Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 145
Текст из файла (страница 145)
Мы хотим определить 7'(х, /)+-7(х, — /) по заданной функции д(х, г). Для этого мы построим интеграл ') Для ш = 3 эта группа эквивалентна группе преобразований совокупности всех прямых в трехмерном пространстве в себя; см., например, Клейн [11. Энвнвалеитиость этих групп становится более ясной в связи с одним приложением, указанным /!жэком, теоремы Асгейрссоиа о среднем значении к ультрагиперболическому уравнению с сн = 2 (см.
Джеи [5[). Мы будем интерпретировать хь х,, у„ у, кзк координаты прямых в трехмерном пространстве $, ь в смысле геометрии прямых. Тогда общее решение, определенное во всем пространстве и удовлетворяющее некоторым условиям регулярности иа бесконечности, дается с помощью интеграла от произвольной функции 1, ь по прямым в пространстве. Для прямых, лежащих иа произвольном однополостном гиперболоиде в пространстве $, (, теорему Асгейрссоиа о среднем значении можно сформулировать следующим образом: интеграл от любого решения и по прямым одного из семейств равен интегралу по прямым другого семейства. э) См.
Асгейрссои [21. 748 Гл. Уб Гиперболические уравнения со многими переменными от функции у' по шару радиуса г с центром в точке (х, О): г 0(х, г)=~ у(х, р)г(р= ~ у(х+:., т)йг(т. (2) Нэггсгг Дифференцируя Сг по одной из переменных х, а именно хи получим П,= ~ Л(х+ т)бс,~=- ~ У(х+:-, т):.,д~. (З) 1 гг гг < гг "Гг г гг = гг Следовательно, Я(у(х, г)х,]= ~ у(х+с, т)(х,+сг)иго= гг «г гг д =х,К(х, г)+гол (х, г)=х,а(х, г)+г д ~ л(х, р)с(р=о;а, о где В; — линейный оператор, действующий на функцию д'(х, г). Применяя такое же рассуждение к функциям хсГ" вместо у и повторяя этот процесс многократно, мы для любого полинома Р(хн ..., х„) сможем найти гинтеграл от функции Ру по сфере ралиуса г с центром в точке (х, О); он дается формулой Я (Рй = Р (О,,..., О„) а и, следовательно, он известен, если известна функция К.
Мы также имеем (» — лр <тг где т 1ггге — (г) — х)э. В силу полноты полиномов Р на сфере функция г (Ч т)+г(пг =) (т — тГга (, .)я) (5) а, следовательно, и четная часть функции у однозначно определяются по иавестным величинам Р(Ог, ..., В„)у'). Теперь мы отметим следующий важный факт. Чтобы вычислить оператор О,д для любой системы значений хо, ..., хо, го, доста- ') Тот факт, что функция (5) имеет особенность при к=0, не влияет на справеллнвость этого вывода. Мы только должны сгладить функцию (5) в некоторой окрестности сферм ~ т — х,'= г н выбрать в качестве полиномов Р последовательность, равномерно стремящуюся к этой сглаженной функции.
749 В 77, Мпогооараэия непространственного типа точно знать среднее значение я (х, г) функции 7 (х, 7) для 0 (г (те, и ~чр ~(х,. — хе)' ( еэ т=1 где число е сколь угодно мало. То же самое справедливо относительно вычисления Р(Е)н ..., О„)я для всех полиномов, Отсюда следует, что значения я в облзсти, определяемой неравенствами (Б), однозначно определяют четную часть функции 7 во всем шаре и ~~т, 'Сх э„.е)2+ 72 ( сэ или ~=г Г Это, в свою очередь, однозначно опрелеляет интеграл от я(х. Г, г) по любой сфере с центром на плоскости 7 = О, лежашей внутри той сферы, где известна функция 7, если (7) Рис.
59. Таким образом, мы показали следующее. Функция д однозначно определяепгся во всем двойном конусе (7) своими значениями в цилиндрической области (6) произвольной толщины е (см. рис, 59). 2. Приложения к задаче Коши. Мы рассмотрим ультрагиперболическое уравнение и Х „=Х „+ „, в котором мы выделяем переменную х„,,=7 и предполагаем, что н) 2, но не считзем обязательным, что 1=а+1. Мы попытаемся найти решение, задавая его значения на плоскости Г = О.
Пусть при г = 0 заданы и (х, у. О) = ф (х, у) и и,(х, у, О) = 9 (х, у). Мы рассмотрим начальные значения в некоторой области пространства х, у, причем предполагается, что у находится в некоторой области О пространства у, а х изменяется в пределах малого шара ~~ (х.— хр) (е (9) г=! в пространстве х. Область, в которой авданы начальные значения, является, таким образом, „произведением" малого шара в простран- 750 Гл, Л. Гиперболические уравнения со многими переменными стве х и произвольной области О в пространстве у. Рассмотрим решение и как функцию х, 1, зависящую от параметра у. Тогда наши заданные значения ф позволяют определить интегралы от и по таким сферам в пространстве х, 1, центры которых хр 1 удовлетворяют условиям 1=0, Х (х — 0)2 (е2, г=! а радиусы не больше, чем радиус го наибольшего шара с центром в точке у пространства уи который целиком лежит в области О.
