Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Тл, Л'. Теория лотенииала и вл.шлтические уравнения где х — постоянная. зависящая только от области О Локажем сфор. лгулированную выше теорему суш ствования. Рассмотр ьч банахиво пространство С (см. э" 7, п. !) функций л, непрерывных в О -[- Г, с нормой [[г[[ =шах[а[.
Обозначим через Я подмножество функций л из С, удовлетворяющих условию [л[(шах[и [ и условию Липшица [ е (Р) — е (О) [ (х(тК для всех Р, О из О+Г. Легко видеть, что Я вЂ” компактное выпуклое ') множество в С . После этой подготовки мы переходим к типичному итерационному процессу: если в коэффициенты уравнения (!) А(х. у. л), В(х, у, з) и С(х, у, я) вместо з подставить некоторую функцию г(х, у1 из множества 8, то А, В, С перейлут в функции а, д, с, завнсяш:е только от х и у. Из того, что А, В, С удовлетворяют условию Гельдера [условие (в)[, и из оценки (6) следует, что функции а, Ь, с уловлетворяют условию Гальдера с показателем а и с некоторым фиксированным коэффициентом, не зависящим от функции «(х, у).
Если такая функция л(х, у) полставлена в коэффициенты, то можно решить линейное эллиптическое уравнение А(х, у, г(х, у))и „+2В(х, у, л(х, у))и, + + С(х. у, л(х, у) ) и„, = О при условии, что функция и на Г равна сс. Из первой теоремы й 7, п. 2 следует, что это возможно. Здесь мы используем предположения о „гладкости" О и у. Решение и еллнственно; оно принадлежит пространству С„„ и удовлетворяет неравенству [ и ! ( шах [ у[. Согласно априорной оценке, и удовлетворяет условию (б) и, следовательно, (6), так что и принадлежит В. Таким образом, преобразование и=Т [а[, определенное как „разрешающий оператор" нашего линейного уравнения, является преобразованием 3 в себя. Если мы теперь покажем, что преобразование Т непрерывно, то, в силу теоремы Шаудера о неподвижной точке, Т будет иметь неподвижную точку л.
Тогла г принадлежит Ст,„ и является искомым решением уравнения (1). Чтобы доказать непрерывность преобразования Т, рассмотрим последовательность [» [ функций, прнналле~л~ жащих Ю, равномерно схолящуюся к функции л из Я, и положим ') Опретелечче компактного выпуклого множества см. в приложении, Э 15, стр. 402. 359 ч. С(ааевая задана дяя »вавил>саед>сава уравнения ан' Т(ян"(. Функции сени являются решениями уравнений, коэффициенсы которых удовлетворяют условиям (а),(б) н равном рно удовлетворяют условию Гальдера, не зависящему от п.
Кроме того, ( исн (.' п>ах (са(. Применяя оценки Шаудера вплоть до границы, мы виднлс, что нормы ~(ис" ((з, Рав;шмеРно огРаничеиы. ПоэтомУ мы можем выбРать тзкУю сн1 подпоследовательность и', которая сходится вместе со своими первыми и вторыми производными к некоторой функции и и ее соответьтву>ощим производным. Но тогда и удоваетворяет предельному дифференциальному уравнению Л(х, у, з(х, у) ) и„„+ 2В(х. у, а(х, у)) и„+ +С(х, у, г(х, у)) из =О и равняется сз на Г, т.
е. и = Т(а(. Таким образом, полпоследовательность (сс'н>( сходится к Т (а(. Из единственности предельной функции следует, что исходная последовательность (и:"с( схолится к Т(г(; таким образом. установлена непреоывность Т. В заключение этого параграфа лсы выведем априорную оценку (4).
Наше доказательство делится на две части. Сначала мы покажем, что функции и„ и а принимают наибольшее н нанлсеньшее значение на границе. Затеи мы устзцовим справедливость неравенства (4) ао веет граничных точках, откуда следует, что (4) выполняется воюлу в О. Мы докажем принцип максимума лля и„п и, в предпояожении, г что коэфф:щненты уравнения (2) удовлетворяют условию Гельдера. (Можно дать другое доказательство, опирающееся только на элл,птичцость уравненля.
т. е. на условие (3). ) Достаточно рассмотреть фу~сидню и» и показать, что ее максимум в любом круге О, лежащем в области О, достигается на границе. (Отссода затем слелуег, что также и минимум и» достигается на границе.) В случае, когда и имеет непрерывные третьи производные, а коэффициенты а, б, с один раз дифференцируемы, мы разделим уравнение (2) на с, продифференцнруем результат по х и получим, что функция и, = и„удовлетворяет эллиптическому лифференцнзльному уравнению 'а 20 — и + — и 1+сс =О, е >» е >У!» >Уз к которому применим принцип максимума из 5 б, и.
