Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Характеристи- ческое соотношение ау' — Ьху+ сх'= О определяет тогда два действительных различных значения ~п чг для отношения у/х, и, следовательно, оно определяет два различных однопараметрических селейства характеристических кривых на интегральной поверхности'); они являются решениями обыкновенных лифференциальных уравнений Кзк мы увидим, введение этих двух семейств в кзчестве координатных кривых сильно упрощает задачу о решении дифференциального уравнения, В эллиптическом случае, когда 4ас — Ь' ) О, таких характеристик не существует. В предельном параболическом случае, когда 4ас — Ьг = О, два семейства характеристик совпадают.
Характеристические полосы — это единственные полосы, по которым возможно ветвление интегральной поверхности. Под полосой, по которой возможно ветвление, мы подразумеваем полосу, которой касаются две различные интегральные поверхности, так что при этом значения величин и, р, д для них совпадают, а некоторые производные более высокого порядка оказываются различными. На нехарактеристнческой полосе все вторые производные (и аналогично все производные более высоких порядков, до тех пор, пока они существуют и непрерывны) определены однозначно.
Следовательно, полосы, по которым происходит ветвление, должны быть характеристическими. Если дифференциальное уравнение эллиптическое, то на интегральной поверхности не существует полос, по которым возможно ветвление. Если, кроме того, мы предположим, что это уравнение— аналитическое и что в соответствии с этим производные любого порядка однозначно определены на каждой полосе, лежащий на интегральной поверхности, то мы естественно придем к заключению, что любое решение такого уравнения эллиптического типа должно быть икалитической функцией. Доказательство этого будет дано в приложении 1 к этой главе (см. тзкже гл. !7, Э 7). Здесь мы только заметим, что налвчие полос, по которым возможно ветвление, ') Мы снова позволяем себе употреблять термин „характеристические кривые" для пространственных кривых на 1 н одновременно для нх проекций на плоскость х, у.
В частности, для линейных дифференциальных уравнений мы в основном будем говорить о проекциях, так как они фиксированы и не зависят от решения. 414 Гл, Ь', Гинерболинесние уравнения с двумя яерененнняи влечет за собой суп.е твованве иеаналитических решений уравнения. Мы егце раз рассмотрим характеристическое условие(6), О.= ау'„-+ + Ьу ~у + сне = О, где а, д, с — известные функции х и у на интех у у гральной поверхности й. Пусть 4 — функция, удовлетворяющая соотношению (6), которое мы будем рзссматривать как дифференциальное уравнение в частных производных: мы видим, что тогда кривая св = сопэ1 является характеристической кривой на поверхности й.
Ясно, что если у является решением уравнения (6), то решением является также с — сопэ1; следовательно, все кривые семейства у=сопэ1 являются характеристическими на й. Обратно, если уравнение си = сопз1 задает такое семейство характеристик, то функция:р удовлетворяет уравнению (6), рассматриваемому как дифференциальное уравнение в частных производных, В качестве примера можно привести дифференциальное уравнение и, =О.
Характеристическое соотношение имеет вид м„с =О. Ему удовлетворяет любая функция сы которая является функцией одного только х илв одного только у. Поэтому проекциями характеристик являются линии х = сопэ1 и у = — сопз1. 3. Характеристики как линии разрыва. Фронт волны. Распространение разрывов. Мы ввели характеристики как линни, по которым происходит ветвление интегральных поверхностей, т.
е. как кривые, на которых некоторые производные функции и имеют разрывы. Этот пункт посвящен замечательному факту, который далее будет рассматриваться для более общего случая (см., например, гл. Ч1, э' 4). Он состоит в следующем: величина таких разрывов первого рода подчиняется некоторому обыкновенному дифференциальному урав, еиию первого порядка вдоль характеристической кривой. Мы опишем здесь это явление для случая распространения разрывов вторых производных. Пусть кривая С задана уравнением )~(х, у) = О и разделяет области, где ~р ~ О и т - 0; пусть и(х, у) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2) в каждой из этих областей, причем функция и и ее первые производные непрерывны при переходе через кривую С, а „внешние" вторые производные и терпят разрыв при переходе через С.
