Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 85
Текст из файла (страница 85)
8 2, п. 3). Характеристические кривые в этом примере можно рассматривать как „звуковые волны" (распространение малых возмущений), скорость которых с(х — = — и с, аг ив ир с некоторыми функциями г(и, р), я(и, р) для того, чтобы иметь г=сопз1 при р=сопз1 и я=сопя( при а=сопя(. Ясно, что мы должны найти такие функции д и 1, что г„=ггр, г,=ас; я„=18, я, = — 1с, причем „интегрирующие множители" я'(и, р) и 1(и, р) должны удовлетворять условиям совместности (ггр),=(ггс)„, (1р),= =( — 1с)„.
Легко видеть, что 1 2е ' удовлетворяют этим условиям и приводят к инвариантам Римана 2г=и+ л1 ~ с(р'=сопз1 г с (р') Р при р = сопя(, 2я = — и+ ~ — ', с(р =сопя( при а =сопз1. Г с(Е') м В важном случае идеальных „политропных" газов давление задается формулой .Р=.Г'(Р) =АРг называемая „характеристической скоростью", отличается от „скорости потока' и на ~ с. Отметим, что уравнения (1з) приводят к так называемым „инвариангпам Римана", т. е. к функциям, постоянным вдоль характеристик. Их можно ввести следующим образом. Нам нужно записать уравнения (1а) в виде р 3.
Приложение к динамике сжимаемой жидкости 429 где А и Т вЂ” постоянные, т > 1. В атом случае '=.г'[р) = Атр" и сели мы возьмем ро=О, то инвариантами Римана будут и с г= — + — —, =2 и с Я вЂ” — — + г Этими функциями можно пользоваться при решении задачи Коши. Наконец, заметим, что нелинейная система с|[и, р] =- О, из [и, р] = О принадлежит классу систем, допускающих линеаризацию с помощью прсобразовзния годографа, введенного в й 2. Это преобразование приводит к следующим линейным уравнениям для х, г как функций и ир: рР, — иР„+х.=о, рис — рх — сат„= О, 2. Сферическн симметричное течение.
Так же можно исследо- вать дифференциальные уравнения У[и, р]=ри,+ир,+р,= — —, 2ри х т'.Я[и, р]жрии +ри,+с'р,=О, описывающие сферически симметричное иззнтропическос течение. Так как операторы ьт и ьа такие же, как в случае одномерного течения [см. п. 1), то характеристические направления т задаются соотношениями т = и + с. Аналогично, значения Лт/Ла снова определяются формулой Л')Лс= ьс, что дает систему дифференциальных уравнений Л'[и, р]= — —, 2сри х Л[и,р] — —, к где операторы Л' и Лт такие же, как и раньше. Уравнения, аналогичные [1а), имеют вид 2сри ри„+ ср„= — — г,, [2а) 2сри рир — срз — — гв, к а уравнения (1б) остаются без изменения. которые справедливы до тех пор, пока определитель и р, — и,р„ отличен от нуля.
[Подробный анализ см. в книге Куранта и Фридрихса [1].) 430 Г». сс. Гинерболичесние уравнения с двумя нереиенныни 3. Стационарное безвнхревое течение. В двумерном стационарном безвихревом изэнтропическом течении компоненты скорости и, о удовлетворяют системе уравнений Е' [и, о]==чая —. о,=О, Ее [и, о[: — (се — - ие) и, — ао(и + он)+ (са — та) т ч = О, с де скорость звука с — известная функция сса+ о'. В этом случае характеристические направления т удовлетворяют уравнению се — иа+ иот = (са — оа) те+ 2аот+ се — иа = О.
— 1 — ио — (са — оа) т Во всех точках, где сса+от) се (т. е, гле поток сверхзвуковой), это уравнение имеет два различных действительных корня ".', та. и система является и|перболической. Для каждого из этих значений т соответствующее значение Лс: Ла равно — ио — (с' — от) с. Каждый раз мы берем линейную комбинацию Л'Е'+ЛаЕт и приходим к си- стеме Лс [и, о) =(са — сст)(и + .'и )+ -[-(с' — оа) тс(о -[--Уо„) = О Уравнения для и, о, х, у как функций а и [» имеют вид (са — сса) и„+ (са — оа) тсо„= О, (с — и ) и + (с' — о') ва = О (с =1, 2).
