Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 150
Текст из файла (страница 150)
Так как функции йе (х — [) пршщдлежат С, то при и — «оо мы имеем Л[т]=йгп(г'„, <1), У,(х)=Л[',(» — 1)1 (4) где в соответствии с определением б). Следовательно, остается только установить эквивалентность определений в) и а). Для этого мы предполон<им, что рассматриваемый функционал (г — 2)-непрерывен ') в некоторой замкнутой подобласти П" области ,Я . Для простоты т) мы будем считать, что <7*' — куб — и ; ') Отсюда следует, что г р2 (т. е.
г<~ 2 лая <'= 1,..., а), так как предполагается, что индекс непрерывности Л[7] не отрицателен. ') Как гозорилоиь раньше, требование, чтобы области У, Я',,л"" были прямоугольныии, удобно, но не необходимо. Между прочим, лемма из 2 1, п. 7 показывает, что мы могли бы с тем же успехом исходить из предположения, что функционал Л [<7] ш-непрерывен в е/. Но мы хотим обойтись без доказательства эквивалентности, данного в лемме, и будем исходить из предположения, что в каждой замкнутой подобласти <7' области ~ функционал Л [<7] г-непрерывен при некотором значении г.
Мы напомним также следующее: если функционал Л [т] г-непрерывен в области <7', то вместо 7 мы можем брать функции ф в 77', облалающие непрерывными производными <л' ф только для г' ~~г. Такие функции <7, а также их производные вплоть до О'ф можно равномерно аппроксимировать с помощью функций <7„из С; следовательно, в силу требования г-непрерывности, значение функционала Л [ф[ можно определить как соответствующий предел величин Л [р„] при и — > оо.
Некоторая абстрактность определения в) немедленно устраняется с помощью следующих рассмотрений. 778 В 2. Обобщенные функции (хг.(1+и, где и принимает малое положительное значение, и что Я' — куб и (х,: 1, в то время как основная область г должна содержать больший куб — 2и ( х, ( 1 + 2и.
Тогда эквивалентность определений в) и а) следует из основной теоремы о представлении функционалов. Если функционал Л (гь! является (г — 2)-непрерывным (при г — 2)~ 0) в некоторой области 2т", содержащей область У', то для 7" мы можем построить такую непрерывную функцию Ф', что для всех основных функций г7 с носителем в 7' будет выполняться равенство + Л(~)=()2, Гу), (6) где + стоит вместо выражения ( — 1)г'г и где функция )Т =Л(ф) (ба) будет явно определена через указанную ниже функцьно ф, Это является свойством, указанным в определении а), в случае, когда берется простая нормальная форма 7)' линейного дифферелциа гьного оператора Л').
Чтобы доказать формулу (6) и построить функцию Ж', мы можем в Л!гу) подставлять основные функции, которые не обязательно принадлежат С, но должны быть (г — 2) раза непрерывно дифференцируемыми в у'" (см. й 2, п. 3). В частности, с помощью функций р(х; а) и о,(х; е), определеннык в й 1, п. 4 и й 1, п. 8, определим следующую основную функцию ф в г', зависящую оз параметра зг (бб) ф(х, е)=р(х; а)г), (х; л). При фиксированном значении индекса аппроксимации и и для функции уь, заданной формулой (5), выражение (г'. Ф) =)Т'ь(е) определяет непрерывную функцию (Ь'„(е) параметра е в г*; кроме того, в силу (5), предельная функция !р' (е) = ! 'нп В'„(е) = ! нп К„ф) = ! г щ (рУ'„, г7, г) = Л Щ (7) непрерывна по е. Более того, в силу основного свойства функций г7,, ') Как следствие имеем, что для любо~о дифференциального оператора ь в Я' существует. линейный оператор Т (который, по существу, -г -гз является интегральным оператором (О ь) ), такой, что для некоторого г имеем 7.Т = О".
Конечно, этот факт легко нроаернгь непосредственно, это упразднение нз элементарного анализа. Приложение к гл. П 1рн имеют непрерывные произУдт(У~ ) = р[ так и и< р — 1 указанного в й 1, п. 4, (3), функции водные вплоть до порядка г, причем в с<*, мы имеем [2'[Р„= у'„( ) (8) Наконец, мы возвращаемся к функционалу Л[р[=11<п(Ую ц<), определенному для любой функции р из С, носитель которой лежит в су'. С помощью иптегрироваюгя по частям мы получим' ) Л [<с[ =1[в(0')<"ю <у) = + 1пп(Ж'„, сл'<~).
В этом последнем выражении мы перейдем к пределу под знаком интеграла и получим Л[у[= (ж, Гр), где )Ул = Л [ф], как и утверждает теорема. Надо снова подчеркнуть, что соотношение мен<ду г" и „порождающей функцией' Ф' сохраняется, если заменить Ю' на %' + [г, где Ъ' — некоторая функция из С,, или даже некоторая обобщенная функция, для которой Е<'[г тождественно обращается в нуль. Мы отметим также следующее. Если в данных выше определениях обобщенных функций В. Некоторые выводы.
Из наших эквивалентных определений вытекают следующие свойства. Сумма двух обобщенных функций г" и гг также является обобщенной функцией. Если у' и д (г — 2)-непрерывны, то тем гке свойством обладает их сумма (г — 2 ' О). Е!роизведение обобщенной функции у' на обычну<о фу<ягсцию д пз С ' снова есть обобщенная функция. Если в некоторой области су' ') Здесь и всюду знак ж обозначает ( — 1)''( где Г' — непрерывная функция, то для порождающей функции К' существует производная В'В' в обычном смысле и сг'1Р = <'.
