Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 149
Текст из файла (страница 149)
Эти расширения понятия обычных функций основаны на принципе слабого определения, или слабой сходимости. Вместо того чтобы охарактеризовать некоторусо непрерывную фушсцию у в я с помощью значений, которые она принимает, мы могли бы с тем же успехом охарактеризовать ее с помощью множества всех скалярных произведений (г', о) для всех основных функций з класса Ь с носителем в Ву г). для непрерывных функций у это „слабое" определение эквивалентно обычному определению, если пространство Ж = л)о состоит, например, нз непрерывных функций.
Однако именно это слабое определение открывает путь для обобщения. Мы не принимаем во внимание исходное определение „функции", представленной множеством значеяий, соответствующих различным точкам х, и вместо этого рассматриваем значения скалярных произведений (г', со) для обычных основных функций ю как исчерпывающую характеристику символа функции у. Чтобы ввести „функцию" у как символический множитель в скалярном произведении, следует прежде всего дать соответствующее определение скалярного произведения (у, 2), т.
е. определение, в котором не предполагается, что функция у известна из каких-нибудь других соображений. Наши трн определения слегка отличаются одно от другого именно способом, какиы опреде.чяется это скалярное произведение. ') Как указывалось выше, эти определения не дескриптивные. э) Мы напоминаем, что термин „основная функшся, сосредоточенная в у', означает, что носитель этой функции лежит в у; .функционал А [Э[ определен в,У" означает, чго основные функции у, я которым он применяется, должны иметь носитель в б. Скалярные произведения (у, й) всегда относятся к основной области г.
Можно также дать такое определение: некоторый функционал имеет носитель з б, Если Он Обращается в нуль двя всех основных функций, равкых нулю в,У. 168 Прилозгенее и гл. У1 Как было сказано выше, глазная задача — установить неограниченную диффереицируемость в расширенном множестве Я обобщенных функций и представить общий линейный функционал в виде скалярного произведения, Три определения опираются на а) линейные дифференциальные операторы 1,; б) слабые пределы непрерывных функций, в) общее понятие линейных функционалов. В каждом случае мы должны дать определение только для некоторой конечной замкнутой подобласти Я* области ,9, а затем его моэкио легко распространить на области г, содержащие су*.
Для краткости мы будем предполагать, что области Я, Зг* (и т. л.) прямоугольные'). Как мы увидим в п. 6, обобщенные функции образуют линейное пространство, т, е. суммы и линейные комбинации обобщенных функций снова являются обобщенными функциями. 2. Определение с помощью линейных дифференциальных операторов. Для любой пары сопряженных линейных дифференциальных операторов Т. и г" .порядка г с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами в некоторой замкнутой подобласти,~' области ~ и лля любой непрерывной — или даже кусочно-непрерывной — функции В' в,~* мы обозначим символом у' = Л ! йт] некоторую обобщенную функцию в Я* и приладим смысл этому символу с помощью такого определения скалярного произведения: (1" Т)=(~!)У! Т)=((Уг Т'(Т!) (!) где основные функции м принадлежат С, и имеют носитель в т".
Два таких линейных оператора г'. и М порядков соответственно г и з для обыкновенных функций Ж' и Г определяют одну и ту же обобщенную функцию у' в сг', если для всех Т с носителем в гт* имеем (йт, й' (т!) = (У М' !Т!). Если, кроме того, операторы М и М", а также функция )г, определены в некоторой области,'7, содержащей,7*, то с помощью символа М (Ц обобщенная функция у распространяется т) иа Гу. Если такая обобщенная функция у определена для всякой замкнутой подобласти открытой основной области Я, то считают, что обобщенная функция у определена во всей основной области Я. ') Так как другие замкнутые области можно покрыть кубами, то ие возникает существенных трудностей, если допустить более общие области.
Но лля наших целей не стоит преодолевать даже мелких связавных с этим затрулненнй. ') Для более широкой области может оказзться, что индекс з больше, чем г. тб9 б 7. Обобщенные Функции Это определение а), которое является перефразировкой определения, данного в гл. ч'1, Э 4, основывается на тождестве Грина (1Р', 0(41) =(7 )-1(Уг1) справедливом для обычных функций Ж', принадлежащих С', ввиду того, что носитель функции у лежит в,т*.
Снова подчеркнем, что имеет смысл говорить об обобщенных функциях только после того, как дано независимое определение скалярного произведения. Особое значение имеют сопряженные операторы б 1)Р)= В'йг; (. 1;1 = ( — 1)!и В'. Ясно, что в случае одной переменной х послсдовагельные производные 0''йг = г' некоторой непрерывной функции (уг являются обобщенными функциями, которые в силу определения а) характеризуются скалярным произвелением (1), где Л .= 0' обозначает дифференцирование по х.
Для любого числа и переменных х и любого индекса в производная В'у = В'Л (И'1 определяется с помощью линейного дифференциального оператора глГ = 0'Ь. Предположим, что операторы Л и 0" имеют бесконечно дифференцируемые коэффициенты; тогда легко видеть, что обобщенные функции можно неограниченно дифференцировать. Предположение о коэффициентах не является существенным, ибо, как мы увидим в п. 5, любая обобщенная функция у' из,"(' может быть представлена в специальном виде у' — В''йт с непрерывной „порождающей функцией" )Гг и достаточно большим индексом г. Мы добавим следующее важное замечание: очевидно.