(За) х„= тгу,, ха = т у . 3 Уравнения (За) можно записать в эквивалентной форме (Зб) таи +о„=О, н тси~+ оч = О. (За') Для дифференциальных уравнений Ег [и, о[ = =— и — о, = О, с'и Еа [и, о[ = (с' — и') и „вЂ” и и (и, + о„) + (с' — от) о = —— у (са — оа) та+ 2ио с+ са — и' = О. описывающих стационарное безвихревое трехмерное изэнтропнческое течение, обладающее цилиндрической симметрией, операторы Е' и Еа такие же, как в предыдущем примере, так что характеристические направления снова удовлетворяют уравнению З 3.
Г)рилажсние к динаиике сжимаемой жидкасги 431 (4а) а уравнения (Зб) остаются без изменения. Уравнения стационарного безвихревого течения также допускают линеаризацню с помощью преобразования голографа, введенного в й 2. Г!рейно.тожив, что имоу иуо ~ ф О мы получаем линейную систему х — у =О, гг к (ст — из) у -+но(х +у„)+(сз — ог)х„=О для х, у как функций и и о. 4. Системы трех уравнений для нензэнтропнческого течения.
В (нестацнонарном) одномерном неизэнтропическом течении скорость и(х, 1), давление р (х, г) и удельная энтропия 5 (х, 1) удовлетворяют системе уравнений Ьг [и, р, 5[у=.рс'и„+ ирк+ р,=О, Лт[гп р, 5[=риик+ра,+р =О, Лз[гг р 5[=и5 +5, =О, гле р н с,и Π— заланные функции р и 5. Хараггтеристические направления т определяются уравнением сэ и — т О и — ", 1 О О О и — к откуда находим "' = и + с, тт = и — с, и. поэтому система гиперболическая.
Для каждого иь характеристических направлений кг, тт, кг существует нетривиальное решение Л', Ла, Лз системы с'Л'+(и — к) Лз=-- О, (и -- т) Л +ЛУ = — О, (и — ) Лз = О, Уравнения, аналогичные уравнениям (За), в этом случае имеют вид 1 сги и + — -о„= — х, к гг (Са иг) у ю 1 с'и и + — о,= — — х, (сг — иг) у 432 Гл. К Гинербалинесние уравнения с двумя аеременнымн которые с точностью до коэффициента пропорциональности опреде- ляются равенстзаии (1, с, 0) для т=т'. ( — 1,с,О) для (О, О, 1) для (Л1 Лз ) з) Взяв для каждого из т линейную комбинацию Л'С'+ЛЮ+Лз1з, мы пояучим систему Л'[и, р, 5[=рс[и,+(и+с) и,)+р,+(и+с) р„=О, Лз [и, Р, 5] Рс [и,+(и — с) и [ — [Р,+(и — с) Ре[ = О, Ла[и р 5[— = 5,+и5,=0.
Хотя мы не вводим вместо х, с характеристические переменные, как мы делали в случае двух неизвестных функций, мы можем тем не менее записать эти уравнения в более сжатой форме, вводя параметры а,, зз, зз на каждом семействе характеристических кривых. Тогда уравнения принимают вид рс — + =О, ди др дв~ дв~ ди др рс — — — =О, две дв, д5 — = О. две р"".+р "+ср =О + р~ „+с'р„= О, "и.+')+ р.+оа =О (здесь скорость звука с=с(р) чь Π— известная функция), которым удовлетворяют компоненты скорости и(х, у), о(х, у) и плотность р(х, у) стационарного двумерного вихревого изэнтропического течения, Характеристические направления удовлетворяют уравнению и — то 0 1 = — (и — то) [(и — то)з — (1 + те) се[ = О, — тс и — то з В приведенном примере характеристические кривые, определенные уравнением Нх:с(Г = и +с, представляют собой звуковые волны (как и в изэнтропическом случае), а характеристические кривые, для которых с(х:с(г = и, представляют собой траектории частиц.
