Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 153

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 153)

е. таких, что ~х(н )ф -ьО, ~х)'» ~о'рг( — ьО для всех г, независимо от того, насколько большим выбрано число гч'Я). В пространстве основных функций Ь скалярное произведение (Ф', р) определяется как обычный интеграл по ~, т. е. по всему пространству х, от произведения В'у; оно имеет смысл для всех функций %'. непрерывных в Гу, для которых существует положительная постоянная М, такая, что ( Ф')Нх) ~ — ь 0 при ~л( -+со и Ж ) М; другими словами, для функций В', которые на бесконечности растут не быстрее некоторого многочлена. В соответствии с определениями й 2 мы можем тогда для любого целочисленного индекса г ввести обобщенные функции (2) ') Ср., например, Берновиц и П.

Ланс [1). ') Например, пространство всех функций из С, которые вместе со своимн пронзводнммн имеют на бесконечности порядок не выше в ~, принадлежит Ж. З 4. Модификации теории 787 и опрелелить скалярное произведение 7 и ц~ с помощью соотношения (у, ф)=( — 1)1 1 [ [рВ ~ах (3) Очевидно. что любая обобщенная функция, определенная таким образом над пространством основных функций Я, является также обобщенной функцией над пространством ат финитных основных функций в смысле определения из $ 2.

Однако обратное не всегда верно'). Пространство основных функций Я полезно при построении итеории преобразования Фурье, переводящего функцию Л'(х) в функцию й(х)= ), ~К([)е' ' [=У(х). (4) ,У Если функция д принадлежит Я, то, как легко видеть, ее цреобралозанне я тоже принадлежит Я и мы имеем полную взаимность преобразования Фурье: л(х)= 7'(х), 7'(х)=л(х), (5) и с помощью преобразования Фурье пространство Я взаимно однозначно переводится в себя. Отметим важную формулу Парсееаля (У э") =(У з') (6) нли ~ Я Нх = ~ Я(х) Ых; (ба) ') Рассмотрим, например, обычную функцию У = ет. Ее можно интерпретировать как обобщенную функцию над пространством Й, так как ее скалярное произведение с любой фннитной функцией т получается с помощью обычного интеграла.

Но над пространством Ж это определение непригодно, так как, например, функция т = е " является допустимой основной функцией из пространства Ж, а скалярное произведение у н т не существует. ') По поводу этого широкого обобщения преобразования Фурье см. Бохнер [1) и Шварц [1[. У Я ее легко доказать для функций у' и а, принадлежащих классу Я, так как соответствуюгцие интегралы по х быстро сходятся. Теперь мы можем дать удовлетворительное определение преобразования Фурье 7" функции 7", не обязательно принадлежащей пространству Я, но определенной формулой у' = От[К [см. уравнение (2)[; это значит, что мы определим преобразование Фурье для обобщенных функций у над пространством Я, возникающих при дифференцировании функций Ф', растущих на бесконечности не быстрее некоторого многочленаа).

Приложение к гл. П 788 Сначала мы снова напомним, что если ~р принадлежит Ь, то о =р также принадлежит Я, и наоборот. Затем мы применим формулу Парсеваля (б), но не как теорему, требующую доказательства, а как слабое определение функции ~'. Мы положим (8) при этом мы принимаем во внимание, что правая часть равенства заранее известна в силу (3) и равна + (В', ЕР'р). Поэтому преооразование Фурье полностью определяется с помощью скалярных произведений (3), если ф и р пробегают все пространство Я. Это определение г может служить отправной точкой для более глубокого изучения теории преобразования Фурье.

Почти сразу можно установить следующий важный факт. Преобразование Фурье функции О'Е есть ( — Гх)'у при любом индексе з; вообще, для любого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами Е (Д=~ а Е)РЕ преобразование Фурье есть Р где Р— полином ч'.,а ( — Гх)Р, связанный с дифференциальным опе- Р ратором Е (см. гл. ПГ, прил.

!, 8 2). Мы не будем проводить дальнейших рассмотрений и отметим только, что замечания о том, что функция 8(х) и функция, тождественно равная единице, являются друг для друга преобразованием Фурье, легко укладываются в эту теорию. 3. Периодические функции. Часто бывает полезно ограничиться периодическими порождающими функциями Гй' и периодическими основными функциями р, обладающими одинаковым периодом, например 2к, очносительно всех переменных х,.; основной областью Р служит область 0 к..лг ( 2я.

Тогда, применяя комплексные обозначения, мы возьмем в качестве пространства Гг' основных функция пространство, натянутое на тригонометрические функции е-"" = еп где ч — вектор с целыми компонентами. Обобщенные функции, определеннью формулой Е=Е)'Ж', мы также будем называть периодическими (см. определение в 8 2). Кроме того, с помощью некоторого видоизменения определения 8 2 мы можем допустить в качестве порождающих функций Гй' функции с интегрируемым квадратом.

