Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 79

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 79)

1, 9 б): [1+ср,',) ср — 2р„р р„+(1+т~~) р =О. (42) Первая теорема (прннадлежащая С. Н. Бернштейну) утверждает, что любое решение уравнения (42), определенное на всей плоскости, есть линейная функция. Заметим, что для решений уравнения Лапласа утверждение теоремы было бы справедливо только если бы мы заранее знали, что решение, о котором идет речь, имеет ограниченные производные; в таком случае это утверждение было бы следствием хорошо известной теоремы Лиувилля о целых аналитических функциях. Аналогично, теорема Римана об устранимых особенностях, которая, как мы видели раньше, применима также к линейным эллиптическим уравнениям, справедлива для уравнения минимальных поверхностей в гораздо более сильной форме (Л.

Берс). Однозначное решение уравнения (42), определенное в окрестности некоторой точки (за исключением самой этой точки) имеет в втой точке устранимую особенность. Другими словами, решение можно определить в этой точке таким образом, чтобы функция была в ней регулярной. Заметим, что мы не требуем а риог1, чтобы решение было ограниченным.

Мы не будем здесь доказывать эти теоремы; заметим только, что в одном из методов их доказательства снова применнется теория комплексных функций '). ') Библиографические указания на зти теоремы и ик обобщения даны к рабоге Берса [4]. См. также Финн [1) и Оссеряаи [1]. Особенно простые доказательства даны в работах Иогзннеса Нитше [1] и [2]. Э И Урааненил е аналитическими каэффиниентами 399 9 13. Уравнении с аналитическими ноэйзйэициентами До сих пор мы рассматривали применение теоретико-функциональных эшгодов к линейным дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптического типа при очень слабых ограничениях на коэффициенты. В случае, когда сами коэффициенты являются аналитическими функциями двух переменных, существует совершенно другая возможность применения теории комплексных фуштцпй лля изучения решений. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с частными производными Ул +Р +и(х, У)У +Р(х, У)э +)(х, У)~=0, (43) коэффициенты которого — действительные аналитические функции, и, следовательно, могут быть определены также для комплексных значений независимых переменных.

Для простоты мы предположим, что эти коэффициенты — целые аналитические функции х и у. Мы будем рассматривать как независимые переменные комплексные переменные г = х+1у и г =х — еу; в новых переменных уравнение (43) можно записать в виде р,.; + А э, + В<о + С:р = 0; (44) фарлеально оно является гиперболическим уравнением, записанным в каноническом виде. Заметим, что, прибегая к такому преобразованию, мы вынуждены рассматривать также комплекснозначные решения.

При этом мы не теряем никаких решений, ибо, как было показано ранее (стр. 343), все решения линейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами сами являются аналитическими функциями. Хорошо известно, что все решения гиперболического уравнения в канонической форме в действительной области можно выразить с помощью интегральной формулы, содержащей так называемую функцию Римана этого уравнения и произвольные функции одной переменной (см. гл. эт).

Те же самые формальные выкладки можно проделать и в комплексной области. Тогда мы получим интегральные операторы, преобразующие произвольную функцию одного комплексного переменного (которая, конечно, предполагается аналитической) в решение эллиптического дифференциального уравнения (44). В случае уравнения Лапласа этот оператор не является интегральным оператором; он состоит просто в том, что берется действительная часть аналитической функции. Метод интегральных операторов, который мы описали только в самых общих чертах, был развит и применен ко многим частным случаям С.

Бергманом, И. Н, Векуа и их последователями. Подробности и формулы, а также распространение метода на дифференциальные Дололнгнне к гл. ГУ. уравнения высших порядков и дифференциальные уравнения более чем с двумя независимымн переменными, можно найти в соответствующей литературе '). р г4. дока.чательетво теоремы Привалова я) В этом параграфе мы дадим доказательство теоремы Привалова, сформулированной в 2 3 этого дополнения, Рассмотрим аналитическую функцию е(з) = (У + )У, определенную для ! з ] < 1. Мнимая часть У (л) непрерывна при [ а ] < 1, и для всех О, 6' и некоторого а, О < а < 1, [У (е") — У(е'" ) ! < И[ем — еа ) .

Для некоторого фиксированного 0' обозначим через Ф(з) гармоническую функцию (однозначную в единичном круге) Ф (а)= = Ке [(1 — ле а')"]. Эту функцию можно определить так, чтобы было Ф(О)=1. Тогда Ф(я)=)з — еа'[" созак где и — угол между прямыми, соединяющими точку еа с точками О и з, Отсюда следует, что на единичной окружности справедливо неравенство Нчг(г) ,М На (г) сок кк/2 ь ( ) ( ) сок нк)2 ' в силу принципа максимума для гармонических функций оно верно также всюду в единичном круге, В частности, гармоническая функция У (з) — У (еа'), рассматриваемая в круге ] л — геа'] < 1 — г, по модулю не превышает величины (И/соз '/язк) [2 (1 — г)]'. Следовательно, в центре этого круга абсолютные величины производных У„, У не больше, чем(Л1соз'!'кк)2" (1 — г)" '.

