Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Решение уравнения (12'), удовлетворяющее нуисным граничным условиям при (=х, н)=у, мы ищем в виде полинома Й ('„т!; х, у) = (е+ ') „ф (ш), (х+ у)л (16) где Подставляя выражение (1Б) в уравнение (!2') и учитывая, что фа=а' . Ф,=у'ш, фе„=фн 'гш,+Ф'тае, мы получим, что функция ф удовлетворяет уравнению тв (та — 1) фн (тв) + (2ш — 1) ф' (ш) — и (и+ !) ф (ш) = О. (17) Единственным решением') этого уравнения, для которого ф(0) = 1, является гипергеометрический ряд ф(г) = ф(1+ и, — и, 1; г).
') См. Магнус и Оберхеттингер [1], гл. !1, й 1 [а также Три ко ми Ф., Лекции по уравнениям с частными производными, М., 1957, гл. й — Прим. ред.] ') Копсов (в работе [1]) сделал обзор уравнений, для которых можно получить функцию Римана в замкнутом виде. Читатель найдет там также интересные сведения о методах получения явных решений. Таким образом, функцию Й мы получаем в виде (е+ Ч)л, 1 ($ — х) (Ч вЂ” у) у Й(х у' !' л)) ( -[- )л !!' ! +и' "' ! ( ] )(л [ ) ~ (!8) для целых положительных и она обращается в полипом степени и — 1. Из наших рассуждений следует, что формула (18) дает функцию Римана для произвольных из).
458 Гл. К Гиперболические уравнения с двумя переменными ~ б, Решение задачи Коши длп линейных и почти линейных гиперболических уравнений с помощью итераций В последующих параграфах даны конструктивные доказательства существования решения задачи Коши. Они основаны на том же метоле последовательных приближений, который хорошо известен в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как говорилось раньше, задачу Коши можно свести к такой задаче Коши, для которой начальные данные, или „данные Коши', обращаются в нуль. Для этого мы вычитаем из неизвестной функции и подходящим образом подобранную') фиксировакную функцию ю и рассматриваем дифференциальное уравнение для новой неизвестной функции. Кроме того, мы можем так преобразовать независимые переменные, чтобы нехарактеристическая начальная кривая С перешла в прямую у О. Без ограничения общности мы можем производить эти упрощения и снова обозначать неизвестную функцию через и. !.
Построение решения уравнения второго порядка. Снзчала мы вкратце рассмотрим характеристическую задачу Коши, в частности с целью доказать существование функции Римана, ввеленной в предыдущем пункте. Сначала мы рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка ь1и)=и +аи +Ьи +си=/(х, у), (1) которос можно записать также в виде системы двух линейных уравнений первого порядка относительно функций и и о=и +аи: и =о — аи, о = — Ьо+ (а»+ аЬ вЂ” с) и+ У. Вместо того чтобы решать задачу Коши для уравнения (1), можно рассмотреть задачу Коши для более общего уравнения и„=р(х, у, и, р, й), (1') что так же просто, а с формальной точки зрения даже яснее; снова, как и прежде, мы будем пользоваться сокращенными обозначениями и,=р, и =д.
Дифференциальное уравнение и в этом случае можно заменить почти линейной системой трех уравнений относительно функций и, р, а: и„=р, р =Р(х, у, и, р, д), й„=Р(х, у, и, р, д), ') Если начальная кривая С задана уравнением у = у (х) и если на С заданы неоднородные данные Коши; и = а(х), а»= р(х), ат —— у(х), уловлетворяюшие условию полосы а'= у+ау', то такав функция определяется, как легко проверить, например, формулой ь (х, у) = и (х)+ (у — у (х) ) Ч (х) б б. Решение задачи Коши для линейных уравнений 459 Мы стзвим себе целью построить такое решение и, которое на некоторой гладкой нехарактеристической кривой С принимает начальные значения и =р =у = О. Здесь предполагается, что функция Р имеет непрерывные производные по аргументам х, у, и, р, д.
Относительно решения и предполагается, что оно имеет непрерывные производные первого порядка и смешанную производную в=и, которая в силу уравнения (1') также должна быть непрерывной' ). Задача сохраняет смысл, и описанное ниже построение дает решение также и в случае хараатеристачес(сой задачи Коши. Это— предельный случай, для которого кривая С состоит из двух характеристических линий АЕ) и ВВ (см.