Аналоги <ко, если а случае определений а) или б) в области ~~' существует Е [1Ц = г' как регулярный непрерывный дифференциальный оператор, или если последовательность гн равнол<ерно сходпгпся к некоторой непрерывной функции г', то в области с<с' обобщенную функцию яогкяо отождествить с непрерывной функцией у' (см, п 8). 778 й 3. Обобщенные ейянкнни предполагается .лишь (г — 2)-непрерывность у', то произведение также будет (е — 2)-непрерывной обобщенной функцией, если д принадлежит только С, Ломализаегеея и разложение.
Хотя формально обобщенная функция 7'(х) не определяется в отдельных точках, ее можно рассматривать в сколь угодно малой замкнутой области ег*, если брать только такие основные функции 7, носитель которых лежит и Я". Кроме того, как мы покажем ниже в п. 8, любая обобщенная функция 7" может быть разломсена в сумму двух или большего числа обобщенных функциИ, каждая из которых равна нулю всюду, кроме некоторой замкнутой области, причем эти области покрывают основную область. 7. Пример.
Дельта-функция. Можно в качестве иллюстрации данных выше общих понятий привести пример дельта-функции Дирака. Для случая одной переменной х она определяется с помощью соотношения 8(х) = с)'(.х), где точка перед функцией снова означает, что для отрицательных значений независимой переменной функция равна нулю. Связанный с этой обобщенной функцией лннеИиый функционал Л (е) = (Ь(х), ср) = р(0) очевидно нуль-непрерывен. Между прочим, этот пример показывает, что зазор между (г — 2) и г в теореме о представлении п.
5 связан с существом дела, так как, вообще говоря,(г — 2)-непрерывные функционалы представляются как производные вида В'%' от непрерывной функции )Р'. В пространстве и измерений дельта-функцию 8(х) можно определить как 8(х)=ЮФ', где В'=(.х,)(.х,) ... (,х ), нли просто как произведение 8 (х) = 8(х,) 8 (х,) ... 8(х„). Эта обобщенная функция снова соответствует функционалу Л [ч7] = е7 (О). Дельта-функции и их производные (см. ниже) являются простеИ- шими обобщенными функциями; их носитель сосредоточен в одной точке О, и вне этой точки их можно отождествить (см.
п. 8) с обыкновенной функцией, тождественно равной нулю. Конечно, производные О'8 (х) определяются соответствующими производными О''~ В' от порождающей функции 1е', или как пределы производных тех функций у„, слабым пределом которых является 3. В силу естественного обобщении свойств функций )Р" или /'„мы называем 8-функцию челеной функцией: Ь( — х) = 8(х), а ее производные — попеременно нечетными и четными. Прааложение к гл. Гу 776 Мы добавим еще несколько формул, представляющих одномерную 3-фушчцию как слабый предел: а (Х) 11Ш г — хуа — ' аа а.+О ) а".а (9) ь(х) = — Ит —.
1, ма як T ааааа Х (10) Этн формулы выражают факты, хорошо известные из теории уравнения теплопроводности и рядов Фурье соответственно. Вторую формулу можно записать также в виде 2пч(х)= !пп ) енха!1 г.+оа -а или, короче (см. 9 4, п. 3), в аиде 2я3(х) = ~ гсы с(В (1!) Это есть „преобразование Фурье функции, тождественно равной единице". (Между прочим, формула (9) дает пример нуль-сходнмости, а формула (10) — пример !-сходимости.) Другое интересное представление непосредственно следует из интегра,чьной формулы Пуассона дчя функции Грина оператора Лапласа в верхней полуплоскости; очевидно, что 3-функция просто является символом для граничного значения функции Грина при у = 0: пд (х) =1!чп —,—,.
У я 0 ха+уз ' (12) ') Полезно заметить, что в наших определениях мы всегда иожел~ заменять требование непрерывности функций %' или У„более слабым требованием кусочной непрерывности. 8. Отождествление обобщенных и обыкновенных функций. Не всегда при рассмотрении отдельных задач наиболее правильным путем является применение теории обобщенных функций в максима.чьнои общности. В большинстве случаев целесообразно ограничиться более узкими, но более обозримыми классами обобщенных функций; особенно полезны бывают обобщенные функции, которые в некоторых подобластях области,Я можно отождествить с обычными функциями. Если в некоторой замкнутой подобласти П области Я порождающая функция ') %' обладает непрерывными производными вплоть до порядка г, то в области ау' обобщенную функцию 7)'Гг' можно отождествить с обыкновенной непрерывной функцией г (х).
Эквнва- 77т б 2. Обобщенные функнии лентным образом это отождествление можно произвести, если в (у * порождающая послеловательность сходится не только слабо, но и равномерно, к некоторой непрерывной функции Е(х) (или, в случае применения определения в), если последовательность Ее = Л [би (х — !)[ а 'Я* сходится к некоторой 'непрерывной функции Ее). Здесь мы сделаем следующее замечание: если область Су можно покрыть конечным числом областей;у>, сг, ..., то мы всегда можем разложить любую лопустимую основную функцию а в сумму >е = =~!>+ е,+ ... допустимых основных функций ~!н носитель которых лежит в су„; поэтому любая обобщенная функция Е в области Я является суммой обобщенных функций Е>+ Еа+ ... =у', таких, что Е„тождественно обращается в нуль вне У,. В частности, в большинстве рассматриваемых случаев мы имеем дело с обобщенными функциями у=ЕУ'[б', которые являются обычными функциями всюду, за исключением особенностей, сосредоточенных в подобласти 6' некоторой большей области 6, причем вне 6" порожлающая функция В' имеет непрерывные производные ЕУ'[е', или, что эквивалентно, порождающая последовательность у'е сходится не только слабо, но и равномерно, к некоторой непрерывной функции Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
