Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Поэтому вместо уравнения (6) мы рассмотрим сначала итерироваииое интегральное уравнение Р(х, У)=]] Кз(х, У; Е, т>)Р(Е, й)асььс(т)+й(х, У), (7) где 3=8+ ] ] К(х, у; Е, )а(Е, '6)с(Е И Лля этого уравнения справелливы теоремы Фредгольма. Однородное интегральное уравнение, соответствующее уравпеиюо (7). может иметь решение р, ие обращающееся тождественно в нуль, только при условии, что о=й'+ / ] К(х, у; с, ь))р(Е, ь))с1Еаст), о (6') то уравнение (7) означает, что р = ]] К (о — д1 сс'": с(П + 7г. о Поэтому, если мы выберем область О достаточно малой, так что аиачеиие интеграла в левой части неравенства будет меньше 1, то уравнение (8) будет иметь только одно решеиие р ==- О.
Функция я (х. у) = (1!2я)(7.(ш) — 7) непрерывна и непрерывно диффереицируема в О; поэтому то же самое справедливо для функцчп й(х, у), так как теорема. локазаииая в 6 1, п. 2, стр. 248 лля трех переменных, справедлива также для двух переменных. Таким ооразом, из теорем Фредгольма мы леваем вывод: для достаточно малой области 0 и нроизвольной функции й суи(есвсвуелс решение интегрального уравнения (7]. Это решение иепрерывно диффереицируемо и уловлетворяет исходному иитегральному уравнению (6).
Лействительио, если мы положим З64 Гд Лт. Теория лотенииала и эллиатичеекие ираенения После умножения на К и интегрирования получаем — = 1 1 К,( — ) + 11Кд™, о о или = ) ) Кто (1 Р4+ Д, о т. е. функция о также удовлетворяет уравнению (7) и в силу единственности должна совпадать с р. Но для о = Р уравнение (6') совпадает с интегральным уравнением (6).
Если мы подставим это р(х, у) в выражение (4), и =от+~ / Ф(х У' е т))Р(е т1)'(1'(т) а то получим, что т. е. и является решением уравнения (1) с непрерывными в О производными вплоть до второго порядка, аависящим от произвольной функции ы. Таким образом, мы доказали существование решений нашего дифференциального уравнения в достаточно малой области О. В частности, если мы положим = — 1ой' )Т(х — х,)'+ (у — у„)' и выберем в качестве О достаточно малую область О*, лежащую в окрестности точки (хо, уз) и такую, что сама точка (хо, уо) исключена из нее с помощью малого круга радиуса В, то, согласно только что полученному результату, мы найдем в области О* решение вила и* (х, у) = — 1оп '1т (х — хо)'+ (У вЂ” Уз)а+- + ) ) Ф (х.
У' Е 1) Р" (Е '4) г1И ) Легко показать, что при Ь-ьО функция р' стремится к функции р, такой, что интеграл / / ф(х, у; 1, т)) о(Е т)д$,„ь4 а обладает в предельной области О непрерывными производными вплоть до второго порядка. Тогда функция Т(х, У; хю Уо)= — 1оЫ~I(х — хо)'+(У Уо)т+ +~ ~ ф(х, у; ! т1)Р(Е т~)г((г1 ~ (9) о 4 1О. Решение с помои!ею интегральных уравнений 365 1довлетворяет ураанениюй[Т)=1 всюду в О, за исключением точки х= — хс, у=уз; кроме того, так как функция Т вЂ” 1од 11г регулярна всюду в О, то Т[х, у; хе, уе) является фундаментальным решением уравнения (!). 2. Дальнейшие замечания.
Характерная трудность, возникающая прн применении этого метола, состоит в том, что ядро полученного интегрального уравнения имеет особенность. В нашем случае эту трудность улалось обойти путем перехода к итерированпому интегральному уравнению, но лучше модифицировать метод ') так, чтобы его легче было применять. Мы можем заменить ввеленную выше „параметрикс" ф другой функцией ф'[х, у; с, т)), для которой выражение Е[ф'[ при х = Е у = т1 имеет особенность более низкого порядка чем 5[ф[, и пользоваться далее функцией ф'.
