнение. Об(цая теория п. 2 содержит как частные случаи те решения задачи Коши, которые были найдены в явном виде в предыдуших параграфах. Например, представления 9 14, 14а мы легко можем отождествить с только что полученным представлением. Здесь мы ограничимся несколькими простыми примерами. Сначала мы рассмотрим волновое уравнение. Конечно, формулы (48) и (49) из 9 12 немедленно дают явное выражение для Я или 5 †э функции совпадают в силу самосопряженности волнового оператора — если д (),) в этих формулах заменить на функцию Дирака 8(),).
Однако мы хотим получить эти или эквивалентные им выражения из общего представления (!1) в п. 2. Пусть Я вЂ” функция Римана для волнового уравнения с и + 1 (к) независимыми переменными х',, .., х", К Обобщенная функция Я~ы(х, 1; К т) удовлетворяет следующим условиям: В)7' — Х В',",'=О ( > к), (! 7) .=! Я~ю(х, т; К т)=0, Я~(ю(х, т; К т) =8(х — 1). (18) (19) ! ак как волновой оператор имеет постоянные коэффициенты, мы без ограничения общности можем положить -.=0 и 1=0.
Функцию В (к) можно представить как (Х, г)=- 2 .„~ 1г(к)(Х, 1; а)д», (20) ( (=! где У ' удовлетворяет следующим условиям: к К);) ХЪл;1=0 (г>0), =! У(")(х, 0; а)=0, (22) К(Ю(х, 0; а)=!од(Ю(ха). (23) (21) В нечетномерном пространстве длл системы вида (1) с аостоянными коэффициентами и с В=О, для которой скорость распространения нигде не равна нулю, внутренняя сердцевина комуса лучей представляет собой лакуну, т. е.
не принадлежит области зависимости для вершины в строгом смысле. Эта теорема остается справедливой даже тогда, когда некоторые скорости )" обращаются в нуль, если только соответствующие множители а также равны нулю. Как легко установить, это имеет место для уравнения кристаллооптики (см.
9 14, п, 2), если выполняются условия относительно дивергенции [см, $ За). 732 Гл, )(!. Гиперболические уравнения со многими переменим.чи Здесь !од('о есть и-я производная логарифма в смысле обобщенных функций. Очевидно, что И(п (х, 1; а) = — [1о~(п !)(!+ха) — !од(п !) ( — !+ха)[; (24) 1 2 следовательно, О (Х Г) = —.— [1Оа(п !) (1+ Х а)— 2 (2п()п,) (а)=! [ой(" )( — (+ха)[(!а, (25) Из формулы (4), 2 11 следует, что при п) 2 ! Зм'(.
)= „",[ [М"-' (+Ч)— 2 (2п()п „! -! !оа~" ')( — !+гр)[(1 — рз)~" )' Ар, (2б) где о)п-! =(2к)'" ' )Р((п — 1)/2), а г= [х[. Слегка изменяя обо(и — !)(! ( значения, мы будем рассматривать 5~"' как функцию г и !. Продифференцировав формулу (26), получим ! д5 — и,! (и) (и) дг и (2п()" .Г и ( + — 1 — !оды( — !+гр)[р(1 — рз)'" )' ор. (27) Теперь мы можем проинтегрировать по частям; так как внеинтегральные члены равны пулю, имеем ! дб(п) —,); (2;). [ [!оИ'""Н (!+гР)— — ! — !ои(п!')( — (+гр)[(1 )ог)(п-!)(з((о (23) Простые вычисления показывают, что') оо!,.з) 1 дб (и) [29) к д (г!) ' Таким образом, функция 5(") может быть получена с помощью рекуррентных соотношениИ, если известны функции 8' ' и 5''.
и) (з) Из (25) следует, что 5 — — ., — ~ [!оп(ха+ !)+[оп(хе) — Г)[(!(о. (30) (н(=1 ') См. также 2 12. й гй. Решение задачи Коши кик линейный функционал )33 Вводя угловую координату 0 на единичном круге, получим Ю( ' = —, / [1ои [ г соя 0+ ! ] + !ои ] г сов 0 — ! [] ((0. (31) о Хорошо известная формула интегрирования дает ((2 ) )'2). (32) Мы можем выразить 5(' как интеграл дробного порядка от Ь-функ- (2) ци и. Из определения непосредственно следует, что 2)г (33) Формула для 5~ ' почти сразу получается из (26). Мы имеем (з) 1 Г [!оо(2) (),о -[- !) — !оп(2) (гр — е)] а)р. 2 (2к))з ) -1 (34) Но, по определению, на действительной оси !ш !опл = я(1 — ')(л)) (36) где ч) — функция Хевисайда.
Тогда или 5 = — (Ь(! — г) — Ь(!+))). (з) 1 (38) Из определения Ь-функции следует, что Ь(сз — г2) = — [Ь(! — г) — Ь(г+ г)], г 2г (39) поэтому 8(з' 1 Ь (!2 2) 2к (40) Применяя (29), (33) и (40). получаем 2к(к - 1)(2 (41) !ш1о(((2) г = — кЬ (в) (36) и 1 ~(З) ! ~ К [Ь'(Гр+ !) — Ь'(Гр --Е)](гча, (3)) -1 734 Гл. ГА Гиперболические уравнения са мкогилнг перелгенпыли формула (41) дает представление решения для всех и ').
