Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 152
Текст из файла (страница 152)
Аналоги шь1м образом легко можно обобщить и другие формулы интегрального исчисления. ф 3. Операции над обобщенными йзуннцимми Введение обобщенных функций может показаться очень сильным расширением обыкновенного анализа, Но в классе обобщенных функций люжно производить не все операции классического анализа, Таким образом, преимущество, возникающее за счет возможности неограниченного дифференцирования, отчасти теряется в силу того, что теряется свобода при умножении функций и образовании сложных функций. Не совсем верно даже то, что обобщенная функция нескольких переменных становится обобщенной функцией меньшего *псла переменных, если некоторые из этих переменных принимают постоянные значения в области определения. Не проводя систематического исследования выигрыша и проигрыша в области анализа, мы в этом н следующем параграфе подчеркнем несколько основных пугктов. 1.
Линейные процессы. Если в некоторой замкнутой облзсти Я' мы положим У'=7)'Ф', где )Ь' — кусочна-непрерывная порождающая функция, то мы легко можем установить следующее: линейная комбинация таких г-непрерывных обобщенных функций с обычными достаточно гладкими функциямн в качестве коэффициентов снова является г-непрерывной обобщенной функцией. Если порождающая функция )Р' обладает непрерывными производными по параметрам з, то и обобщенную функцию можно дифференцировать по этим параметрам.
Например, для функции г" = = 6(ах), где а некоторый вектор, мы имеем Г„, = хго'(ах). Аналогично, интеграл от обобщенной функции можно дифференцировать по параметрам под знаком интеграла, ес.чи справедливы сделанные выше предположения относительно функции В'. (Сравните с прнмерамн в гл. т), Э 15.) Если кусочна-непрерывные порождающие функции Ф'„стремятся к некоторой кусочно-непрерывной функции %', то в смысле слабой г-сходимости мы имеем 0'%'я = у„ — ~ ( = О'Ф', Э 3. Операипи над обобщеннымн фкнкпллма 783 В соответствии с этим мы можем почленно дифференцировать ряды или менять порядок предельных переходов, таких, например, как дифференцирование по различным параметрам.
Что касается интегрирования, то мы сошлемся на й 2, п. 8, 2. Замена независимых переменных. Мы напомним, что обоб. щепные функции можно локализовать в прямоугольных областях, или вообще в областях г' с гладкой границей, просто аа счет изменения исходной кусочно-непрерывной порождающей функции )г', а именно, продолжая )г' за пределы у ' тождественным нулем, Поэтому прн ввелении новых переменных у вместо х с помощью формулы х=д(у) мы могкем ограничиться достаточно малыми областями у".
Мы предположим, что переменные х как функции переменных у в Я' обладзют непрерывными производными, например, до порядка г, и что якобиап д(у)!д(х) отграничен от нуля, так что обратное преобразование обладает той же гладкостью. Тогда в области 9' функция у =Кнп гл преобразуется в обобщенную г-непрерывную функцию переменных у. Это почти сразу следует из второго определения обобщенной функции 7' с помощью г-сходящейся последовательности непрерывных функций г"„; при этом надо брать основные функции о с носителем ~~*. Действительно, производные от основных функциИ ~7 по переменным у порядка г'.(г ограничены через производные ~7 по х вплоть до порядка г'. Но в силу й 2 обобщенная функция Кшу'„от переменных у определяется как Кш(~„, ~7). Отметим как следствие наших рассуждений, что обобщенные функции 5 одного переменного, введенные в гл, УК й 4, являются также обобщенныии функциямн и переменных х.
Без дальнейших пояснений можно показзть, что для дифференцирования сложных обобщенных функций, построенных с помощью допустимых преобразований координат, сохраняются обычные правила анализа. Однако надо отдавать себе отчет в том, что наши утверждения относительно преобразований координат н сложных функций основаны на том, что преобразование задается с помощью достаточно гладких функций.
Особенно следует подчеркнуть тот факт, что понятие обобщенной функции от обобщенной функции лишено смысла. Кроме того, хотя можно построить обобщенную функцию от гладкоИ обычной функции, понятие обычной функции от обобщенной функции не имеет смысла. Даже такие простые операции, как возведение обобщенной функции в квадрат или перемножение двух обобщенных функций одного и того же переменного х, недопустимы. В этом заключается основное огрзничение в анализе обобщенных функциИ. 3. Примеры. Преобразование дельта-функции. Самые важные конкретные примеры касаются дельта-функции. Как ле~ ко видеть, Приложение к гл. И 784 для постоянных а, д и одного переменного х мы имеем 8(ах — б)= — 3(х — — ) (а~О). 1 ! б! а (, а) Вообще, для некоторой функции р(х), такой, сто р'(О) УьО, а р (0) = О, на достаточно малом отрезке Я', содернсасцем начало координат, мы имеем 3 (р (х) ) = (р' (0)) е (х).