Метод параметрикс, обобщенный в указанном выше смысле, можно распространить на любое число независимых переменных, а также на дифференциальные уравнения высших порядков и системы уравнений. Детали и дальнейшие применения этого метода к решению краевых задач читатель может найти в соответствующей литературе '). ПРИЛОЖЕИИЕ К ГЛАВЕ 1У НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Относительно краевых задач для общих нелинейных уравнений в случае более чем двух независимых переменных известно малов). Такое уравнение имеет вид Р[хн ..., хн, и, ип ..., и„, ип, ..., и„н)=0, ') См. Джон [1). е) Мы отсылаем читателя к работам, указанным в п. 5, й 4, н даем здесь несколько дополнительных ссылок. Для случая л 2 получено много результатов. Отмет~ и сначала основную работу Марри [3).
По связанным с ней вопросам см. Ниренберг [3, 1), Марри [4) и библиографию в этих статьях, э также Берс и Ниренберг [1, 2). В работе Хейнца имеются дальнейшие ссылки, в частности, на работу А. В. Погорвлова. По повалу уравнений 1ипз Монжа — Ампера мы уже ссылалвсь в й 7, п. 5 на статью Хвйица [2), ще есть ссылки на работу Г, Леви. Мы отметим также работу А. Д. Александрова [1), касающуюся таких же уравненнсл в случае большего числа измерений. В связи с уравнениями д звукового течения в газовой динамике см. Работу Берса [3), которая содержит обширную библиографию.
Отиосизельно большего числа измерений см., кроме того, Корлес [2), си. также работу Финна и Гилбарга [1) и Киселев«и Ладыженской [1). [Обзор результатов имеется в доклада Ниренберга „Некоторые вопросы теории линейных и нелинейных уравнений в частных производных", УМН, 18, 4 [1953), 101 — 118. — Прим, ред.] Приложение к гл, 11!. причем мы предполагаем, что Р— дважды непрерывно дпфферен- 1 цируемая функция своих р = — (и'+ п)+ 2п+ 1 аргументов в некоторой р-мерной области. 1.
Теория возмущений. Рассмотрим функцию и — такое решение уравнения (1) в гладкой области 6 (в смысле гл. !т', З 7, и. 1), для которого уравнение (1) является эллиптическим. Без ограничения общности мы можем считать, что и == 0; тогда матрица ( — (хц ..., хч, О, ..., 0)1 должна быть положительно определенной в каждой точке области О, Пусть )?(хг, ..., Х„, и, иц ..., ич, иц, ..., ичч) — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция. Мы ставим следующий вопрос. Существует ли при доститочно малых з решение уравнения Р(хц хм ..., х„, и, иц ..., и„, иц, ..., и„„)= =г)?(х!, ..., х„, и, иц ..., иее иц, ..., а„„), (2) равное о на Г, длп которого [[ч![[', <а (см.
гл. И, З 7, п. 1)? В случае, когда — (х,, х„, О, ..., 0) н. О, ответ утвердительный. Чтобы доказать зто утверждение, мы запишеи уравнение в виде !. [и[ = — у —; - - (х, ..., х„, О... „0) и!)+ жч дР 1,1=! о + т (хц ..., х„, О, ..., 0)а;+ дР 1=1 дР + — (хц ..., х„, О, ..., 0)и.= =А[и[ — Р(х!, ..., хч, и, а, и, иц...,, ич ) + И(х!...,, хел и, иг, ..., и„, иц, ..., иео) ж ГГ [и[, таким образом, мы оставляем в левой части уравнения линейные члены, т.
е. члены первого порядка в разложении функции Е' по и и ее произвош!ым, а из нелинейных частей составляем оператор Я[и[. Нелинейные уравнения 367 Теперь мы с помощью рекуррентноч формулы определим последовательность функций и, удовлетьоряюсцих условиям (.[и.[=Я[и.,[, и =7 на Г и, = О. (т=1,2, ...) Существование решения и„следует из теории Шаудера(гл. !'17, 2 7, п, 2) и нз предположения, что дг 1ди <О. С помощью оценок !Наудера (гл. !ЛУ, ь~ 7, п. 1) нетрудно показатщ что для достаточно мачых е функции им сходятся к решению уравнения (2). Аналогичная теорема о возмущениях для эллиптических уравнений проиавольного порядка доказана в работе Агмопа, Дуглиса, 11яренберга [1) в качесгве примера применения оценок Шаудера к таким уравнениям.
