Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 154
Текст из файла (страница 154)
Замечание о других классах обобщенных функций. В качестве иллюстрации, поясняющей, какая степень произвола допустима при введении обобщенных функций, мы добавим следующее краткое замечание. Можно было бы определить полезный класс обобщенных функций, рассматривая на границе, например на границе единичного круга, значения функций, гармопичесних внутри (или, вообще, рассматривая граничные значения решений некоторого эллиптического дифференциального уравнения). Этн граничные значения могут не существовать в обычном смысле; они вводятся в качестве идеальных элементов через задание аналитической гарлгоничасной функции внутри.
В 9 2 мы заметили, что дельта-функцию можно было бы таким обрадом определить через граничные значения функции Грина. Однако, как читатель легко может увидеть на примерах, граничные значения гармонических функций и вовсе не обязаны быть обобщенными функциями в смысле 9 2 или предыдущих пунктов этого параграфа'). С другой стороны, этот новый тип обобщенных функций обладает свойствами, которые позволяют применять их в анализе как полезное орудие. Если вместо гармонических функций в единичном круге мы рассмотрим регулярные аналитические функции комплексного переменного г = х + !у, мы получим некоторые дополнительные преимущества, например возможность естественным образом определить произведение и фуннцию от обобщенной функции. ') Например, в полярных координатах р и 0 в единичном круге р < 1 ряд и = ~ЧР~ а,р' соз чз, 1 где а„ = е ", дает функцию, гармоническую при р < 1; однако норма гз~ЧЛ~ ~ а, ~~т т' не сходится ни при каком целом значении г (си.
и. 3), в то время как рял для и равномерно сходится для О ъ р < ! — х с любым х > О и является гармонической функцией. 792 Приложение к гл. р! Несмотря на достоинства теории, изложенной в этом приложении, сделанное выше замечание указывает на необходимость дальнейшего изучения других, менее исследованных возможностей обобщения понятия функции с помощью введения некоторых идеальных элементов.
Ценность всех этих понятий должна измеряться не их формальной общностью, а той пользой, которую они могут принести в широкой области анализа и математической физики. БИБЛИОГРАФИЯ Атман, Дуглис, Ниренберг (Адшоп 5., (тони!(в А., Ы(геп. Ьегя 1..) [!] Ейипа1ев пеаг Гпе Ьоипбагу Рог во1иИопв о1 еРИрИс рагИа( йПегепИа( айна!топь заИв1у(пи яепега( Ьоипдагу сопбИ!отта, 1, Солтятипк Риге апт( Арр!. Ма!Л., 12 (1959), 623 — 727. (Русский перевод: Лг мои С., Дугл и с А, Н н р е н б е р г Л., Оценки вблизи гранины решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях, НЛ, М., 1962.) Адамар (Набатпагб 3) [1] ЕЧиа1юпз аих лег!чее* рагИеИев. Без сопйИопз т(еИп!сь еп яспега!.
Ье сав ЬурегЬо!Чие, Елзетупелтеттт гчай., 35 (1936), 5 — 42. [2] 1.е ргоЫетпе бе Саисйу е1 )ев ециаИопв аих бег!чеев рагИеИев Ипеа!геь !турегЬоИщиев, Неппапп, Рапв, 1932. [3] Рвусо(ояу о1 !пчеп!юп (п Гпе та!ЬешаИса! Ие1й Гхтчег, Ыечт уог1т, !954. Александров А. Д.
(1] Задача Дирихле для уравнения йе1]! г„!! = тр(гь ..., г„г, хь ..,, х„), Вестник Ленингр, ун-та, серия мат. мех. и астр. 1: 1 (1958), стр, 5 — 24. Альфорс, Беро (ЛЬ(1огз Ь., Вета Ь) (Ц )!(ешапп'в тпарр!пя Гнеогсш (ог чапаЫе тпе1псв, Алл. о( Маут., 72 (!960), 385 — 404. Ароншайн (Агопвга!и Ы) (1] А иптйие сопИпиаИоп Ьйеогегп 1ог во!иИопв о1 ербрИс рагИа! йИегепИа) ейиаИопв ог (пейиаГИ(ев о1 ьесопб огбег, 7 т(е т)та(М, 36 (!957), 235 — 249 Асгейрссон (Авяе!гввоп (..) [1] Зове Мп1в оп Ниуиспв' рппс(р1е зпб Набатпагйв соп]ес!иге.