Но е'(л)= =У +(У„и, так как 6' произвольно, мы имеем г [б" ( П-< сок кк/2 (1 — ! г ~ ) С помощью этого неравенства легко показать, что где А зависит только от ш ') См. Бергман [1]. Обширная библиография содержится в работак Кшнвоблоцкого [1] н Векуа [2]. г) См. Привалов [1]. Теорема имелась уже в работе Кориа [1]. Данное здесь доказательство принадлежит Версу. Обобщение теоремы дано в б 3 статьи Агмона, дуглиса, Ннренберга [1]. Е 15, Лакааательсгва теоремы Шаудера а неподвижной тачке 401 Теперь мы сформулируем некоторое обобигекие теоремы Привалова, полезное для приложений (см. 9 1О этого дополнения). Пусть Х (г) — действительная функции.

определенная на единичной окружности 1г!=1, причем известно, что для нее выполняется условие Гйльдера с показателем, меньшим единица. Пусть й(г) — аналитическая функция, заданная в единичном круге и непрерывная на окружности. Предположим, что функция а(г) = Ке (д (г) ге" 1'1) на единичной окружности равномерно удовлетворяет условию Гзльдери. Тогда функция и(г) равномерно удовлетворяет условию Гельдера в замкнутом единичном круге, причем константы в условии Гальдера зависят только от максимума модуля и от констант Гальдера функций ).

и а. Чтобы доказать эту теорему, возьмем зналитическую функцию и (г), заданную на единичном круге, мнимая часть которой на окружности совпадает с Х(г). Такая функция существует, так как задача Дирихле для гармонических функций раарешима.

Если мы потребуем, чтобы функция Кей обращалась в нуль в начале координат, то наша функция й будет определяться однозначно и, в силу теоремы Привалова, для нее будут известны максимум модуля и константы, входящие в условие Гвльдера. Аналитическая функция е,(г) =д(г) ге" 1'1 на единичной окружности удовлетворяет граничному условию Ке д, (г) = еич ь а.

Таким образом, по теореме Привалова, мы можем найти константы, характеризующие условие Гальдера для функции е (г) на единичной окружности и, в силу той же теоремы, во всем единичном круге. 9 И. Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной томке Теорема Шаудера о неполвижной точке является обобщением на бесконечномерные пространства знаменитой теоремы Брауэра. Теорема Брауэра утверждает, что непрерывное отображение замкнутого ограниченного выпуклого множества в и-мерном евклидовол~ пространстве в себя имеет неподвижную точку.

Доказательство теоремы Брауэрз о неподвижной точке можно найти в большинстве учебников по топологии '). Так как теорема Шаудера о неподвижной точке касается отображений в банаховом пространстве, то мы прежде всего напомним определение такого пространства. ') См., например, Понтрягин Л. С., Сыновы каибинаторной топологии, Гостехиздзт, М.— Л„1947, стр.

90.— Прим. ред. 402 Дополнение к гл. IУ. Линейное векторное пространство (действительное) есть л1ножество элементов (называемых также точками), которые можно складывать и умножать на действительные числа так, что при этом выполняются обычные законы арифметики, Точнее, если через х, у, з, ... обозначаются элементы пространства, а через Л, р, ж ... — действительные числа, то мы требуем, чтобы выполнялись следующие законы: !) х+ у =у+ х; '2) х-+(у+ з) =(х+ у)+ е; 3) существует такой элемент О, что х+ О =- х; 4) уравнение х+ у = О при любом у имеет единственное решение (оно обоаначается через — у); 5) Л (х + у) = Лх+ Лу; 6) (Л+ (и) х = ) х+ рх; 7) Л (ух) = (Лр) х; 8) ! ° х = х.

Линейное пространство наьывается нормированным, если люоому элементу х поставлено в соответствие число ))х ~, такое, что )) х ~) )~ О, причем ))х)) = О тогда и только тогда, когда х = О; )ьх|) =) Л) ))х~);,)х+у)) ())х)) + ))у)). В нормированном пространстве расстояние между двумя элементами х и у определяется как )) х — у ). Говорит, что послеловательность элементов )хп) сходится к элементу х, если )) х„— х)) -» О.

Множество Л в таком пространстве называется замкнутым, если для любой последовательности элементов )х„) из Л, такой, что ))х„— х)) — >О, элемент х также принадлежит Л. Нормированное векторное пространство называется полным, нли банаховым пространством, если в нем любая последовательность Коши сходится, т. е. если для любой последовательности элементов )хн), длг которой ))хп — х ) — «О при т, л — > =о, существует элемент х, такой, что,')х„— х)) — >О. функция, или отображение из одного банахова пространства 3 в дру~ое банахово пространство, называется непрерывной, если достаточно малым изменениям аргумента соответствуют сколь угодно малые изменения значений функции.

й!ножество Л элементов банахова пространства называется выпуклым, если оно содержит отрезок, соединяющий любые две его точки. Точнее, если х и у — элементы Л, то все элементы вида Лх+ (>у при Л) О, р:.)~0, Л+р= ! (Л, р.— действительные числа) принадлежат Л. Множество Л элементов банахова пространства называется комп актным, если любая бесконечная последовательность элементов из Л содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу Л.

Характеристики

Список файлов книги