Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Пусть Л вЂ” произвольное множество элементов банахова пространства. Оно содержится в некотором замкнутом выпуклом множестве, например, во всем пространстве. Так как пересечение любого числа замкнутых выпуклых множеств, как легко видеть, также замкнуто и выпукло, то существует наименьшее замкнутое выпуклое множество Л содернгащее Л; оно называется выпуклой оболочкой Л. В частности, если Л состоит нз конечного числа точек, то его выпуклая оболочка З !д Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке 403 лежит в конечномерном подпространстве банахова пространства, и ее можно рассматривать как ограниченное замкнутое выпуклое множество в евклидовом пространстве.
Пусть теперь Л вЂ” выпуклое компактное множество в банзховом пространстве чт, и пусть Т вЂ” непрерывное преобразование Л в себя, не обязательно линейное. Теорема 1Наудера утверждзет, что это преобразование имеет неподвижную точку. Чтобы доказать эту теорему, мы построим сначала вспомогательное преобразование Я, которое непрерывным образом переводит множество Л в конечномерное заикнутое выпуклое подмнонсество ') Л и лля которого 'й 5 (х) — х 11 к. е для всех х из Л, причем здесь е — некоторое наперед заданное положительное число.
Это преобразование строится следующим образом. Мы можем найти конечную последовательность точек (45) хы ха..... х из Л, таких, что для любого элемента х из Л и для некоторого У 1 выполняется неравенство й х — х1,'! ( 2- е. Действительно, пусть х,— произвольная точка из Л. Если все остальные точки лежат не 1 дальше, чем на расстоянии — е от х,, то наше утвержленне установлено. В противном случае будет существовать такая точка ха, что ()х, — х„) ) †, е.
Если не все точки из Л отстоят на расстоянии, 1 меньшем чем —, е, от х, или хэ, то в Л будет существовзть точка ха, 1 1 такая, что ((х, — хз(!)~ — е, а хе — хз(()~ — е. Продолжая выбярать точки таким образом, мы построим последовательность (45). Заметим, что этот процесс должен оборваться после конечного числа шагов, так как в противном случае мы получили бы бесконечную последовательность точек из Л, таких, что расстояние между каждой парой 1 этих точек не меньше, чем —, е. Такая последовательность не могла бы 2 содержать сходящуюся подпоследовательность, что противоречило бы ') Пол конечномерным множеством в банаховом ппостранс1ве мы здесь занимаем множество, содержащееся в некотором конечноиерном подпростраистве.
Дополнение к гл. 1)». компактности Л. Построив последовательность (45), мы для х из Л положим 11х — х1((, если ))х — х;)) < — е, 1 1 е — 11х — х !1, если — я < ((х — х !! < е, 2 О, если ",х — х),! ) е; Р1(х) = и (х) )!г(х) = ч') !», (х) 5(х) = ~~.", ))(х) х;, у 1 ') Сы. Данфорд н Шварц [1). (См.
также Лере и Шаудер 11). — Прим. ред.) Легко видеть, что отображение Я(х) непрерывно. Оио отображает Л в Лр — выпуклую оболочку точек (45). Кроме того, так как )1~ О, ~~'.~ Л =1 и Л)(х)= О, если 1/х — х)/!) е, то !' = ! л" /!х — Я(х)(! = ~~", » (х) х — 5(х) ( < ~ Л)(х) ((х — х !/ < е.
, ! ~1-1! Рассмотрим теперь проиаведение преобразований $Т. Это преобразование непрерывным образом переводит Лз (выпуклую оболочку точек (45)) в себя. Согласно теореме Брауэра, это отображение имеет неподвижную точку у. Таким образом, мы имеем 5 (Т(у)] = у и ~~Т(у) — у,,~ <,. Из предыдущего утверждения следует, что для любого л мы можем найти такую точку у„из Л, что ()Т(у„) — у„(! < 1/л.
Так как Л вЂ” компактное множество, то существует подпоследовательность (у„), сходящаяся к некоторой точке у из Л. l В силу непрерывности преобразования Т мы имеем Т(у) = 11щ Т (у,.) = у. Точка у является искомой неподвижной точкой. Существует также более общая форма теоремы Шаудера о неподвижной точке, которая утверждает, что непрерывное отображение любого замкнутого выпуклого множества в банаховом пространстве в его компактное подмножество имеет неподвижную точку.
Этот результат можно доказать, проверив, что выпуклая оболочка компактного множества компактна. Более общий результат был получен Тихоновым '). Глава Р ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Введение В следующих двух главах рассматриваются гиперболические уравнения, описывающие распространение волн. Эта глава посвящена задачам с двумя независимыми переменными х, у или х, ! (в последних параграфах мы часто будем писать Г вместо у, чтобы подчеркнуть, что à — переменная, соответствующая времени); в гл, гг! рассматривается случай более чем двух независимых переменных.