рис. 32). Нам достаточно задать на С только начальныс значения функции и, и, как мы видели раньше, Рис. 32. дифференциальное уравнение (1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение для функций р и д на линиях АВ и Вс) соответственно. Это уравнение, вместе с условием, что р = д = О в точке О, определяет значения р и д на С. В остальном нет необходимости делать здесь различие между задачей Коши н характеристической задачей Коши. Решение строится в достаточно малой треуголышй области ~Д плоскости х, у, которая содержит заданный отрезок начальной кривой С или прилегает к нему и состоит из таких точек Р, которые соединяются с кривой С двумя отрезками характеристик РР, и РР, так что точки Р, и Р, лежат на данном отрезке.
Область хД расширяется до области 0 пространства х, у, и, р, а с помощью неравенств (и! (р, (р! (р, (д! (р, где р — некоторая постоянная. Мы предполагаем, что в этой области ) Р ) ( Л, ) Р„! (Л, !Р !.(Л, )Ре! (Л с некоторой постоянной Л. Для начальных данных и=р=д=О (а в случае характеристической ') Относительно и, и т не надо делать таких предположений. Однако, если функция р н начальные данные имеют непрерывные вторые производные, то описанное ниже построение решения обеспечивает существование непрерывных пронзводных г=иео с=и и даже непрерывных третьих производных реу Чез 460 Гл, К Гилеиболические уравнение с деуял переменними задачи Коши просто и=О) уравнение (1') может быть записано в проинтегрированной форме и(Р) = ]г ]г Г" (х, у, и, р, д) Ихг)у сз для точки Р области СД (см. гл. 1, Э 1, п.
1). Теперь мы определим интегральное преобразование функции о(х, у) в новую функцию о'(х, у) с помощью формулы Г,/ Е(х, у о, о„, от) сХхггу (2') с) 'г!скомое решение является „неподвижной точкой" этого преобразо. ванна 7 в функциональном пространстве, и эту неподвигкную точку можно получить с помощью процесса последовательных приближений. Она будет пределом последовательности и», в которой и„,, = Тин и и — произвольная функция, удовлетворяющая начальным условиям, например, и=О, р=О, д=О. Для достаточно малых областей ~Д последовательные приближения безусловно сходятся к решению.
Чтобы избежать повторений, мы не будем проводить доказательство в этом пункте. Как указывалось выше, характеристическая задача Коши эквивалентна задаче Коши для линейных или почти линейных систем первого порядка; ниже мы построим решения таких систем с помощью последовательных приближений.
2. Обозначения и результаты для линейных н почти линейных') систем первого порядка. В последующих пунктах мы будем писать г вместо у. Как и в й 2, мы рассмотрим систему й дифференциальных уравнений первого порядка для вектор-функции и(х, 1) с компонентам~ и', иг, ..., и»: и,+Аи +В=О, где матрица А(х, 1) размера )г)(й и вектор В(х, 1, и) имеют непрерывные первые производные и где В может зависеть от пере- ') Результаты, касающиеся каазилинейных систем, которые будут получены с помощью рассуждений этого и следующего параграфов, принадлежат Шаудеру [1]. Дальнейшие доказательства были даны Чинквини-Чнбрарио [1), Фридрнхсоы [1], Курантам и П. Лаксом [!). Более тонкие результаты были получены Дуглнсом [1], Хартманом и Вннтнером [1) и П. Лаксом [5].
Теорема существования при более сильных предположениях о дифференцируемости для одного дифференциального уравнения и-го порядка была много лет назад получена Э. Леви [2]. Работа Леви о гиперболических уравнениях оставалась забытой, пока почти все его результаты не были заново открыты. Его замечания о нелинейных уравнениях с кратными хаРактеристиками (см. Леви [1]) до сих пор остаются не продолженными. д б. Решение задачи Коши для линейных уравнений 461 менных и как линейно, так и нелинейно. Без огрзннчения общности мы можем предполагать, что ось х: 1=0 является начальной линией, и задать начальные данные и(х, О)=ф(х), где вектор ф(х) имеет непрерывную первую производную.
