Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 148
Текст из файла (страница 148)
Очевидно, чго для фиксированного р это есть линейный функционал относительно ф, а при фиксированном ф — линейный функционал относительно чь Если существует линейный оператор Л*[ф[, такой, что В можно представить в виде В[со; Ф[=(ЛК!. И=И Л*[ф[), (б) то Л'" называется оператором, сопряженным к Л'). Производные н вообще дифференциальные операторы являются линейными операторами специального типа, так как онн резко локализованы, т.
е. их значение в точке зависит от значений функции-аргумента е(х) не во всей области изменения х, а только в бесконечно малой окрестности точки х = у. (Здесь такие операторы, может быть, следовало бы записывать в более развернутом ниде Л [о(у); х], где роли х и у меняются. Однако мы позволим себе применять обычные обозначения и будем просто записывать дифференциальные операторы в виде А[.я(х)[, как мы это делали всюду в этой книге.) Заметим, что, в противоположность этому, операторы дробного дифференцирования не локализованы; это сразу видно нз формул для дробных производных. 6. Непрерывность функционалов. Носители основных функций а). Раз и навсегда мы предпололгим, что основные функции и(х) непрерывны и, кроме того, что каждая из них тождественно равна нулю вне некоторой конечной области Я*, которая называется носителем; такие функции называют функциями с ограниченным носителем, нли финитными.
Мы будем иногда говорить, что функция е сосредоточена на Если, кроме того, все производные В чя прп г'ч,.г непрерывны (т. е. функция е принадлежит классу С'), то мы скажем, что функция р принадлежит классу я)„если все производные функции е непрерывны (т. е. о принадлежит С ), то функции ся образуют более узкий класс 2 или, короче, 11). Очевидно, что аг, включает Я,, если г' < г. Если не оговорено противное.
то мы будем предполагать, что ~~ принадлежит С илн Ж. Мы рассмотрим основную область гр в прострзнстве х. Линей. ный функционал Л [!я[ (и аналогично линейный оператор) называется непрерывным, если Л [у,[-» Л [у[ ') Относительно понятия сопряженного операгора см. гл. !И, приложение 1, Е 2. ') В текст этого приложения редакторои внесены пебо.вшие измене. ьия. — Прил, ред.
Прилоьеенне и гл. )т) для любой последовательности основных функций о, с носителем в произвольной подобласти Д* области У, равномерно по х сходящейся к функции о при а-ьО. В силу линейности следующее определение эквивалентно только что приведенному. Для всех непрерывных основных функций с носителем в замкнутой подобласти Э* области еу существует фиксированное положительное число 1, такое, что (Л [к[( () ((~ь((.
Менее сильное определение непрерывности можно сформулировать следующим образом. функционал Л [е[ называется т-неггрерыаным в области Я', если при некоторой фиксированной положительной постоянной ). мы имеем (Л[у[( < Хт для всех основных функций р с носителела в Я*, принадлежащих д), и таких, что г-максимум-норма ((у((, функции у ограничена постоянной т.
Очевидно, что требование г'-непрерывности функционала Л [~у] менее сильно, чем требование г-непрерывности, если г' > г. Сформулированное выше определение непрерывности при условии, что ограничена только величина ((у((, является более сильным условием на функционал Л (р[, чем г-непрерывность прн любом г ь О. Мы будем называть такую „обычную" непрерывность нуль-непрерывностью. Иногда бывает необходимо рассматривать в открытой основной области У функционал Л[о[, который г-непрерывен при каком- нибудь значении индекса г в каждой замкнутой подобласти у" [это значение г может зависеть от гу').
Такой функционал мы будем называть почти непрерывным в гу. Это понятие охватывает все важнейшие случаи. Для формальной общности иногда вводят кажущееся менее ограничительным условие, при котором основные функпии р в области У принадлежат самому узкому классу З, или З . Пусть лта — произвольная последовательность положительных чисел, а Я" — любая замкнутая подобласть ег. На функционал налагают следующее условие: существует пслтжительная постоянная ) [зависящая от ег* и от последовательности т„), такая, что (Л[ф( (). для любой основной функции ср из я) с носителем в Д", для которой ((Р"р((~~т„. Следует заметить, что в этом определении не требуется, чтобы бесконечное множество чисел т„ было ограничено равномерно по ч.
