Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 151
Текст из файла (страница 151)
Часто это точечное множество 6* состоит из изолированных точек, кривых и т. д. Функции ЕУ'%' в этих точках могут иметь особенности в обычном смысле слова, но если мы будем рассматривать Е как обобщеш>ую функцию, то эти особенности будут учтены только в операциях, установленных дчя обобщенных функций (определяемых через скалярное произведение); вне множества 6* нет необходимости подчеркивать обобщенный характер функции Е>'Ж'. Именно так в Э 4, гл.
1>! мы действовали с сингулярной функцией 8(~), особенности которой сосредоточены на многообразии ') ~! = О и которая является обобщенной функцией одной переменной >е. Мы снова привелем некоторые функции В' олной переменной х имеющие изолированную особенность при х = О, и их производные: х 1оц[х [ — х, ЕЖ =1оа [х[, Е)э[Ус = —, Е)з[б'= — —,; 1 з 1 х ' х' ' 3 1 3 1 .
(х!пах — х), ЕУЮ'=.[пах, ЕУ-'Ж'=. —, Е)з1>а = —. —,; ' х' 'х'' ха О%'=.ах'-', Е>М =.а(а — 1) х"-з, ... (О ( а < 1). В тех точках, где имеется особенность, интерпретация этих выражений как обобщенных функций существенно отличается от их интерпретации как обыкновенных функций. Обобщенным функциям при ') Не надо путать с обозначением 1> для осиовнык функций. 773 Приложение к гл.
И х = 0 не прпшнсывается никакого бесконечного зпачен>ш; наоборот, слабые определения сгла»швают влияние осооенностей (см. п. 9). Согласованность этих определений становится ясной из рассуждений п. 5. Как следствие мы легко можем получить такой результат. Обобгцеикая функиия 7 с носителем в одной точке, ка>гр>>мер в начале координат, является линейной комбинацией дельогаФункции и ее производных до некоторого порядка. Действительно, как легко видеть, построение, проведенное в п, 5, дзет для 7' в качестве порожлаюшей функции Ф' полипом степени меньшей, чем г, в „положительной" части пространства х,.
) О, 1= =1... „и, в то время как вне этой части пространства х функция !р' тождественно равна нулю, В самом деле, вне малого квадрата б), > )х>( (е функции 7', при этом построении обращаются в нуль; поэтому Ж'„(е)=0 для значений з вне полуоси е>) — е, так как для каждой точки е в скалярном произведении %'в(х) =(ут ф), определи>он>ем В'„(е), обращается в нуль один из сомножителей. Кроме того, для е>)~0 множитель ф(х; е) является полиномом относительно в степени меишпей, чем г.
Так как Вп(е) — + Ф'(з), мы получаем соответствующее утверждение относителыю !>г(е). Следовательно, Ж'(х) есть сумма одночленов вида (.х >)....х 1, где г', ( г,— 1, или г' ( г — 1, причем некоторые из показателей г',. могут равняться нулю. Очевидно, что то слагаемое из Еу'В', которое получается с помощью применения оператора Й' к этому од~очлену, содержит произведение произволных 0", (..,')" =О '1),1д'>(. 7 = ~'Ъ>(>х). Это произведение с точностью до постоянного множителя можно записать в виде 7)'5(х), где в=г — г' — 1 — неотрицательный индекс, т.
е. система неотрицательных целых чисел. Складывая то, что получается в результате дифференцирования отдельных одночленов, мы получим нужный результат. Мы дадим другой вариант доказательства этой последней теоремы, где не используются построения ив п. 5. Мы предполагаем, что функционал (г', р) обращается в нуль для всех основных функций ч>, которые равны нулю в некоторой окрестности начала координат и имеют непрерывные производные 7) су при г' ( г.
Тогда мы докажем, что значение (у,~р) для произвольной функции ~7 зависит только от значения ~7 и се производных гл р в начале координат, или, что то же самое, (г", ~>) обращается в нуль, если функция >р и указанные ее производные равны нулю в начале координат. Мы положим а = 1. г>(х)=Р(х — 2; а)+Р( — х — 2; а) н р„=Я(пх)~, где Р— функция Р(х; а) из $1, п. 8, При и-ь со функции ри и их производные 779 й 2, Обобщенные сйуккцки порядка меньше г равномерно стремятся к с и к соответствующим производным о. Следовательно, так как (7, ь) есть (г — 1)-непрерывнып липейнып функционал от ~7 и (у, ок) =О, мы имеем (7', ()= =1пп (7, ~7к) = О, что и утверждалось. Поскольку (7, <() зависит к +со то.чько от значений конечного числа производных с в начале координат, этот функционал должен быть линейной комбинацией значений этих производных, Но это и есть утверждение нашей теоремы.
9. Определенные интегралы. Конечные части. Теперь мы перепдем к „определенным интегралам от обобщенных функций". Представление Г = В')Р' сразу позволяет придать некоторый смысл перво- образным функциям или неопределенным интегралам В '7 от некоторой обобщенной функции 7'=В'Ф'. Их можно было бы просто определить как функции В'В ')г' при з г.