Чтобы сохранить единство изложения, иногда придется повторить в несколько измененном виде материал, уже затронутый з гл. 1Н. В начале этой главы, в соответствии с историческим развитием предмета' ), будет рассматриваться одно гиперболическое уравнение, в частности, второго порядка, Но затем основное внимание будет обращено на гиперболические системы дифференциальных уравнений, особенно системы уравнений первого порядка, что не только приводит к большой общности и простоте, но и непосредственно соответствует многим физическим задачам, так как аадачи эти часто формулируются в терминах таких систем. Основным результатом в случае двух независимых переменных будет решение задачи Коши с той же степенью полноты, с которой решаются задачи в теории обыкновенных дифференциальных уравнений; решения могут быть построены с помощью итерационных методов, совершенно аналогичных тем, которые применяются к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Понятие характеристик, введенное уже в гл. 1, П и ПК играет решающую роль в изучении гиперболических уравнений не только в случае двух, но и в случае большего числа независимых переменных !см. гл. Н!). Мы сначала напомним и расширим результаты наших прежних исследований характеристик для случая двух независимых переменных, а затем применим эту теорию к решению основной задачи Коши. Характеристики (характеристнческие кривые) С обладают следующими свойствами, каждое из которых можно принять за определение (см, также гл.
1, Н, 111): ') См. Зауэр [1!. Гл. У. Гиперболические уравнения с двумя пгременньиии ~ 1. Характеристики ди4руеренииальнвгх уравнений (в основном второго лорндка) 1. Основные понятия. Квазилинейные уравнения. Рассмотрим квазилинейный дифференциальный оператор второго порядка л'. [и) = =аг+.да+ сг и дифференциальное уравнение Л(и]+ г(=аг+дз+сг+ с(=0, г=и„„, а=и, (=и„„, (2) где 1) На характеристике дифференциальное уравнение (а для систем — некоторая линейная комбинация уравнений) является уравнением, связывающим внутренние производные. 1а) Начальные данные на характеристике не могут быть заданы произвольно; они должны удовлетворять условию совместности, если мы хотим дополнить эти данные до „интегральной полосы".
2) Разрывы решения (вид которых уточняется ниже) могут происходить только по характеристикам. 3) Характеристики являются единственно возможными „линиями ветвления" решения, т. е. такими линиями, для которых одна и та же задача Коши может иметь несколько решений. Для систем квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка начальные данные, нли „данные Коши, являются просто значениями неизвестных функций на начальной кривой. Первое свойство связано со следующим основным фактом; некоторое направление является характеристическим в точке Р, если существует такая линейная комбинация дифференциальных уравнений системы, которая в точке Р содержит дифференцирование только по этому направлению.
(Система является гиперболической, если ее можно заменить с помощью линейного преобразования эквивалентной системой, в которой на>клее дифференциальное уравнение в каждой точке содержит дифференцирование только по одному „характеристическому" направлению.) Второе и третье свойство для гиперболических систем также можно получить нз этого специального вида уравнений. Как мы увидим, задача Коши для одного дифференциального уравнения высшего порядка всегда сводится к задаче для системы уравнений первого порядка со специальным образом выбранными начальными условиями (см.
также гл. 1, Э 7). Тем не менее сначала мы вкратце рассмотрим случай одного дифференциального уравнения, в основном уравнения второго порядка, не производя такого сведения. (Читатель, которого в первую очередь интересует систематическое изложение, может опустить многие детали э 1.) 4' Л Характеристики дафсуеренчааалнькс уравнении 407 а величины и, д, с, с( — заданные в рассиатриваемой области функции переменных х, у, и. р=и, (г= и . В тех случаях, когда не У' оговорено противное, предполагается, что все встречающиеся нам функции и их производные непрерывны. Как и в гл. 11, ллге начнем с задачи Коши, т.
е. будем дополнять начальную полосу до интегральной полосы. Сначала мы определим полосу псового порядка С, следующим образом: две функции х= = Х(Л), у= «'(Л) параметра Л определяют на плоскости х, у кривую Са; вместе с функцией и=У(Л) они определяют кривую Са, лежащую в пространстве х, у, и „над кривой Са".
Плоскости, касательные к кривой Са, определяются заданием двух дополнительных функций Р(Л) и ()(Л) (нормаль к такой плоскости имеет компоненты Р, («,— 1), причем зти функции должны удовлетворять „соотношению полосы" У = РХ + Я«', (3) которое отражает тот факт, что кривая Са и касательная плоскость парал.лельпы (точка здесь обозначает дифференцирование по параметру т.). Все время мы предполагаем, что Х'+ «та -,:О. Заданная поверхность и(х. у) порождает полосу С, над основной кривой Са, если мы положим (I, Р и г;«равными тем значениям, которые функции и, р и д принимают на Са, т.
е, мы полагаем Е/(Л) = и(Х(Л), «'(Л)) и, кроме того, Р(Л) = и„(Х(Л), У(Л)), ге (Л) = и„(Х (Л), «'(Л) ) '). Лля полосы, 'лежащей на поверхности и(х, у), мы будем писать и, р, д(и х, у) вместо У, Р, ~(и Х, У), если при ятом остается ясным смысл. Часто бывает полезно представлять основную кривую Са на плоскости х, у с помощью соотношения ел(х, у)=0. Мы будем предполагать, что кривая ~« = 0 на плоскости х, у, а также кривая Са на поверхности и=и(х, у) отделяют область, где ~у<0, от области, где ~у ) О. Мы предположим также, что ~Г=-0 — регулярная кривая, т. е. производные з, и рг не обрапгаются в нуль одновременно.
Затем мы определим полосу второго порядка См рассматривая три дополнительные функции Р (Л), 5()), Т(Л), соответствующие вторым производным г, з, г функции и(х, у) и полосе С,; зти функции должны удовлетворять соотношениям полосы Р= тех+ау, () =Ях+Ту. ') Соотношение полосы (3) выражает тот фант, что интегральная по. верхность и(х, у) содержит эту полосу. 408 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
