Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Обширная библиография по уравнениям сметпанного типа содер. жится в работе Берса [3]. [См. также книгу Бицадзе, указанную в примечании на стр, 137, — Прим. ред.] Важно заметить, что те же самые формальные рассуждения проходят для систем аида У" 8 Общее определение иеевдоаналитичееких функций 389 которое играет важную роль в сверхзвуковой газовой динамике. Наши формулы дают ряд полиномов, удовлетворяющих атому урав- нению. Аналогично мы можем рассмотреть систему а,(х) у =р,(у)ф, ау(х) у = — ра(у)ф„.
Формулы дифференцирования и интегрирования ~у' = а1чк, ф фк/а2 ч'= [ (аз 'х — рФду) чт= [ [(ф/а,)е(х+("/р,)е(у[ позволяют получить нз решения (у, ф) системы (26) решение системы Фк Фу — = ~ %" — = — ~,%' (27) а,1У'а, Если а,=аз=а>0, ~,=~а=6>0, то из системы (26) следует, что ~у+ /ф — псевдоаналитическая функция второго рода относительно порождающей пары Р=(а/р) ', 0=1(р/а) '. (Г, 0)-производная функции ~уР+ф0 легко вычисляется и равна (а/р) 'ц~„+ / (р/а) ' ф = Р,р'+ Оуу'.
где Р, = (ар) ', О, =1(ар) '. Эта производная является (Р,, 0,)-псевдоаналитической функцией, так как функции ц', ф' удовлетворяют системе (27). Таким обравом, пара (Р,, 0,) является последующей для (Р, О), и точно так же устанавливается, что пара (Р, О) — последующая для (Рп О,). Минимальный период для атой порождающей пары равен 2, если только а не постоянная.
8 8. Общее определение исеедоинилитичесних Яуннций Мы вернемся к обшей теории псевдоаналитическнх функций н заметим, что определенная в $ 6 этого дополнения (Р, О)-производная может быть получена с помощью предельного перехода, который является обобщением обычного процесса дифференцирования комплексных функций. Точнее, пусть функция ш (а) представлена в виде (16), где Р (а) и 0 (а) — фиксированные непрерывные комплексные функции, такие, что 1ш (О/Г) > О, а функции у и.ф — действительные, Мы составим „разностное отношение" — „[р(а+/г) Р(г)+ф(г+л) 0(г) — ч(г) Р(г) — ф(г) 0(а)[ (26) 1 880 Дополнение к гл.!'г'. и выясним, имеет ли оно предел, когда комплексное число Ь стремится к нулю любыми возможными способами.
Если такой предел существует, то он, в частности, будет существовать и при Л = 8 -ь 0 и при 8 = ( 8-ь О, где 8 †- действительная переменная. Эти два предела равны соответственно — Р+ —, а и — ~ — Р+ — О). дт дф 1 /дт ду дх дя г ~ ду ду Из условия, чтобы эти два предела были равны, сразу получается уравнение (17), а если мы обозначим общую величину этих двух пределов через те, то получим соотношение (18). В общей теории псевдоаналитических функций исходят из порождающей пары Р (г), О (в), причем не предполагается, что эти функции дифференцируемы.
Функция (16) называется (Г, О)-псевдоаналнтической з области, если в любой точке г этой области отношение (28) имеет конечный предел прн Ь вЂ” е0. Большинство сформулированных выше теорем справедливо, если функции Р и 6 удовлетворяют условию Гвльдера. Псевдоаналитические функции и в этом случае можно охарактеризовать дифференциальными уравнениями (6); однако они, вообще говоря, уже не будут удовлетворять уравнению вида (4) и не будет справедлив принцип подобия.
8 У, Квазинон(рормные отображения') а общая теорема о представлении При изучении геометрических свойств псевдоаналнтическнх функций удобно работать с функциями второго рода. С помощью одного дифференциального неравенства, которое является следствием дифференциальных уравнений (6), устанавливается, что эти функции в некотором смысле имеют общие геометрические свойства с аналитическими функциями. Аналитическую функцию комплексного переменного можно рассматривать как отображение на плоскости, конформное в каждой точке, в которой производная не обращается в нуль.
Это значит, что в таких точках отображение в малом является преобразованием подобия: оно переводит бесконечно малые круги в бесконечно малые кр)гн. Естественно, что очень полезно рассматривать также отображения, переводящие бесконечно малые круги в бесконечно мзлые эллипсы с равномерно ограниченным эксцентриситетом. Такие отображения называются квазиконформными. ') Теорию квазикоиформных отображений начал разрабатывать Греч, ее развивали Альфорс, М. А.
Лаврентьев, Марри, Тейхиюллер н другие. Обширную библиографию можно найти в работе Кюицн [1Р 1Сю также В о л к о в ы с к и й Л, И., Квазнкоиформные отображения, Львов, 1948.— Прим, рвд,) б й Квазннонформньье отображения и общая теорема о представлении 391 Лля преобразования вида то(г)=и(х, у)+(о(х, у), где и и о имеют непрерывные частные производные и отличный от нуля якобиан, только что указанное геометрическое свойство может быть выражено с помощью любого из трех эквивалентных дифференциальных неравенств гпах )то„соя б+ю„з(пв1г (Г',)(и пх — и и ), (29) окькг иг.+ из+от+от.< 2К(и о — и о ), ) ю; ( < (г !ю, 1.