Из п. 8 мы видим, какова степень неопределенности первообразной функции. Чтобы перейти к рассмотрению определенного интеграла от обобщенной функции г =В'(Р' по области О, мы в этом пункте ограничимся функциями Г', которые всюду, за исключением некоторой замкнутой подобласти О* области О, являются обычными гладкими функциями, причем они непрерывны вплоть до (гладкой) границы Г области О. Мы получим следующий результат. Для таких обоби<енных функций сохраняетсл соотношение зсежду первообризной функцией и определенным интегралом, т. е.
основная теорема интегрального исчисления. Сначала мы рассмотрим функции г" одной переменной х и возьмем в качестве О интервал — 1 < х < 1; мы предположим, что функция В'%' = г' непрерывна в некоторой окрестности концов х = 1 и х = — 1. Какое значение 2 мы должны приписать символу 1 у'(х)дху Чтобы получить ответ на этот вопрос, мы рассмотрим -1 основную функцию со тождественно равную 1 в О (следовательно, все ее производные равны нул1о на границе 6); далее она произвольным образом продолжается на область О = йу — 6, дополнительную по отношению к О, так, чтобы она была финитноп.
Интегрируя по частям, мы получим +(У. ~)=+1(;Вт).х= ~ К В9бх= о- о ы= — 1' 1 )ТсВ'~д~ = Й ( уВ'%д +В ~Ф'~~ о б причем — ' скова обозна шет ( — 1)'. С другой стороны, мы должны, 780 Приложение к гл. Л естественно, иметь 2=(/, и) — ~ У~о!(х. Таким образом, мы поп лучаем следующий результат: интеграл по интервалу 0: ха<1 от обобщенной функции / = О'Ф'.
регулярной в концах интервала, определяется равенством У (х) г/х = 0г-!%'( ~,'. -! (13) д()'Ф' а'х = — 1 Таким образом, интеграл от обобщенной функции сводится к граничным членам и к интегралу от непрерывной функции (г' /)г-!д. г! В качестве примера мы вычислим интеграл /= ~ (1/х!)йх, где — 1 1/х! мы будем понимать не как обычную функцию, а как обобщенную функцию — О'1оК(х(. Так как ВФ'= — 1/х, мы сразу по- лучаем 1 —,йх= — 2. х! -! Другим примером будет служить обобщенная функция, определенная формулой у = — 4/лт(.хт1). За исключением особенности при Точно такая же формула связывала бы определенный и неопределенный интеграл в случае обыкновенной функции /. Между прочим, для случая к=1, т. е, для обобщенных функций вида 7"=В", зтот результат справедлив также тогда, когда функция Ж' не дифференцируема на границе. Эта формула (13) для значения 2 была введена Адамаром в качестве конечной части интеграла от функции г" и была основным орудием в его тонких исследованиях залачи Коши (см.
гл. т!1, й 15). Конечно, аналогичная, но несколько более сложная формула получится, если мы будем рассматривать подинтегральное выражение вида у'=4(й'1Г, где д(х) — регулярный г-непрерывный множитель. Хотя функцию / такого вида можно свести к рассмотренному выше случаю, мы применим прямые рассуждения по образцу только что проведенных, последовательно интегрируя по частям.
Получится слелующий результат; 4 2. Обобстг нные фпннянн 781 х = О, эта функция равна нулю для х С О, а для х ) О отождествляется с х-'Ь. Интеграл по интервалу — 1.~ х (1 можно вычислить с.чедующим образом: н1 1 — 4 ~ ЕР(.х'й)Фх= ~ х "г(х= — 2; ! в в результате получается „конечная часть" сингулярного интеграла. Для и переменных также можно получить результатьп аналогичные основной теореме интегрального исчисления. Например, таким результатом является интегральная формула Гаусса, если подпнтегральная функция составлена из обобщенных функций, которые прелставляют собой первые произволные непрерывных функций; в частности, если подннтегральная функция является дивергенцией некоторого непрерывного векторного поля, то будет справедлива формула Гаусса, известная нз классического анализа.
Если же подинтегральная функция у' = О'Ж' получается в результате лифференцирования более высокого порялка, то, как говорилось раньше, мы ограничимся тем случаем, когла обобщенная функция 0'Гтг, или, по крайней мере, одна из и функций О, ВЪ' является непрерывной функцией в окрестности гладкой границы р области интегрирования 6, для которой 8 — вектор внешней нормали, а с(Я— элемент поверхности. Мы будем пользоваться теми >ке обозначениями 6, 6* 6, как и раньше, и возьмем функцию ~, равную тождественно единице в 6 и продолженную на дополнение 6 = гУ вЂ” 6 произвольным образом, но с сохранением условий гладкости и финитности.
Так как функция у = О'гг' определяется с помощью ее скалярных произведений на основные функции и так как все производные нашей частной основной функции обращаются в нуль в 6 и на Г, то мы имеем право ввести интеграл функции у' по 6 иа основании следующих соотношений, не требующих пояснений: (У. 8) = ~ ~ ~ фУК г(х= ~ ~ ~ Удх+ ~ ~ ~ фУКдх= ана а а = + ~ ~ ~ В'0'~г(х=Т ~ ) ~ ТО'В'дх+ б а - "1Р "'~)«"' г Таким образом, мы должны подожить ~~~У х=~~(Р, 'В'и')~;бз; Лряложенпе я гл. Рг 782 подчеркнем присутствие, индекса Е Можно получить симметричную формулу, введя символический вектор А с компонентами А, = = г); й Ж'. Тогда получится формула Гаусса ~ г(1т А г(х = ~ ~ А; 'г(8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
