Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 147
Текст из файла (страница 147)
Таким образом, представляется, что наш реальный физическиИ мир, в котором основой связи являются звуковые и электромзгнитные сигналы, выделяется среди других, с математической точки зрения возможных моделей особой простотой и гармонией, Однако в любой гиперболической системе, по крайней мере приближенно, сохраняется резкость сигналов в смысле обобщенного принципа Гюйгенса (см.
8 !5, п. 3). Поэтому этот обобщенный принцип важен для понимания передачи сигналов с математической точки зрения. Это становится особенно ясным, если учесть, что справедливость принципа Гюйгенса в лучшем случае является весьма неустойчивым свойством дифференциального оператора; это свойство нарушается сколь угодно малым изменением коэффициентов оператора. Поэтому нам кажется, что обобщенный принцип Гюйгепса надо рассматривать как правильное отражение физической реальности. ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ ~'7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ИЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ф 1. Основные определения и понягпия 1. Введение.
В этом приложении мы рассмотрим понятие „обобщенной функции" ') или распределения. Применение этих обобщенных ') Противоречащий пример для пространства семи измерений был недавно построен Штельмахером 11]. ') Адамар отождествлял справедливость принципа Гюйгекса с равенством нулю логарифмического члена в его выражении для фундаментального решения с нечетным числом л пространственных переменных. В нашеИ интерпретации принцип Гюйгенса означает, что ряд (44) з ья 15 не содеригит членов с функцией Хевисайда н ее интегралами.
') Термин,распределения" указывает, чго обобщенные функции, такие, как дельта-функция Дирака н ее производные, могут быль истолкованы как 7чй <. Основные определенна п лонлгнл функций в предыдущих главах будет обосновано здесь с более общей точки зрения. Необходимо понимзть. что слово „функция" может означать вектор-функцию с й компонентами. Рассматриваемые ф> нкции могут принимать комплексные значения, но независимая переменная х всегда есть действительный и-мерный вектор. Многое из того, что составляет содержание этой теории, уже давно играло взжную роль з физической литературе и некоторых других работах ').
Но систематическое изучение этого вопроса началось только с момента выхода обширной книги Лорана Шварца [1]; этой теории посвящено множество работ '); некоторые из них явлено идут в направлении изучения тонких вопросов з). В этом приложении внимание сосредоточено на элементарных основах теории в той мере, в какой это необходимо для проведенного здесь исследования линейных дифференциальных уравнений.
Мы опускаем подробное рассмотрение обычно излагаемых приложений к теории преобразования Фурье (см., однако, 9 4, п. 4). 2. Идеальные элементы. „Распределения" удобнее всего вводить как идеальные элементы в функционалы<ых пространствах. Одним из основных математических построений является расширение данного множества или „пространства" о некоторых математических объектов с помощью дополнительных новых „идеальных элементов", которые не являются элементами исходного множества 3 и определяются не дескриптпвно, а с помощью некоторых соотношений, таких, что в расширенном множестве 5 сохраняются прен<ние правила для основных операций.
Целью этого расширения является снятие ограничений, налагаемых на элементы исходного множества 5. Так, например, в проектнвной геометрии идеальные элементы, а именно „бесконечно удаленные точки", определяются пучками параллельных прямых. В других случаях идеа.чьные элементы вводятся с помощью пополнения исходного множества Б по некоторой норме; распределения масс, днполей и т. д., сосредоточенных в точках, на крнвых нли на поверхностях. Однако термин .обобщенные функции' кажется более соответствующим той роли, которую играет э<о понятие в связи с дифференциальными уравнениями и с математическим анализом вообще. Лейс<вптельно, роль обобщенных функций аналогична роли обычных функций, почти так же, как роль действительных чисел аналогична роли рациональных чисел.
