Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 146
Текст из файла (страница 146)
Термин „волна" в этой книге применялся в совершенно общем смысле для любого решения гиперболической задачи г), но существу|от некоторые специальные к.чассы воли, представляющие особый интерес, например „стоячие волны", представимые в виде произведения функции зрел[ели на функцию пространственных переменных. В этом параграфе мы хотим выяснить значение другого такого класса — бегущих волн, которые рассматривались для дифференциальных уравнениИ с постоянными коэффициентами в гл. 1П и для более общего случая в 3 4 этой главы.
Это понятие является основным в теории передачи сигналов и главным предметом изучения в теории гиперболических дифференциальных уравнений. Для краткости мы будем рассматривать одно уравнение Л [и[=0, В соответствии с гл. 1!1, 3 3 мы определим семейство неискажиющихсн бегущих волн как с мейство решений уравнения (.
[и[ = О, зависящее от произвольной функции 5(ф) и имеющее вид и=5(ф(х, г)), (1) где 5 называется формой волны, а ф(х, () — фиксированная фазовая функция пространственных переменных х и времени Е = ха. ') Сьь Джон [3), где другим ме~одом получены даже более сильные результаты для общих линейных уравнений с аналитическими коэффициентами. ') Чтобы ие было недоразумений, термин .фронт волны" мы постоянно сохраиялн для позерхносией разрыва, не удовлетворяющих исходному дифференциальному уравнению, зо связанных с характеристическим уравнением первого порядка. 764 Гл.
И. Гисербилические Краеиенил си мноеими переменными Такой фазовой функцией может быть ч7(х, 1)=у(х) — ~. Решение и описывает движение неискажа|ощейся волны формы 5 в пространстве. Пользуясь произвольностью формы 5(~), мы делаем вывод, что функция у должна удовлетворять уравнению 7.[у[=О н характеристическому уравнению О(О~>=О. Первое уравнение получается, если взять 5(о)=ь; второе возникает, если положить 5 = й(~ — с) с произвольной постоянной с (см.
э 4). Таким образом, мы можем утверждать, что фазовая функция ~7 является характеристической функцией, т. е. фазовые поверхности ч7 = сопя( являются характеристическими фронтами волны. Несмотря на переопределенность р, существуют некоторые дифференциальные уравнения А[и[ = О, допускающие такив семейства нсискавкающихся бегущих волн. Например, это имеет место для линейных дифференциальных уравнений Е [и[ = О с постоянными коэффициентами, содержащих только члены старшего порядка, в частности для волнового уравнения (см. гл. П!, Э 3). Однако, вообще говоря, условия, наложенные на функцию чч несовместны. Поэтому целесообразно ввести менее стеснительное понятие семейства „онсносительно ненснажающихсн" бсзущнх волн нида (2) и = и ( х, с) 5 (р), где снова функция 5(Т) произвольна и где не только фазовая функция ~ь(х, 1), но и коэффициент искажения и имеют специальный вид.
Такие волны все еще могут служить для передачи сигналов, а мно. житель д характеризует затухание. Сферические волны в трехмер- 5 (С вЂ” г) 5 (С+ г) ном прострзнстве, например или, дают типичный г г пример такого семейства относительно неискажающихся волн. Концентрические сферы в пространстве являются перемещающимися ха» рактеристическими поверхностями постоянной фазы. Условия, наложенные на решение (2), снова сводят его к характеристическим функциям; они дают переопределенную систему дифференциальных уравнений для искажения и'. В этом легко убедиться, например, подставив решение (2) в дифференциальное урзвнение и учитывая, что из произвольности функции 5 следует обращение в нуль всех коэффициентов при 5, 5', 5", .... Следовательно. уравнение А[и[ = О имеет такие относительно неискажающиеся семейства решений только в исключительных случаях.
766 Гл. П. Гиперболические ираененил со многими переменныии Л временного типа'), заданную в виде х, =1()) с некоторым параметром Х (здесь не выделена временная переменная). Мы рассмотрим характеристический коноид с вершиной в точке ч(),) или сферический фронт волны Г(х; 1) = О.
Для заданного х мы можем определить ). как функцию х из уравнения Г(х, 1(Л)) =О; мы положим ),=у(х). Характеристический коноид с вершиной 1(ьь(х)) задается уравнением ~7(х)=сопа1, Семейство относительно неисгсаокающихся сферических волн, исходящих из кривой Л, можно тогда определить как решение и дифференциального уравнения второго порядка вида и (х) = й' (х) З Оу (х)) с произвольной функцией 5 и функцией я специального вида. По поводу этого понятия известно мало; очевидно, оно связывает сферические волны с задачей о совершенно правильной передаче сигналов во всех направлениях. Все, что мы можем здесь сделать, это сформулировать одно предположение, которое получит некоторое подтверждение в п.