Предположим, что гладкая функция р(х) имеет нули в точках ао а, ..., ак, ..., что либо число т этих нулей конечно, либо о стремится к бесконечности и что дчя всех ис мы имеем р'(а )т'=О. То~да легко установить, что е(р(х))= ~ (р'(а,)1 8(х — а,). В частности, мы имеелс (см. также, например, гл. Ус!, 6 15, п. 5) 8(х' — а ) =- — (8( — а) — 8(к+ а)). 2 (8) В качестве упражнения читатель может истолковать и доказать формулу е (5!и х) =,ьг ( — 1) 8 (х — су).
(4) Заметим также следующее: дельта-функция является однородной функцией порядка — 1 относительно переменной х (аналогично функция 8(х) в случае и измерений однородная порядка — и). Соответственно для одной переменной мы имеем соотношение хб'(х)+ 8(х) = О. (5) Что касается перехода к полярным коордкнаигаж в случае и-мерной о-функции, то общие формулы из и.
2 неприменимы в окрестности начала координат. Тем не менее часто применяемую формулу 3(х) =— 1 Ь(! х|) (6) ,х~к — 1 (а„обозначает площадь поверхности и-мерной единичной сферы) можно обосновать; при этом опираются на тот факт, что су(0) есть выражение для функционала ) ) 8(х)о(х)дх. Однако надо учитывать, что, строго говоря, получение выражения (6) для и-мерной функции Ь(х) требует некоторого изменения наших определений; иа- 1 пример, вводится требование, что ) у (х) 8 (х) дх = —, сг (0).
2 З 3. Операции вад обобтенныжи функцияии 4. Умножение и свертка обобщенных функций. Хотя, вообще говоря, произведение двух обобщенных функций г'(х) и д(х) не имеет смысла как общее понятие, произведения вида у'(х)д(у) двух обобщенных функций, зависящих от разных совокупностей нвзависиллых переменных х и у, согласно нашему определению являются обобщенными функциями 2п переменных х н у. Действительно, если, например, г'(х) =О„'[Р (х), а я(у) =ОгЬ'(у), то в очевидных обозначениях мы имеем ф (х) д (у) = О,О~ИГ.
(7) Для обобщенных функций г" (х)=О'[р' и д(х)=-О'р от одного и того же переменного х всегда имеет смысл свертка'), если только один из двух множителей, например й'(х), имеет ограниченный носитель; в результате свертывания двух функций получается новая обобщенная функция гч(х). Для непрерывных функций у н д свертка определяется формулой Р'(х) = у+д=д ллу' = [ ~ ф(х — ч)а'(с)йч= =Г3 у(л)й( — ')й(, (8) причем мы предполагаем, что основная область интегрирования ,У вЂ” все пространство х.
Для обобщенных функций У(х) =О"„'йг(х) и д(у) = О' [с(у) свертка определяется формулой Р(х) =У+ д =- О'О'([Р н [), где Ф' и Л' — непрерывные функции и ~' имеет ограниченный носитель. (Важность понятия свертки следует из того, что свертка возникает при представлении решений дифференциальных уравнений с помощью фундаментальных решений, а также из того, что всякая функция есть рвзультапл свертки вялой функции с дельта-фуякцигй.) Важным свойством оператора свертки является его перестановочность с дифференцированием.
Многие важные применения свертки связаны со следующим очевидным фактолн любой линейный оператор с[и(х)[ можно представить как свертк) (с[и(л)[, й(х — с)); следовательно, уравнение с[и(х)[=О эквивалентно формальному интегральному уравнению [и([), ь;й(х —,л)) = О (О) относительно и. Если ллы теперь будем аппроксимировать обобщенную дельта- функцию и ее производные соответствующпллн гладкими обычными функциями, то мы получим аппроксимацию функционального уравнения ь [и) = О с помощью обычных интегральных уравнений. (Мы отсылаем к выходящему третьему тому атой книги.) ') По-ненецкн .Гацнпя". Приложение н гл. е'Г 2 4.
Дополнительные замечания. Модификации теории Н Введение. Как указывалось выше, имеются различные возможности для обобщения понятия функции. Такие модификации играют важную роль в математической физике; они интересны также с чисто теоретической точки зрения'). В этом параграфе мы вкратце рассмотрим некоторые из этих модификаций. За исключением примера в п. 5, оии касаются того, как влияют на поведение обобщенных функций во всей области Д краевые условия, нли, скорее, условия на бесконечности, налагаемые на основные функции. Нам будет удобно рассматривать комплекснозначные функции Г. д, э, ф и определить скалярное произведение обычной формулой 2. Различные пространства основных функций. Пространство Ь.
Преобразования фурье. Хотя для целей этой книги пространство фннитных основных функций представляется вполне удовлетворительным, иногда бывает полезно рассматривать несколько более широкие классы основных функций (и тем самым несколько сузить,двойственное" пространство обобщенных функций), без существенного изменения определений и методов б 2, 3. В частности, если в качестве основной области Я взять все пространство х, то можно рассматривать пространство Я основных функций р, которое состоит из функций, принадлежащих С и таких, что они и все их производные стремятся к нулю на бесконечности быстрее, чем любая степень )х~. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