') Например, стоят обратить внимание на статью Соболева [1], которая намного опередила теперешний поток литературы. ') См., например, < ельфанд н Шилов [1]. Следует упомянуть еще вышедшую недавно небольшую книгу Лзйтхнлла, где особое внимание обращается на теорию преобразования Фурье. Книга Лайтхнлла отчасти продолжает раб<ну Темпла, См. Лайтхнлл [2] н Теипл [Ц, а также литературу, цитируемую в этих работах. ') См., напрпл<ер, серию работ Эренпрейса [1]. Приложение к гл.
И 760 при этом используется „сильный" предельный переход. Например, действительные числа определяются как') сходящиеся последовательности рациональных чисел г„, такие, что норма [г„— г [ стремится к нулю, если л и ш стремятся к бесконечности. Функции, интегрируемые по Лебегу, или функции, интегрируемые с квадратом, тзкже можно определить с помощью последовательностей непрерывных функций у„[к), для которых в соответствующих областях прострзпства к интегралы ( [у„—,ум[Их или ~ [у„— ум['г[х стремятся к нулю, Функции в гильбертовых пространствах — это идез,аьные элементы, заданные как последовательности достаточно гладких функций у,, для которых основная положительно определенная квадратичная форма О[ге — у' ) стремится к нулю.
В этих примерах расширенное пространство 5 — полное, т. е. его нельзя расширить, пополняя по той же самой норме. В противоположность этому данное ншке определение обобщенных функций не будет введено путем пополнения по некоторой норме т). Обобщенные функции вводится для того, чтобы рзсширить область применения элементарного анализа за счет снятия весьма стеснительных условий дифференцируемости. Выделение операций над обобщенными функциями как особого рода объектами вместо использования приемов, свойственных тем или иным разделам анализа [это впервые было проделано Лораном Нлварцем [1]), оказалось весьма плодотворной идеей; более того, рассматривая эти обьекты как „функции", можно существенно упростить некоторые рассужденияз), которые в противном случае были бы очень сложными. Для целей этой книги достаточно ввести обобщенные функции [как в гл.
Н1, 5 4), применяя линейные дифференциальные операторы к непрерывным функциям и задавая некоторые правила действий над ними. Однако полезно привести два других определения и доказать ') Часто желание дать дескрнптивное определение идеальных элементов приводило к таким логическим вывертам, как утверждение; „Действительное число есть дедекиндово сечение в множестве рациональных чисел". По-ви. двмому, мало что мо нно выиграть, пытаясь заменить определение идеальныя объектов с помощью соотношений леснриптивиыми определениями. ') Это,слабое определение". Надо, однако, заметить, что для обобщенных функций можно дать также „сильное" определение с помощью сходи- мости по некоторой норме [см, замечание ниже, в ф 4, и. 4). Связь между слабым и сильным расширениями и их эквивалентность была указана Фрндрихсом [4]. ') См., например, Гельфанд и Шилов [1].
Получаемые таким путем фор. мальные упрощения не должны создавать иллюзию, что тем самым устраняется самое существо свойственных этому вопросу трудностей; трудностй эти только изолируются и выясняются. Часто подлинная трудность переносится на последний этап задачи, когда надо понять, в каком смысле результат, полученный в терминах обобщенных функций, можно выразить с помощью обычных функций. З И Основные определения и понятая 761 эквивалентность всех трех определений.
Прежде чем сделать это (в 3 2, п. 3), мы напомним и дополним некоторые обозначения из гл. Н1. 3. Обозначения и определения. Пусть даны два вектора у, з; мы будем считать, что у < з, если одна нз компонент вектора у меньше, а остальные не больше, чем соответствующие компоненты вектора з, Как и в гл.
Н1, э 3, через г мы будем обозначать вектор с а целыми неотрицате чьными компонентами гп ..., г„, а через !г!— сумму г, + ... + г„; иногда мы будем писать ( — 1)' вместо ( — 1)"!. Иногда мы будем через г + 1 обозначать вектор с компонентами г,+1, и т. д. Кроме того, г-ьсо означает, что все компоненты вектора г стремятся к бесконечности.