Сотншиты. Рагс алт( Аррт. Л!атЛ, 9, )тт 3 (1956), 307 — 326. [2] ОЬег еюе МИ1е1тчегЫенйепьсйаИ чоп Ьовипяеп Ьотпояепег Ипеагег раг. ИеИег ОИ(егепИа)я1е(сйипяеп 2. Огбпипя тпИ 1топв1ап1еп Кое(Иг!еп!еп, Марь Алл., 113 (!936), 321. [3] С!>ег М!Ие!тчег16!е(сйиттаеп, йе тпейгегеп рагИеИеп ОИ(егепИа1я!е!сйипясп 2. Огбтшпи гийеогдпе! япй 51ийев апд Еььаув, 1п1егвс~епсе, 1чеш Уогйч 1948, рр. 7 — 20. Библиография Базер н Флейшман (Вагег 3., апб Р)е)ьсйгпап О) [Ц РгарабаИоп о( веа1г Ьудгота8пеИс 8(ьсопИпий!еь, Кер.
)чт МН-!О, !пьИ1Ые о1 МайептаИса! Бсгепсеь, Хегч уогй Оп!чегьйу, 1959. Банах (ВапасЬ 5) [Ц ТЬеог!е без ОрегзИопь )лпеа!гев, %а!ватт, 1932. (Украинский перевод; Б а н а х С., Курс функп!онального анап)зу, Киев, 1948.) Беккенбах и Лгкексон (ВесйепЬасЬ Е. Р., апб )асйзоп 1.. К) [Ц 5иЬшпсИопь о1 ьечсга! чапаЫеь, Рап[й !. Ма!Ы, 3 (1953), 291 — 313, Бергман (Вегйтап 5) [Ц (лпеаг орегайгь !и 1Ье йеогу о1 рагИа! сИПегепИа! ециаИопь, Тгапд Аш. Май. Бос., 53 (1943), 130 — 155. Берковни и Лакс (Вегйогч!1г Е, апб Еах Р. О), [Ц РипсИопь о1 а геа( чапаЫе.
То Ье риЫ1вйеб Ьу )чИеу, 14егч Уог1с. Бернштейн (Вегпз1е1п 5) [Ц 5ш 1а па1иге апа!УИщие беь ьо!гй!опз бе сег1а!пеь ециаИопь аих бепчеез рагйеИеь би ьесопб о!Иге, Май. Аии., 59 (1904), 20 — 76. Берс (Вега 1..) [Ц Ап оиИ1пе о1 йе йеогу о1 рьеибоапа]уИс 1ипсИопь. Вий. Ат. Май. Бос., 62 (1956), 291 — 331. [2] Ьес!игеь оп еРИРИс ейиаИопь.
5шптег 5епипаг !п АррИеб Майе- таИсь. !1п!чегзИу о1 Со1огабо, Вон!бег, Со1огабо, 1957. Еес!игеь !и АррИеб Майеп!аИсь, Чо1. 1Ч, 1о Ье риЫийеб Ьу ]п1егьс!енсе, Хегч уогй. [3] Ма1ЬетаИса] аьрес1ь о1 ьиЬьоп!с апд 1гапьоп!с 6аь дупапись. %0еу, Хегч Уогй, 1958. (Русский перевод: Берс Л., Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, ИЛ, М., 1961.) [4] Ь]оп-Ипеаг еИ1рИс ейиаИопз ччИЬои1 поп-Ипеаг епИге ьо!и!юпь, !. Яаг!. Месй.