Для и)1 это непосредственно следует из теоремы о среднем значении й 16. Если и(1, то зта теорема о среднем значении позволяет сначала найти только интегралы и-пш ~ ~ и(х, 1)(г2 — 12 — ~~ х2) г(хг11. !=! Г по любому шару Ре в пространстве х, 1 с радиусом г (го и цени тром хы ..., х„. 1=0; здесь ~ (х,— хо)2 (22. Если мы обозначим чч 1=! интеграл от функции и по сфере радиуса г через г(г), то написан. ный выше интеграл приобретет вид Г ~ У(р)(г2 — ре)! "' е(р, о Но это выражение известно для г (го; тогда 1(г) также однозначно определится для г (го. Это получается из приведенных ранее рассуждений (см.
й 16) с помощью решения интегрального уравнения Абеля. Таким образом, наше утверждение доказано также для 1) и. В силу п. 1 четная функции и(х, у, 1)+и(х, у, — 1) однозначно определится во всем шаре и У, (х, — хо)2+ 12 ((го)2 г=! по заданным значениям е). Аналогично, четная функция и,(х, у, !)+и,(х, у, — 1) определится через !р, Отсюда сразу следует, что и(х, у, Г) определяется однозначно. В частности, прн 1=0 начальные значения и(х, у, О) определяются в шаре и Х (х, — хо)2 ((го)2 г=! 17.
Многообразия непространственного типа 751 начального и-мерного пространствз йю и мы, таким образом, получаем замечательный результат, Если начальные значения решения и ультрагиперболичесссого уравнения (8) известны для у из области !с и х из произвольно малого шари ~чл,(х! — х',)' (ег ! 1 (см.
и. !), то начальные значения однозначно определяются всюду в больисем исаре ~ил~ (х хо)г ( (го)з с=! где го определяеспся так же, как и ранее. Вследствие этого нельзя произвольно задавать началысые значении и(х, у, О). х, Рис. 61. Рис. 60. Например, если при данном и для дифференциального уравнения кап+с!7,,— и — ин=0 задаются начальные аначения и(у,, у,, х, О) в тонком цилиндрическом диске ()! уо)2+(у уо)2 ( аг ) х хо) (а то значения и(ун у,, х, О) а рпоп' однозначно определяются в области ~/(у! — уо)г+(у — уо)г+ ~ х — хо'! (и, ограниченной двумя конусами (см.
Рис. 60). 752 Гм РА !'илгрболи сеские уравнения со многими переменными Аналогично, рассмотрим волновое уравнение иг> — и».». — сс„„— сси = О, (12) но переменим в нем роля пространственной переменной у и временной переменной 1. Если функция и(у, хн хг, Е) задана в тонком цилиндре > = 0, (х — хо)г+(х — хо)г < гг, ~у — уо~.< а, образующие которого параллельны оси у, то начальное значение и (у, хн х,, 0) сразу олцозначио опрелоляотся в ограниченной двумя конусами области )>>(х — х!)"- — ! (е хо)г ) )у уо~ < а (см.
рис. 61). Та!!им образом, но плоскости непространственного типа невоз.!!ажно произвольным образолс задавать начальные значения для решения волнового уравненвя. В случае общего уравнения (8), если начальные значения но>с, у, ..., у,; х,, х„, 0) заданы для ь »ч.' >у уо)г аг з' сх хо)г < гг 1=! !=! то они а рпоп известны в области г ~ (у уо)г+ ~чР (х хо)г < а а решение и (х, у, Г) однозначно определяется для 2~(у.— уо)г+ ~/ 2~(х — х'.)'+Рг<а, с=! с=! Для уравнения Лапласа и,» +... + и»» +. ии — — 0 (13) зто означает следующее! если решение и является четной функцией 1, то значения и(х, 0) в произвольно малолс сиаре ь Х хг < гг !=! однозначно определя>о>п значения решения в облас>пи о .»~с х,'-с- Сг.
' а' с=! нри произвольном и. 753 з И Замечания а бегуаоих волнах В частности, прн с=О значения и(х, 0) в любом малом шаре однозначно определяют начальные данные для и во всей плоскости. Это утверждение для начальных значений верно без требования четности решения. Такого результата для решений уравнения Лапласа следовало ожидать в силу аналитического характера решений, что нам уже было известно. Но в слу ~ае гиперболических и ультрагиперболяческих дифференциальных уравнений полученные выше соотношения между значениями решения на начальной плоскости не являются столь очевидными.
Действительно, эти начальные функции могут даже не быть аналити.ескими. Таким образом, при исследовании значений решений гиперболических и ультрагиперболических дифференциальных уравне. ний на плоскостях непространственного типа мы имеем дело с замечательным явлением, а именно с фуцкциямн, которые нс обязаны быть аналитическими, но значения которых в произвольно малой области определяют функцию в существенно большей области'). ~ гВ. Замечания о бегущих волнах, передаче сигналов и принципе Гюйгенса 1. Неискажающиеся бегущие волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