3: семейства сферических волн для произвольных кривых Л временндго типа существуют только в случае двух или четььрех переменных и только в случае, когда дифференииальное уравнение вквивалентно волновому уравнению. Доказательство этого предполоькения показало бы, что четырехмерное физическое пространство-время мира классической физики обладает весьма существенными отличительными свойствами. Здесь мы только подчеркнем, что если для волнового уравнения в качестве кривой временного типа Л мы возьмем ось г и положим г'= ха+уз+гг, то мы получим такие волны с с=1 — г и д='/о Для других прямых временнбго типа сферические волны получаются с помощью преобразования Лоренца.
В случае четного числа независимых переменных и + 1 = 2ч +4 (ч = 1, 2, ...) существуют решения в виде семейств бегущих волна) высших порядков. Явные решения, построенные в Э 12, п. 4 или й 16, п. 4, уже не свободны от искажений, но все же описывают процессы распрострзнения, Что касается уравнений высших порядков, то стоит в качестве примера заметить, что ((и+!)72)-я итерация волнового уравнения для всех четных значений и+ 1, т.
е. уравнение порядка я+1 ЫЬНП ! дь т1ьЬНП Ь ~ ' [и)=1 — — Л1 и=О (дгг ') См.43, п.7. ') Обозначения несколько отличаются от применявшихся выше. 757 й 7В. Замечания о бегюцих волнах имеет неисквжаюшиеся семейства сферических волн и = 5 (! — г), и = 5 (1+ г), мотя само волновое уравнение 5 (и! = — -~ —, — Ь) и =0 не имеет таких семейств решений.
Этот факт является просто другой интерпретацией теоремы, доказанной в 3 13, п. 4. Он указывает на то, что для уравнений высших порядков суШествуют различные возможности, которых нет для уравнений второго порядка. Наконец, надо напомнить, что встречаются и играют вагкную роль оглдельные бегущие сферические волны высших порядков с конкретной функцией 5, а не обязательно с семейством произвольных функций 5 (Э 4).
В частности, фундаментальное решение из Э !5, например выражение Адамара для фундаментального решения одного уравнения второго порядка (Э 15, п. 6), представляется с помощью таких волн где 5(Г) — некоторая специальная обобщенная функция. 3. Излучение и принцип Гюйгенса. Принцип Гюйгенса несколько раз рассматривался в этой книге; он утверждает, что решение в некоторой точке 1, т зависят не от всех начальных данных в коноиде зависимости, а только от данных на характеристических лучах, проходящих через точку с, т (мы снова выделяем переменные хв —— г и 1 =т). Принцип Гюйгенса эквивалентен утверждению, что матрица излучения, построенная в 6 15, тождественно обращается в нуль всюду, за исключением лучей, проходящих через точку Ь т. В соответствии с этим мы можем утверждать, что резкий сигнал, исходящий в момент т из точки „", передается по лучам в виде резкого сигнала н не может быть обнаружен вне коноида лучей. Однако принцип не утверждает, что этот сигнал передается бгз искажений.
Для одного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами мы видели, что только для волновых уравнений с 3, 5, 7, ... пространственными переменными и для эквивалентных им уравнений справедлив принцип Гюйгенса. Для дифференциальных уравнеш1й с переменными коэффициентами гипоглеза Адамара' ) состоит в том, что эта теорема остается справедливой также и ~осла, когда коэффициенты не постоянны. Но примеры по. казывают, что эта гипотеза в таком виде не может быть полностью 1) Эта знаменитая гипотеза не была категорическим утверждением Адамара. 758 Праною наг к гл. Гг справедливоИ'), хотя в высшей степени правдоподобно, что она по существу правильна'), Вообще, вопрос о принципе Гюйгенса для уравнений второго порядка надо было бы рассматривать з связи с гораздо более ши.
рокой задачеИ о точных областях зависимости и влияния для любой гиперболической задачи (см. 8 7); эта проблема остается еще совер. шенно открытой. Что касается передачи сигналов, которые ие только остаются резкими, но и не искажаются, то в п. 2 было сформулировано предположение о том, что это возможно только в трехмерном пространстве, Для изотропноИ однородной среды, т. е. для случая постоянных коэффициентов (и для уравнений второго порядка) доказательство этого предполозкения содержится и предыдущих рассуждениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