Апа!., 3 (1954), 767 — 787. [5] КеьиИь апд сопгес1игеь 1п йе тайегпаИса) йеогу о1 ьиЬьоп!с апд 1гапьотс Каз Пои ь, Сотгггиаь. Риге ааб Арр!. г!(а!М, 7 (1954), 79, Берс н Гельбарт (Вега й, апд Ое)Ьаг( А) [Ц Оп а с1аьз о] йпсИопз бсИпеб Ьу рагИа1 8И]егепИа! ейиа1юпь, Тгаль, А их Май. 5ос., 56 (1944), 67 — 93.
Берси Ниреиберг (Вега 1., апд Ы!гепйег9 1..) [Ц Оп а гергеьеп1аИоп йеогет 1ог Ипеаг ейрИс ьуь1етз чАй дйсопИпиоиь сосИ!с!епй апб Иь аррИсаИопз, Сопчебпо 1п1егпаг!опа)е ьиИе ЕйиаИоп) Ипеап' аИе бсИча!е рагг1аИ. Ебибоп1 Сгетопеье, Коте, 1955, рр. 111 — !40. [2] Оп Ипеаг апб попИпеаг еП!рИс Ьоипдагу та)ие ргоЫегпь !п йе р1апе, Сопчейпо 1п!егпаг)опз!е зиПе Ейиагбоп! бегйа(е рагг!аИ, ЕМВоп! Сгстопеье, Конте, 1955, рр.
141 — 167. Библиография 795 Б и р к г о ф, К е л л о г (В 1 г 1с Ь о 1 1 О. $)., К е 1 1 о д д О. П) [1] 1пчаг!ап1 ро(п(в $п 1ипсИоп ьрасе, Тгалв. Аш. Ма№. 5ос., 23 (1922], 96 — 115. Б ох не р (Восй пег 5) [1) (гог!евипбеп 6Ьег Гоипегвсйе 1п(еяга!е, Айабеш(ьсйе Чег(а3вбеь., !.е(рю2, 1932. (Русский перевод: Бох нер С. Лекция об интегралах Фурье, Фиаматгиз, М„1962.) Боярский Б В [!] Обобщенные решения снстемм дифференциальных уравненнй первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффипиентами, Матея. сб.
43 (85), № 4 (1957), 45! — 503. Брело (Вге1о1 М) [!] Ьес1игев оп ро(епИа1 йеогу, Та1а !пьИ(и(е о( Гипдашеп(а1 $(евеагсй, Вопгьау, 1960. Б у х в а л ь д (В и с Ь тч а 1 б Аг. Т ) [1] Е1аьИс шачев $п во!во!гор(с шейа, Ргос. $(ор. Зос. Еопг(оп, 5ег. А, 2а3 (1959), 563 — 580. Бур гатти (В игна1$! Р) [1] Яи!1' ейепйопе бе! ше(оде й!п$ебгазюпе й К(ешапп а1Г ег(иаз]оп$ Ипеай б'огйпе л соп бис чанаЬИ! (пберепбеп(й Репй гааге ааспб.
Ипсег, Вег. 5а, 15, № 2 (1906), 602 — 609. Вайнштейн (Аре!пь(егп А) [1] Сои!отша) гергеьеп$аИоп апб Ьуйгобупаш(св, Ргосееб]пбв о( йе Р(гь! Сапайап МайсгпаИса! Сопнгевь, $945, Оп!четв!(у о1 Тогоп1о Ргевв, Тогоп1о (1946), рр. 355 — 364. [2] Тпе 2епега(шеб гайаИоп ргоЫегп апб Еи1ег-Ро!ььоп-Оагйоих евана($оп. 1пвт!(и1о ВгаьИе$г бе Ебисавйс, С(епс)ае Си!$ига, !955, рр.