Здесь Я) 1, К)~1, 0 <Уг < 1, и постоянные ф К, )г связаны соотношениями Легко проверить, что любая псевдоаналитическая функция второго рода ы = 2+1у или даже любое решение ш = и+ М эллиптической системы и, = аппл+ а,,о, иу = игьон+ иггпт удовлетворяет этим дифференциальным неравенствам, если система равномерно эллиптическая, т.
е. ес.ли аж ) 0 и 0( — ' ' - —,(сопз1; (я~2 1 нм) ан,гнм — (н „ + нгг)г константа Я кзазиконформного отображения зависит только от констаьты в этом неравенстве. Опоеделим квазиконформное отображение более общим способом. Вместо того чтобы требовать непрерывности производных, входящих в неравенства (29), мы будем только предполагать, что эти производные существуют и удовлетворяют неравенствам почти всюду, локально интегрируемы с квадратом, а также что непрерывные функции и(х, у), о(х, у) абсолютно непрерывны по одной ич переменных прн почти всех значениях другой переменной. Основное свойство функций, осуществляющих квазиконформные отображения, может быть выражено в виде следующей теоремы, котор>ю мы здесь сформулируем без доказательства (и не в самом общем виде). Пусть ев(г) — функция, осуществляющая квазиконформное отображение и определенная в единичном круге. Тогда то допускает представление ю(г)=У(Х(г)), (о0) где ",=-у(е) есть гомеоморфизм (т.
е. взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение) области )г! (1 на (ч)(1, 392 Дополнение к гл. 1Ь'. причем;((0)=0, у(1)=1; злго отображение и обратное ему огпображение у г равномерно удовлетворяют условию Гельдера, причем константы в згпом условии зависят только от констанпы (е в неравенсгпвих (29), а ~'(".) — аналитическая функция комплексного переменного г„!ч! С!.
В этой теореме произвольная функция, осуществляющая квазиконформное отображение, представляется через аналитическую функцию и функцию, удовлетворяющую условию Гальдера. В 9 3 этого дополнения мы получили похожее разложение (уравнение (9) ) для функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению (4). Легко видеть, что то же самое разложение (9) справедливо для функций, удовлетворяющих дифференциальному неравенству и, = оно„+ пю + Рни+ 13,го+ (г, иу игР~+ иггог + ггги + гаго+ )2' (34) ') Предстзвлевие (30) принадлежит Морри [3], а представление (33)— Берсу и Ниренбергу (1). См.
также Боярский (1). !то —,1. й'(чв) (31) с некоторой постоянной й'. Оба результата, принцип подобия для функций, удовлетворяющих дифференциальному неравенству (31), и теорема о разложении вида (30) для функций, осуществляющих квазиконформное отображение, являются частными случаями более обшей теоремы о представлении, которую мы сейчас сформулируем, также без доказательства '). Пусть то(з) — функция, определенная в единичном круге и удовлетворяюгцоя дифференции,гьному неравенству ! иг- / ' )г ' ш '+ й'!ш ) + я" (32) (здесь и с, 1, з на частные производные наложены те же требования, что и раньше).
Тогда функция го может быть представлена ввиде ( )=е'"УЫз)(+з,(з), (33) где "=-у (з) — гомеоморфное отображение единичного круга ни себя, причем у(0)=0, у(1)=1; функции з(г) и зз(з) непрерывны в за.кинутом единичном круге, действигпе ганы на его окружности и обращаются в нуль при е = — 1, а у (ч)— анилигпггческая функция ко.иплексного переменного О. Функции з, з, )( и обратный гомеоморфизм у, ' удовлежворяют условию Гальдера, максимумы их модулей и модули непрерывностгг зависят только огп констант в неравенстве (32). (В частности, если й" = — О, то за==О).
Эта теорема о представлении очень важна, потому что любое решение равномерно эллиптической системы с ограниченными коэф- фициентами В 10. Одна нелинейная краевая задача 393 обязательно удовлетворяет дифференциальному неравенству вида (32), В частности, если система одноРоднаа (Т,==Та= — 0), то из теоРемы о представлении следует, что решение обладает следующим свойством однозначной продолжимости: оно не может обращаться в нуль на открытом множестве, не будучи тождественным нулем.
Этот результат является обобщением (но не прямым следствием) теоремы Карлемана, рассмотренной в 9 4 этого дополнения. ~ 10. Одна нелинейная краевая задача Теоремы о представлении, сформулированные в предыдущем параграфе, можно применить для получения априорнь|х оценок и теорем существования решений краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений. Мы рассмотрим здесь сравнительно простой пример'). Мы будем решать задачу Неймана для квазнлинейного уравнения аида а(х, у, о, йю оэ) о„„+ 2Ь(х, у, йь чю йз) оя, + +с(х, у, с7, сею с7 )о =О. (35) Мы предположим, что коэффициенты а, Ь, с определены для ха+ + у'(1 и для любых значений еь о„о и равномерно удовлетворяют условию Гальдера. а также, что уравнение равномерно эллип. тическое, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