Однако при этом внутренние производные непрерывны на кривой у=О в следующем смысле: если, как и раньше, ) = (~ н т) = у являются координатами на интегральной поверхности й в окрестности кривой С, а ) есть параметр на С, то все производные функций и, р, д по ) непрерывны при переходе через С. Через [ГЯ мы обозначим скачок функции Г" при переходе через С в направлении аоарастания значений функции р. По предположению, функция и непрерывна вместе со своей внутренней производной а Д Характеристики дифференниальньы уравнений 415 (см, гл, !1, % 1), которая определяется формулой и„ед — и, ь„; непрерывна также внутренняя производная от и, определяемая формулоп и, т — и, 5к, Таким образом, мы имеем для скачков два соотношения [и, ]э — [и ]~у =О, [и„] 9„— [и,] 9 = О, которые сразу лают ~икк]=(аР„', ]и, ]=-ага Р, [и ]=-(г]т, с некоторым коэффициентом пропорциональности (е (между прочим, ле1ко видеть, что й = [и ] ).
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (2) в двух гочках Р, и Р,, лежащих по разные стороны от кривой С, вычтем одно из этих уравнений из другого и устремим точки Р, и Рт к точке Р, лежащей на С (рис. 23), Непрерывные члены пропадут, и соотношение примет вид С а[ив ]+А[акт]+с[и ]=О, пли, в соответствии с результатом, полученным выше, после сокращения на множитель /е, Рнс. 23. акт+до„э +ау =(;1(р, э) =О, что является просто характеристическим соотношением. Таким образом подтверждается, что разрывы указанного вида могут происходить только на характеристике. Чтобы дать физическую интерпретацию, мы будем рассматривать у = 1 как время, а решение и(х, 1) будем представлять себе как „волну" или такую величину, которая изменяется в пространстве х с течением времени Г.
Если эта волна имеет разрыв на характеристике е(х, 1) = О, то мы булем считать, что уравнение сь = 0 разрешено относительно х: х = — х(Г) и Это позволяет нам на плоскости х, 8 интерпретировать кривые ~у=О, на которых происходит разрыв, как траектории точек разрыва х, передвигающихся с течением времени по оси х со скоростью е(х/иг. Коэффициент пропорциональности и характеризует величину раз- рыва. Он обладает следующим замечательным свойством. Вдоль 416 Гл. 1'.
Гиперболические уравнения с двумя иеиемеиниаи характеристики С множитель й удовлетворяет обыкновенному линейному однородному дифференциальному уравнению, а именно аФ„+ ря = О, (10) где коэффициенты а и р олределяются формула.ии а = 2Я(су, ф), В = 7. (~р)+ О (с7, ср), Для доказательства мы продифферепцируем по а уравнение 7.[и) + + ст = О, где оператор Е задается формулой (7), и составим выражение для скачка. В него войдут только члены, содержащие производные по 7 второго и высших порядков. Учитывая, что на С О(ц~, р) = О, мы приходим к дифференциальному уравнению (10) для й.
Из этого результата следует, что множитель й либо нигде не обращается в нуль, либо равен нулю всюду на рассматриваемой части кривой С. Выше были рассмотрены разрывы производных второго или более высокого порядка. Разрывы первых производных исключаются по самому смыслу дифференциального уравнения. Тем не менее в % 9 мы обобщим понятие решения так, что станут возможны эти и некоторые другие разрывы. В действительности, разрывы первых производных могут происходить вдоль произвольной свободной кривой С. Мы различными способами можем дополнить С ло полосы Сп Тогла (см.
вторую часть этой главы) мы можем решить соответствующие задачи Коши, и, объединяя решение, построенное с одной стороны кривой С, с любым другим решением, построенным с другой стороны, мы получим обобщенное решение и, которое само непрерывно и имеет первые производные, разрывные прн переходе через С. Однако легко видеть, что было бы бесполезным обобщением допускать обобщенные „решения", которые сами непрерывны н имеют производные, разрывные при переходе через некоторую (свободную) кривую С. Такие функции всегда можно было бы построить, рассматривая по разные стороны кривой С два различных решения и, н из, для которых начальные полосы С, и С, являются различными полосами, построенными на кривой С; например, и = 0 для у ) 0 н и = у для у к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