Как и в э 3, мы положим г1= г,! га!... г,!. Для любого вектора 1 в п-мерном пространстве 1' определяется как произведение 1,' 1зо... ";„. Через 9", ГУ',,7* мы будем обозначать прямоугольные') области в пространстве х, например область — а ( х, < А или все пространство. Обычно через г, гт ' и т. д, мы будем обозначать соответствующие замкнутые области. Скалярное произведение (К, И) двух функций К и И, как обычно, определяется как интеграл от функции аИ по основной области Д, которая может совпадать со всем пространством. Череа й"=В,'~ ... В„'л мы обозначим оператор дифференцирования, причем О, обозначает д/дх,; через (л, мы обозначаем соответствующий оператор лпфференцирования, если хотим подчеркнуть, что независимым переменным является вектор я. Иногда полезно обозначать операторы интегрирования символами 0~, В ' и т.
дл при этом не всегда будут указываться нижние пределы соответствующих, интегралов. Через С' (или С ) мы будем обозначать пространство функций ф, для которых производные 0'ф (или Оеф при всех р) непрерывны, или по крайней мере кусочно-непрерывны. Наконец, мы напомним определение максимум-нормы ((Т!), соответственно г-максимум-нормы ),'р!1, для функции о в области гг'! она равна верхней грани в области су модуля (Т), соответственно модулей всех производных ~В о~ при г' ~ г. 4. Повторное интегрирование.
Пусть я — точкз-параметр в прямоугольнике у, скажем 0 ( х, ( 1; в области х и. л пространствах, ') То, что область й прямоугольная, удобно, но несущественно. Приложение и гл И которую мы обозначим Е, положим еу, (х; е) = а (х; л) = — —, (е — х); 1 вне этой области положим и,(х; х) = О. Тогда дчя любой непрерывной функции й(х), которая обращается в нуль на Е прп больших значениях [х[, мы положим 0(е)= — ~ ... ~ е),(х; е) й(х)йх; (2) согласно элементарным правилам анализа, мы имеем Пе"л а(в) =- уг(з), 6. Линейные функционалы и операторы.
Билинейная форма. Напомним общее понятие линейного функционала Л [ее], который определен для функций ее(х), заданных в основной области ег и, кроме того, принадлежащих некоторому линейному „пространству" >ь> основных функций ее; например, а> может быть множеством функций, каждая нз которых непрерывна в некоторой подобласти П' области ,~ и равна нулю вне йу '. Основное свойство линейного функционала выражается ~ождеством Л [е>р>+ етое] = с,Л [ее>] + +е,Л [та] для любых двух основных функций и,, р п произвольных постоянных с, и е,.
Отаода в предположении непрерывности функционала (см. п. 6) следует тождество Л [ф (х)[ = ~ Л [у (х; ()] е(;-, ф(.)=Х.(х ')"' (4) если (4') и если основная функция ~е(х;:,) непрерывно зависит от параметра ч в пространстве "„в котором ведется интегрирование. Если функционал Л [:у(х); у] зависит не только от основной функции 1е(х), но и от параметра у, то Л представляет собой линейный операиеор, илн линейное г>реобразование, Л[у(х); у]=м(у) функции ч> (х) в и (у) (иногда это кратко обозначаетсч как Л [е] = е>).
Обычно мы рассматриваем случаи, когда переменная у изменяется в пределах той же об>ласти,ф, что и переменная х. Если можно образовать скалярное произведение функции ш(у)= = Л[1>] и основной функции ф(у) над областью еу, то это произведение (о>, 'т) — Ь [>'»] = (Л [ч" [, ч>) ~ Л [т (х) у] ф (у) Иу я 763 б д бсяовиьгв ояределеяяя и понятия называется билинейной формой, или билинейным функционалом, связанным с оператором Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