Поэтому это определение нельзя сформулировать в терминах максимум-норм, как это было сделано для г-непрерывности '). ') Пространство З„ не кормируеио с помощью максимум-нориы. Э д Основные определения и понятия 765 7. Лемма об г-непрерывности. Мы приведем здесь одну довольно тривиальную лемму'), позволяющую произвести более тонкое сравнение г-непрерывности и почти непрерывности с ы-непрерывностью. если функционал л]т] ы-непрерывен в открытой области гу, то для любой замкнутой подобласти Я' существует конечный индекс г, тзкой, что функционал Л в ~»' г-непрерывен для всех основных функций с носителем в гу*. Этот индекс г, конечно, может зависеть от Я* и может увеличиваться при расширении гу* (как будет показано на примерах).
Другими словами, ы-непрерывность и почти непрерывность функционала Л(ф] в еу эквивалентны. Доказательство леммы проводится от противного и вытекает из самого смысла опредеяения. Предположим, что функционал Л]:у] не является г-непрерывным в некоторой замкнутой области ~', каким бы большим мы ни выбирали г. Тогда для любого г существовала бы допустимая основная функция а„такая, что ]Л]р,]] ) ~г], а величина ()р,)), при этом становилась бы сколь угодно малой, например й7,]~, <11()г(+1). (Как и раньше, ])р',], обозначает г-максимум-норму для замкнутой области Д*.) Тогда очевидно, что последовательность а, в ег" равномерно сходитсв к нулю при г -+ со вместе со всеми производными Вру, при фпкснровзнном г'.
В силу предположения об ы-непрерывности в пространстве З с величиной ш,=шах(~1п, !], значения функционала Л ]ср,] должны быть ограничене ными, что противоречит предположению ]Л]а,]] ) )г]. Это завершает наше доказательство. 8. Некоторые вспомогательные функции. Мы построим некоторые частные финитные функции из С, которые понадобятся нам в й 2. Сначала рассмотрим одну независимую переменную х и для положительных а положим ешп Ю для — а <х <а, р(х; а) = О для х < — а, 1 длях) а, (6) где я(х; а) = — е'ня'-"'ц (ба) ') Это только утверждение о существовании, совершенно несущественное в применении к матемзтической физике. Иногда мы этот более слабый тип непрерывности будем называть оо-непрерывностью или ш-непрерывносаью функционала Л]а].
Как мы увидим в следующем пункте, это попятив не является более общим по сравнению с почти непрерывностью. Прнложгние к гл, Г«! ~ (х' а) =Р(х,; а) Р(хэ; о) ... Р(х„; а) принадлежит С"'; эта функция равна нулю при х ( — з (это значит, что х; ( — а) и тождественно равна единице прн х).з.
Лналогично, функция одной переменной 3,(х)= — Р(х; е) (7? принадлежит С и обрапгается в нуль вне интервала — а С х с„а. Г1рн каждом значении г мы имеем / о, (х) «Хх = 1. О (6) Пологкнм е= !/и и будем писать Ь„вместо Ь;, тогда для любой функции р(х), непрерывной в,Я, как известно, имеем 'р(х)=1'п1 ~ ен(х — 1)«р(1)п«1=11п1(«р, о„(х — 1)). (9) У Предел всегда рассматривается при и — ьсо или прн а-эО. 9. Примеры. Приведем несколько примеров, пллюстрируюгцих введенное понятие непрерывности. Пусть х — одна переменная, ру — открытый интервал — 1 ( х е.
1; тогда «р(0) есть непрерывный функционал для р(х) пз 3о, Величина В'(р(0))=р'(О) есть г-непрерывнь1й функционал от ср(х) в области гу. Однако, как читатель может убедиться, величина «=о не является функционалом от «р, непрерывным в смысле определений нз п. 6. В противоположность этому, ряд (11) сходится. если носитель функции 1« находится на некотором замкнутом под1нпеГ«аале;у'*, например на отрезке 0: х: 1 — 1/г; на этом Эта функция Р равна нулю для х с.
— а, тождественно равна единице для х ~ а и принадлежит С . Для и переменных произведение (6б) 767 б 2. Обобщенные фрнкнии отрезке функционал г-непрерывен. Индекс г возрастает, если отреаок 7* расширяется до 2у, а во всей области у выражение (11), очевссдно, не является г-непрерывным; но этот функционал, например, ю-непрерывен над пространством л), .
Выражение ~л~ 7'(1 — !сэ) представляет собой 1-непрерывный ч=ч функционал в области У с — 1 < х < 1 над пространством Эс функций с носителем в у. Аналогично, ~а сэ(э) есть непрерывный функционал, если основной областью 27 является вся числовая ось. 2 2. Обобивенные Яуннь[ии 1. Введение. Возвращаясь к основным пунктам теории, мы дздим три варианта определения') обобщенных функций и установим их эквивалентность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