что скалярное произведение (у, !7) является г-непрерывным линебныл! функционалом над основными функциями !у с носителем в,7'. Можно применить это определение к примерам, рассмотренным в З 1. Для случая одной переменной х через .а'(х) мы обозначим функцию, равную а" (х) при х ) О и нулю при х к.. О; тогда дчя оператора Е=Вз и функции ))т =.хг/2 мы имеем Ва))г = й (х), где 5 обозначает дельта-функцию. Или, в очевидных обозначениях '), С для 1Р(х)= — ч! .(х — х,)т мы имеем 2 1=1 Вз)Р .=! ') Здесь используется обозначение: (х — х,) при л > х„, (х — х,)' = О при х(х„.— Прим.
ред, 770 Приложение к гл. р! если только х,-ь:ю при ч — ьээ. Здесь область Д вЂ” вся бесконечная ось х. Есл!! значения х" сходятся к некоторому пределу, например к 1, то в кз!естве сГ мы возьмем открытый интервал — ! ( ( х ( 1. Для мы не можем построить обобщенную функцию с помощью одного оператора !г' с фиксироваш<ым г во всей бесконечной области,Я, 1 1 — со ( х ( + со, но для интервала сг*, — — — г ( х ( †, + г, 2 2 мы имеем соответствующее выражение й'" В'=ь'(х — 1)+о' (х — 2)+ ... +Ь(х — г). Конечно, все эти обобщенные функции остаются неизменными в любом фиксированном подинтервале,г*, даже если г возрастает неограниченно.
Читатель легко может привести другие примеры, иллюстрирующие введенные выше понятия. 3. Определение с помощью слабых пределов. Мы рассмотрим последовательность функций ум непрерывных в основной области сг. Мы предположим, что для некоторой замкнугой подобласти ау' и для основных функций !7, сосредоточенных в (у", скалярные произведения стремятся к нулю при п †а и ! — э оо при условии, что г-мзксимум-норма функции у ограничена. В таком случае мы будем называть последовательность У„ слабо г-сходни!ейся в Гу'. Теперь мы поставим в соответствие такой последовательности слабый предел при п — ьсо: у =!!ш гк и зададим зту обобщенную функцию / в гу с помощью следующего определения скалярного произведения. (2) (г', р) =!!!п(г"„, с7).
Часто это определение б) оказывается применимым с одним и тем же г для всей основной области у. Но для общности надо допустить случай, когда при расширении области гу* индекс г можно заменить ббльшим индексом, ослабляя таким образом требования на сходнмость г"„. Таким образом, мы определим обобщенную функцию ! во всей основной области Я как почти слабый предел функций ~„, непрерывных в 7, предполагая, что для каждой замкнутой 8 2.
Обебк!еккые функции 771 подобласти еу' существует такой индекс г, аля которого последовательность )„является слабо г-сходящейся в г". Надо снова подчеркнуть, что из слабой г-сходнмости последовательности функций !'„ в гу* следует слабая г'-сходимость для любого г' > г, так кзк требование слабой г-сходимости более сильное, чем требование слабой г'-сходимости при г' г. Наиболее сильным видом слабой сходнмости является нуль-сходимость, т. е. слабая сходимость в том случае, когда предполагается только ограниченность !!9(!. В противоположность этому почти слабая сходимость во всей основной области гг определяется с помощью менее сильного требования, которому удовлетворяет гораздо более широкий класс последовательностей г"„'). Очень важен следующий факт: слабый предел (г", 9) в 7г* является г-непрерывным линейным функционалом от аа).
для всей основной области ау предел (г", 9)=!!ш(гл, 9) является почти непрерывным линейным функционалом от ч в указанном выше смысле. Заметим, что при в=1 дельта-функция 8(х) является слабым пределом (при г =О) функций 5„(х), определенных в 9 1, п. 8, и, конечно, также слабым пределом любой последовательности функций 7"„, которые стремятся к нулю вне отрезка хз( !/и, неотри1м цательны, н для которых ~ Уках-ь1.
-хк 4. Определение с помощью линейных функционалов. Третий вариант в) определения обобщенных функций возникает, если мы переменим роли выводов и предположений в определениях а) и б) и дадим следующее определение. Каждому линейному функционалу А (9), который является г-неврерывным или только почти непрерывным в основной области Я, мы поставим в соответствие обобщенную функцию 7, просто определяя скалярное произведение как (3) Это значит, что для допустимых основных функций о, сосредоточенных в некоторой замкнутой подобласти ~' области ку, в которой функционал Л(7) г-непрерывен, соотношение (3) является слабым определением функции Г".
') Между прочим, люжко было бы ввести слабую г-сходилшсть также и хлк отрицательных индексов г; но для наших целей мы бы ничего ие получили из такого определения. ') См., иапрнмер, 7!юстерии к Л. А. н Соболев В. И., Элементы функционального анализа, М. — Л., 1951, % 24, стр, 193, 194, а так ке Г е л ьфанд И.
М. и Шилов Г. Е., Пространства основных н обобщенных функций, М., 1958, стр. 67, 68. — При.к, рад. 772 Приложение к гл. Р) б. Эквивалентность. Представление функционалов. Все три определения, приведенные выше, эквивалентны. Прел<де всего, как уже указывалось, определения а) и б) позволшот определить функционалы (г", у), обладающие свойством в). Кроме того, из определения в) легко выводится определение б). Это лещ<о видеть, если, например, ааписать, что в соответствии с формулой (9) из Э 1, п. 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