Система (3) предполагаетсягиперболической всмыслс ч 2, т. е. матрица А имеет /е аействительных собственных значениИ т', тл, ..., ча и /е линейно независимых левых собственных векторов 1', 1т, ..., 1~, образуюгцих матрицу Л с определителем 1. Предполагается, что собственные векторы 1 имеют непрерывные производные по х и 1. Наконец, мы предполагаем, что первые производные коэффициентов и, следовательно, первые производные собственных элеиентов, имеют модуль непрерывности, удовлетворяющий специальным требованиям, например, условию Лилшицп.
Характеристические кривые определяются обгякновепными дифференциальными уравнениями йх/с/1=с', и характеристики С„, выходящие из точки Р с координатами С т. могут быть представлены с помощью функций С„: х= х" (1; '„т), имеющих непрерывные производные по 1 и по параметрам В силу соотношения 1"А=с"1", характеризующего собственные векторы, умножая систему (3) на собственный вектор 1", мы получаем систему уравнениИ в характеристической форме 1В и+1В=О (3') илн, короче, /Ви+1В = О, где В* — дифференциальный оператор В" = д/д1+ т" (д/дх). Оператор В" можно рассматривать как дифференцирование и/й1 вдоль кривой С,.
В соответствии с нашими предположениями мы будем считать, что собственные значения т" и собственные векторы Р являются функциямн х и 1 с непрерывными первыми производными. Иногда мы будем опускать явное указание на определенную характеристику и будем вместо В* и 1" пнсать В, 1. Отметим также полезную формулу В(ад)=аВ(д)+дВ(а), справедливую для проиавольной пары функций а, д.
Вид (3') системы уравнений наводит на мысль о том, чтобы ввести новые неизвестные функции (/* = 1"и, или, коротко, (/ = Ли или (/=1и. Так как /В(и)=В(1и) — иВ1, система уравнений принимает вид (3н) В(/ = — 1 — (В/) и = — д — (В1) и 462 Гл. К Гияербояические уравнения с двумя переменными Поскольку и можно выразить через 1l с помощью соотношения и = Л'(У, где Л' — матрица, обратная Л, то систему (Зи) всегда можно записать как Ои=р(х, Г; (У), (3'") где праваи часть — непрерывная вектор-функции от переменных х, ~, (/, обладающая непрерывными производными по перемениылч У.
Конечно, через В здесь обозначена диагональнаи матрица с компонентами 0„. Заметим, что начальные значения ф(х) функции а переходит в начальные значения чу (х) дли О, заданные при г = О, причем 'К (х, Г) = = Лф, Наши предположения обеспечивают эквивзлентность М,т) задачи Коши дли и и У. рассмотрим на плоскости .т, С замкнутую область О, такую, ~я ь что все характеристики С„, проведенные из точки Р в об.ласть О в направлении, обратном по отношению к возрах=в станию значении 1, пересекзют Р задзнный отрезок Ву оси х в точках Р„ с координатами х„= х(0; (, т), так что отреРис. 33. вок Д содержит область за- висимости длв всех точек Р области О.
Полоса 0 к, Г С й области О обозначаетси О„(см. рис. 33). В п. 3 мы получим следующий результат. Задача Коши с начальными значениями ф на отрезке су' имеет единственное решение и с непрерывными производными в полосе О„при достаточно малых Ь. Из доказанного в э 4 следует, что решение опредслиется однозначно. Мы увидим также, то решение можно распространить на всю область О, если только коэффициенты сохраняют свою гладкость.
Кроме того, если А и В имеют непрерывные производные до поридкз и включительно, то решение и также имеет производные этих порядков. Наконец, если коэффициенты и начальныеданные ф зависят от некоторого параметра, по которому они непрерывны н дифференцируемы, то такими же свойствамн обладает и решение. 3. Построение решения. Чтобы построить решение системы, записанной в виде (Зш), принимающее начальные значения чр(х), мы заменим У в правой части вектор-функцией К=Ли и рассмотрим множество, или „пространство", Я функций, определенных в области О, обладающих непрерывными производными и принимающих начальные 4 6, решение задачи Кави длл аинелньгх уравнений 463 значения % (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