В частности, если п больше или равно 3 и нечетно, то У обращается в нуль ~п~ всюду, кроме поверхности Гз — гз = О. Это и есть строгая форма принципа Гюйгенса. 6. Пример. Теория Адамара для одного уравнения второго порядка. Современная теория задачи Коши во многом опиралась на основополагающую работу Адамара [2) о гиперболических уравнениях второго порядка. Применение обобщенных функций и другие методы этой главы допускают более широкий н простой подход к вопросу, но в основе многих рассуждений этого параграфа лежат идеи Адамара, которые мы сейчас кратко изложим, несмотря на то, что применение результатов п.
2 и 3 к случаю одного уравнения второго порядка перекрывает теорию Адамара. Достижение Адамара состояло, во-первых, в том, что было построено фундаментальное решение; это построение можно осуществить прямо, не пользуясь теми упрощениями, которые были получены в и. 2 благодаря предварительному разложению и-мерной 3-функции на плоские волны с последующим интегрированием по единичной сфере. Во-вторых, Адамар, не имея в своем распоряжении аппарата обобщенных функций, применял „конечные части" расходящихся Ь интегралов для вычисления выражений типа ~ [А(х)/(б — х)ь]сгх, а где подинтегральные выражения понимаются не как обобщенные, а как обычные функции.
Мы не будем здесь останавливаться на понятии „конечной части интеграла" (см., однако, приложение), так как его можно обойти с помощью применения обобщенных функций. Вместо этого мы в несколько измененном виде изложим способ Адамара построения фундаментального решения. Исходя из результатов, полученных для волнового уравнения (см. п.
4), мы рассмотрим общее аналитическое уравнение второго порядка б [а) = ~„а,еасе+ ~~~ д;и, + си = О. г, е=о ' г=о (42) Мы будем искать решения с особенностями на коноиде лучей Г(х, с)=О, где Г(х, [) — квадрат расстояния между точками х и В если это расстояние измеряется в римановой метрике, связанной с уравнением. ') Эта формула выводится н обсуждается в книге Геаьфаняа н Шилова [1). Естественно, она эквивалентна результатам 4 12, в частности выражениям (14) и (5)„4 12. 15.
Решение задачи Коши как линейный функйионал 735 Функция Г удовлетворяет уравнению ач Г,Г„= 4Г, н л=а (43) и, следовательно, удовлетворяет характеристическому уравнению только на коноиде лучей '). По аналогии с методом э" 4 мы будем искать решение уравнения А[и) = О в виде и(х, 5) ж ~~'~; 5„(Г)й'(х, 5), .=а где †„, 5,(Г) = 5„ ,(Г) для всех ч; й (46) обобщенная функция 5а(Г) и функции д" (х, '.) будут определены ниже. Мы указкам несколько различий между методом Адамара и методом 8 4. Во-первых, поскольку Г не удовлетворяет характеристическому уравнению тождественно, коэффициенты сеч(х, 1) будут зависеть от выбора 5„.
Во-вторых, поверхность Г = О имеет особенность в вершине кононда лучей (х = ). Такие особенности в э 4 исключались из рассмотрения, Здесь наличие особенности в вершине после некоторых вычислений приводит к условию Г5,(Г)+( + )5,(Г)=О (46) при Г=О; без ограничения общности мы можем потребовать, чтобы это условие выполнялось при всех значениях Г. Тогда коэффициенты К'(х, с) можно определить с помощью метода, вполне аналогичного методу э 4; они будут решениями некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль геодезических, исходящих из вершины х=";. Условие, что функции д' должны быть регулярными в вершине х=с, позволяет определить и с точностью до постоянного множителя.
Определив все коэффициенты в выражении (44), мы можем объединить некоторые члены. Применяя соотношения (45) и (46), получаем — (Г5„ з(Г))= Г5 з+ ч5 , ~ ч — †) 5 н (47) (й1')' Г5„, =(ч — —, )5, (ч= 1, ...), (48) Подбирая соответствующим образом постоянные интегрирования, будем иметь 736 Гл. РА Гооерболиеесние уравнения со многоми неременными Полагая р=(л — 1)/2, получаем Гг 5.(Г)= (1,) (, ) 5о(Г) (49 ~ если знаменатель не обращается в нуль. Но при нечетном и знаменатель будет равен нулю при некотором н=р; ниже мы введем некоторую обобщенную функцию 7(Г) = 5„(Г). (56 Тогда для «) р, снова подбирая соответствующим образом постоян- ные интегрирования, мы будем иметь 5,(Г) = —, 7'(Г).
(51) Теперь мы можем воспользоваться формулами (49) и (51) лля объеди- нения членов в нашем разложении. Если и четно, то и(х, Е)=5 (Г)(7(х, Е), где (7(., Е)=,'~,(, „)' (, )й'(х Е). .=о Если и нечетно, то (52) (53) и(х, Е)=3 (Г)(7(х, Е)+Т(Г)гг'(х, Е), (54) где (55) Ъ'(х, Е)= ~~~ Г гг" (х, Е). (56) Т олько теперь мы уточним, каковы должны быть Яо(Г) и Т(Г). Из соотношения (46) Адамар сделал вывод. что с точностью до постоянного множителя (Г) Ги — нш (57 а) 5,(Г) = 6""-"" (Г). (57б) Однако, вспоминая пример волнового уравнения в п. 5 и учитывая, что должно удовлетворяться условие (10) из п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