2. Уравнение Аи = У(х, а). Мы рассмотрим краевую задачу 'и=у(х,, х, ..., х„, и)=у(х, и), и=:р на Г, (3) где функция у определена и имеет непрерывные проиаводные для всех х из 0 -1- Г и для всех и. а) В предположении, что функция у ограничена, [у(х, и)[с А(, (4) Оп=у(х, о+и), и=О на Г. Если область не является достаточно малой, то решение задачи (3) пе обязательно единственно, Рассмотрим, например, в случае одного независимого переменного х уравнение и,„=у(и) на отрезке О . х ( 2я, где у (и) — ограниченная функция, равная — и для — 1 ~ и 1.
Функции и=Ля|их, [Л[.-, 1, являются решениями этого уравнения, равными пулю в концах отрезка. Аналогичные примеры можно построить для любого числа измерений. Прежде чем возвращаться к решению уравнения (3), мы напомним одно неравенство, справедливое для всех функций и, непрерывных в 0 + Г, равных нулю на Г и обладающих в 0 непрерывными мы докажем, что уравнение (3) имеет решение. Мы будем предполагать, что граница и граничные значения л гладкие (в смысле гл.
!Ч, й 7, п. 1), и даже, что ь= О, Действительно, полагая и=о+и, где и — гармоническая функция, равная )~ на Г, мы получим следующую краевую задачу для функции еч 368 Приложение к гл. !(г, первыми и вторыми производными, а именно: для любой ном- панвгной подобласти А области 0 мы имеем шах — ! (сзпр!аи), (5) дх, адг постоянная с зависит от А и О. (Справедлива и более силь- ная форма неравенства (5), где область А заменена на 6.) Чтобы установить неравенство (5), мы заметим, что если К (х — у) является фундаментальным решением уравнения Лапласа (К(х) = ьг!х( для п ) 2, К(х) = (г !од!х< для и = 2, где ьг — некоторая посто- янная, зависящая от и) и если ч(у) — дважды непрерывно дпффе- ренцируемая функция, тождественно равная 1 в А и равная нулю на Г и в некоторой окрестности Г, то и(х) = ~ ч(у)К(х — у) Ь и(у)ду — ~ и(у)Ь (ь(у)К(х — у))с(у, о о хЕА. Можно показать, применяя результаты гл.
1т', 3 1, п. 2, что снах| — ~ ( С' зпр1аи1+ зпр1и), ди ! о где С' — некоторая константа. Однако, так как функция и обращается в нуль на Г, из неравенства (13) гл. 1'ч', 3 6 мы получим, что 1и)(Кзпр1ди); если мы подставим это неравенство в предыдущую оценку, то получим (5). Решение задачи (3) можно получить с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке (см.
гл. 1'ч', 8 7), но мы дадим другое доказательство, где применяются итерации. Пусть о(х) — решение задачи Ьо= — И, о=О на Г, где число Лг взято из формулы (4). В силу принципа максимума из гл. 1'ч', 8 6, п. 4, мы получаем, что о ) О. Положим я=пир(дг(х, и)7ди) для всех х из 0 и — шало (и (тахо, так что 7" (х, и) — 7 (х, то) — й (и — то) ) О (6) для — шаха (и. то (тахо.
Мы получим решение задачи (3) как предел последовательности функций и, определенных уравнениями Е [иж1 — Ьи,„— 7ги„= г (х, и,) — (ги„п и,„=О на Г, из= о. (7) Согласно теории Шаудера (гл. 11г, 8 7, и, 2), такие функции существуют. Сначала мы заметим, что Е (и,1 = у (х, о) — (го ) — И вЂ” йо = 7. (о]. Нелинейные уравнения Применяя принцип максимума, мы видим, что и, ( о, Из вытекающего отсюда неравенства Ьи,=/г(и,— о)+7(х, о) (АГ= — Ьо получаем, что и, ) — о, так что --о <и, <о. Г!о индукции мы покажем, что — о.<и,„<и„,, <о (т=1, 2...,), (8) Убедившись, что неравенство (8) справедливо для т = 1, предположим, что оно выполняется для некоторого т. Тогда, согласно (6), Г.[и„ь,— и [=7'(х, и„) — у(х, и г) — й(и — и,)) О; таким образом, согласно принципу максимума.
и „, ( и , Следовательно, Ьим ь, = )с (и, 1 — ц ) + 7" (х, цн) < Аг = — Ьо, так что снова в силу принципа максимума — о (имьп т. е. справедливо неравенство (8) для т + 1; поэтому оно справедливо для всех т. Функции [и„) равномерно ограничены и, следовательно, в силу условий (7), то же самое верно относительно значений )Ьин).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