!26 — 146, [3] Тйе ше(йоб о1 ах!а! вупипе1гу |п рагИа( 6$ПегепИа( ег(иа((опв, Сопченпо рйегпаг$опа1е ьиПе Бамах!оп( 1(пеаН аПе Вегьчай РагйаИ, ТПеь!е (!954), рр. 86 — 96. Ебпйоп! Сгешопеье, Коша, $955. В е й л ь ( тт' е у 1 Н ) [1] АиьЬге((ипн е(ей(гошанпеИвсйег %е()еп 5Ьег е(пегп еЬепеп ).е(тег, Апл. Рйргй, 5ег.
4, 60 (1919), 481-500 [2! О!е )бее бег й!егпаппьсйеп Г!асйе, 3. АиП., ТеиЬпег, 5№11даг1, 1954. В е й т и н е р (уг' е ! 1 г п е г Н.) [1] Оп йе Огееп'ь йпс1!оп 1ог Ичо-йшепйопа] ванне(ойубгобупаш!с гчачеч. ВиИ, Алг. Рйрв. 5ос., 5сг. 2, 5 (1960), 321. Векуа И. Н. [1] Обобщенные аналитические ф)нкпни, Фнзматгиз, М., 1959. [2] Новые методы решения эллиптических уравнений, $ остехиздат, М., 1948 796 Биб гиограу!ия [3] Системы дифференциальных уравнений первого порядка зллиптнческого типа и граничные задачи с применением к теории оболочек, Матея. сб., нов. сер,, 31, Нг 2 (1952), 217 †3, Винер ((ч' 1 е и е г Х.) [Ц Сег|а!и побопз |п ро!епба! 1Ьеогу, У Май, апг( Рйуз., 3 (1924), 24 — 51. [2] ТЬе О!псЫе1 ргоЫегп, Л Ма!й.
апг( Раук, 3 (1924), 127 — 146. В и н т н е р, Х а р т и а н (!ч' 1 п 1 п е г А., ада Н а г 1 пт а п Р.) [Ц Оп ЬурегЬоВс сВИегепба| ейнабопз, Ат. У. Май., 74 (1952), 834 — 864, Вншик М. И. и Ладыженская О.А. [Ц Краевые задачи для уранненнй а частных производных и некоторых классов операторных уравнений, УМН, Х1, ЬЬ 6 (1956), 41 — 97. Вольтерра (7о)1егга !71!о) [Ц 8нг 1ез ЫЬгаВопз без согрз е!аь194нез Во1горез, Асга Май., 18 (1894), ! 61 — 232. Гамель (Нате| О) [Ц Е!пе Вава аВег ХаЫеп нпд сВе нпз!е1!неп Ьозопнеп бег Рппй(!опа!. и!е!сйпп8 [(х+ У) = [(х) + [(У), Май.
Апп., 60 (!905), 459 — 462 Гарабедян (ОагаЬеб!ап Р) [Ц Раг!1а| сВПегепба| ейнабопв. То Ье рнЫ!айса Ьу )У1]еу, Ыетч Уогй. [2] Раг1|а! 6Шегеп!|а| ейнабопз тчВЬ тоге 1Ьап Вчо )пберепбеп! чапаЫез !п (йе сотр|ех боташ, У. Май. апа Месй., 9 (1960), 241 — 272. Г а р а б е д я н, Л е в и, Ш н ф ф е р (О а г а Ь е б ! а п Р., Ь е гч у Н., апг! 8сЬ! 11ег М) [Ц Апа!1у вупппе1пс сачйа1!она| Погч, Ап~.
о[ Л1а(й., 8ег. 2, 56 (1952), 560 — 602. Гарабедян, Либерштейн (ОагаЬеойап Р., апб Ь|еЬегз 1 е 1 п Н. М. ) [Ц Оп 1Ье пщпепса| са|сп1аВоп о1 бе1асйеб Ьочг зйосй гчачез Ы Ьурегзоп|с 1!отч, У, Аегопаи| Бо'., 25 (1958), !09 — 118. Гель фа нд И. М. [Ц Некоторые вопросы теории квазилннейных уравнений, йгМН, 14, 2 (1959), 87 — 158. Гсльфанд И. М. и Шилов Г.Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