В качестве другого примера мы рассмотрим дифференциальные уравнения Э 3, ))риложенае к дино.яике сжимаемой жидкости 433 Два семеяства характеристик ттх: йу определяются корнями квадрат- ного уравнения (! +. тт) ст — (и — ти)я== 1ст — ое) те+ 2аот+ сз — из= О, которое совпадает с уравнением для т, рассмотренным и нашем примере для потенциального случая. Эти двз семейства характеристик различны н действительны в точках, где аз+па ) ст (т, е, там, где поток сверхзвуковой). Иногда характеристические кривые этих двух семейств называются лини~ми ~Иаха. Третье семейство характеристик определяется соотношением йх: йу= и: о 1т, е. и — то=О) и состоит из линий леона, т.
е. нз кривых, касающихся векторов скорости. Легко видеть, что направления линии тока и линии Маха не могут совпадать ни в какой точке, так что система вполне гиперболнчна при и' + о' ) е'. Для первых двух характеристических направлений мы с точностью до коэффициента пропорциональности получаем 1Л', Лз Лз)=( — 1, т', и — ттп) 11=1, 2), а для третьего характеристического направления 1Л', Лт, Ла) =1и, о, О). Взяв для каждого характеристического направления линейную комбинацию Л'е.'-4-Лет'.я+Лет'.з и введя на характеристических кривых трех семейств параметры тп зм з,, мы получим систему ро — — ра — — 1ип.+ (е — пз)1 — = О (1 = 1, 2), ди до,.
е, др дее ' де; " дет да до др ра — + ро — + ст — - = О. де, де, де,= . Б. Линеаризоваиные уравнения. Нелинейные уравнения гидродннамики можно приближенно заменить линейными, если предположить, что рассматриваемый поток отличается от некоторого постоянного состояния только на „малые" величины, так что можно пренебрегать членами второй степени, содержащпми эти величины и их производные. Достаточно привести следуюгцнй пример. Построим линейное приближение для уравнения, рассмотренных в последнем примере предыдущего пункта, т. е.
для стационарного двузгерното вихревого изэнтропического течения. Мы предположим, что скорость мало отличается от некоторой постоянной скорости и, параллельной оси х, и что плотность р также мало отличается от некоторой постоянноп плотности р. Положим и = и + н, о = Л, р = р + о. 434 Гл. К Гинербалынвские уравнения с дврггя неремвнными где го, Л, а — малые величины. Далее, мы предположим, что дани<ение жидкости можно достаточно точно описать, отбросив в дифференциальных уравнениях произведения и высшие степени величин га, Л, а и их производных. Тогда исходная система дифференциальных уравнений заменяется следующей системой линейных дифференциальных уравнений с настоенными коэффициентами: и ему+ сза = О, и рЛ, -+ саа = О, р (мм+ Лу) + иа, = О, где с=с(р).
Мы сразу получаем соотношение ~~уу Лук' т. е. — Лл= В !у), где Е'(у) — некоторая функция. Это соотношение выражает так на- зываемую теорему о вихре. Положив гг/с=/г, мы получим теперь систему )грЛ„. + са = О, РгрЛ вЂ” (1 — И)са =О, 'у нз которой с помощью исключения получаются два дифференциальных уравнения (! йт) Л,.+Л„= О, (!Ь')ауу+аууО Из этих уравнений сразу видно, что при и 1, т. е, прн и) с, мы имеем дело с гиперболическим случаем. Характеристики являются тогда прямыми линиями, образующими с осью х угол и, который называется углом Маха и для которого ( з1п а ( = 1(н = с/и. Два семейства характеристик можно обнаружить экспериментально при движении жидкости или газа, если основная скорость и пзраллельна плоской стенке.
Мы образуем на малом интервале АВ этой стенки маленькую шероховатость илн выступ, порождающий около стенки небольшую вертикальную компоненту скорости Л. В предположении, что движение описывается нашей приближенной системой уравнений, возмущение должно распространяться в область, где течет жидкость, вдоль двух параллельных отрезков характеристик, берущих начало на АВ и образующих угол а со стенкой. 435 4 4. Единственность. Область эививижосги ф 4. Единственность. Область зависимости В этом параграфе мы часто будем подчеркивать, что переменная у имеет смысл времени, и писать г вместо у. Доказательство существования решения зздачи Коши для гиперболической системы Е(и) =)'(х, С) с заданными начальными значениями и(х, О) =ф(х) будет дано в Я б, 7, 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