С помощью этих модификаций мы избавляемся от усложнений, связанных с граничными условиями аля бесконечных областей. Для дифференциальных уравнений, заданных в конечной области, часто можно периодически продолжить коэффициенты и решения за пределы 789 Э 4. Л!одификаяии теории рассматриваемой области, не теряя при этом общности '), Таким образом достигается возможность применения простых методов. Как обычно, мы определим коэффициенты Фурье а„ функции В' формулой а,=(нг, с,)= ) и'е-г'гдх; (9) вдесь и далее мы будем предполагать (в действительности без ограничения общности), что коэффициент ао, т.

е. постоянный член в разложении Фурье, обращается в нуль. Тогда мы получаем теорему Парсеваля в виде [[[Р [[з (!гг [гг) ~ [[Тг[здл,го и', [а [з (9а) Для обобщенных функций г =0"1Тг мы определим скалярные произведения в соответствии с 9 2 формулой (у', ~ч)=+((Т', 0"о). Это позволяет определить коэффициенты Фурье с, обобщенной функции у =0'йг как с, = (г, т,) = (О'%', о,) = + (!ч)'([Р', ср„) = + (!ч)' а,.

(9б) Аналогично мы можем рассмотреть интегралы 0 [Ь' и их коэффациенты Фурье д,= + (Гч) 'а„=(0 '(!г, р,), (1О) причем всегда предполагается, что постоянный член равен нулю. Формула Парсеваля (9а) наводит на мысль о том, что через обычную норму %" можно определить норму порядка г для 0 [Р' и порядка — г для 0'!Тг; это делается следующим образом: ( 0 Ж'![,=,[О гуг [!, =![Ю'[[ = я ~ [а„[з, (11) Во всяком случае, коэффициенты Фурье обобщенной функции так же, как и коэффициенты Фурье обычной функции, дают „конкретное" или „явное" представление Г". Обобщенная периодическая функция у' представляется последовательностью чисел с, для всех аначеннй индекса ч (предполагается, что со — — О), такой, что существует фиксированное число г, для которого ряд (12) ') Такой искусственный прием с успехом применял П. Лакс в работе [б); затеи его применяли и другие.

[Этот прием был применен ранее в работе Петровского [5[. — Приди ред.[ сходится; тогда числа (гч) 'с, = а, являются коэффициентами Фурье неноторой функции В' с интегрируемым квадратом. Приложение к гл, )Г1 Конечно, можно определить и явно производить все операции над периодическими обобщенными функциями, опираясь на это представление. 4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Негативные нормы. Сильные определения. В й 2 и выше в п.

2 мы вводили обобщенные функции у с помощью, слабых определений", т. е. с помощшо „скалярных произведений" с функциями и, принадлежащими пространству З; обобщенные функции У' рассматриваются как элементы „двойственного пространства' так же, как в проектигной геометрии есть двойственное соответствие между плоскостями и точками, которое устанавливается через скалярное произведение их координат.

Очень интересно' ), что можно опредеделить обобщенные функции также с помощью .сильных определений', через пополнение всюду плотных множеств гладких функций г некоторой норме гильбертова пространства. На такой метод опираются основные операции в классическом прямом вариацнонном исчислении; этот метод с успехом применял П. Лаксг) и другие. Здесь мы дадим только его краткое описание. В случае периодических функций, рассмотренных в п. 3, ситуация очень проста. Сначала в гильбертовом пространстве периодических функций ггг с нормой ~)Ф'(! мы рассмотрим всюду плотное множество функций Уе', обладающих производными вплоть до порядка г; затем мы построим непрерывные функции О'уе' = у и пополним это множество в норме !) Ж'~(. Таним образом, в это полное гильбертово пространство мы включим в качестве идеальных элементов пределы у и назовем ~~В'~~ = ~~у~~ г негативной нормой у' порядка — г.

Ясно, что для периодических функций эти нормы и соотношения между ними такие же, как те, что даны в п. 2. Во всяком случае, негативные нормы позволяют дать сильное определение идеальных элементов череа замыкание по некоторой гильбертовой норме. Легко видеть, что идеальные элементы, полученные с помощью сильного определения, по существу эквивалентны идеальным элементам, ранее построенным с помощью „слабых определений". Предположение о периодичности совершенно несущественно для этих рассуждений.

Для функций Ф' и Г", задашгых во всем пространстве х, мы могли бы рассматривать основные функции иа пространства Ж, а функции Ф' — из гильбертова пространства, полученного пополнением пространства финитных функций из С в норме,()у'~). Тогда для любого индекса г пополнение йе приводит к гвльбертову пространству обобщенных функций 0'Ю' =у с негативной нормой ') См., например, применение к построепню решений краевых задач еарнацнонными метоламн (т. 1И). ') См., например, П. Ланс [6). 791 Э Е Модифинании теории ! у '1 , = (, ,'Ж"!.

Заставляя инлекс г пробегать все значения и объедгшяя все определенные таким образом идеальные элементы, мы приходим н определению обобщенных функций, по существу (но не полностью) эквивалентному определению, данному в $ 2. Более ясную аналогию с определением через коэффициенты Фурье в случае периодических функций, нонечно, дает теорема Парсеваля (6) для интегралов Фурье. 5.

Характеристики

Список файлов книги