4; это и дае.г требуемый результат. Если коэффнцш.ни.с и, д, с удовлетворяют только условию Гельдера в круге О, то мы можем равномерно аппроксимировать сн> ск> Снс их дваждь> днфферснцируемыми функциями ас, д, с', удовлетво- 360 Гл. IК Теория потенинала и эллиптические уравнения ряюшими равномерно по и условию Гельдера. В силу теории Шаулера для линейных уравнений, уравнения и илу+ 2() и,), + с иуу — 0 (и) (и) (и) (п) (и) (и) с условием и'и'= — и на гранина Р имеют ь Р решения и(п', равномерно сходящиеся к и.
Кроме того, и(п)-ь и, и(п) — > и . Так как х к' у у' коэффициенты а(, бы, с( ' лважды дифференцируемы, функции и(ю обладают непрерывными третьими производными (см. й 7, п. 4). Следовательно, можно применить предыдущее рассуждение и сделать вывод, что шахи(„"), а следовательно, и )пахи„достигается на границе Р. Чтобы показать, что на гранипе выполняется условие (4), пояожим ш= и — и. Так как функция я обращается в нуль на Г и удовлетворяет дифференциальному уравнению Ь [в[ = — А [и[ =7' и так как, в силу условий, наложенных на и, (г'( ( ЗМК, (7) функция и и область О удовлетворяют всем условиям леммы, сформу- лированной в конце Э 7, п.
3. Мы делаем вывод, что на Г [и) [, )в [ < 3)( МК, где 7(з — постоянная, зависящая только от и), М и области Р. Следовательно, ~и,[. [и,[.<К+ Зй,МК <(!+ЗЛИ,)К Г, что и дает требуемое неравенство (4) на границе. Э 70. Решение эллиптических ди4вйаеренциальнгих уравнений с помощью интезральных уравнений Мы дополним предыдущие параграфы кратким обзором иного метода решения эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными, который является обобщением метода интегральных уравнений, изложенного в э 4, п. 3'), Применение интегральных уравнений подсказывается общими соображениями функционального анализа. которые по многим поводам явно или неявно применяются в этой книге. ') Этот метод, основанный иа понятии .параметрнкс", был введен Э.
Леви [1), а затем Гильбертом (см. [1[, стр. 1 — 66). Его упрощенное изложение, а также полные результаты и доказательства имеются в работе Лжона [1[. Э 10. Реюепие с помощью ипгегральпь>х уравнений 361 Мы рассмотрим линейный эллиптический дифференциальный оператор ь]и]=у н попытаемся найти обратный оператор и=й[Л=~ ']Л, где у' — произвольная функция ив должным образом определенного функционального пространства (например, функция > непрерывна в О + 1'), а функция и должна удовлетворять некоторым граничным условиям (например, и = 0 на 1', если Š— оператор второго порядка).
Дифференциальный оператор ь]и] преобразует одну функцию в другую, с ]а] = г, обычно менее гладкую, например, преобразует дважды непрерывно дифференцируемую функцию в функцию только непрерывную. Точнее, он преобразует функциональное пространство о, к функциям которого он применяется, в более широкое функцнональ>юе пространство Я. Наоборот, обратное преобразо-> ванне Ь ])] преобразует Ь' в его подпространство Я; в этом смысле (как и в более точном смысле, основанном на понятии нормы, см. й >), это сглаживающее преобразование. С таким сглаживающим преобразованием в принципе проще иметь дело. В нашем случае предста.
вление сглаживающего преобразования А в виде интегральных операторов, которые могут привести к сходящимся процессам теории Фредгольма для нахождения решения и (см. т. 1, гл. 1П), достигается аналитическими методами. 1. Построение частных решений. Фундаментальные решения. Параметрикс. Сначала мы рассмотрим случай линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно фу>щции и(х, у) двух независимых переменных и предположим, что это дчфференциалыюе уравнение имеет вид Л ] и] ме.
Ьи + аи + да + си = у", (1) где функции а, Ь, с, г' непрерывно днфференцнруемы в О+>, В случае аналитических коэффициентов и, Ь, с вопрос о существовании решений уравнения (1) в достаточно малых областях О решается положительно с помощью теоремы существования Коши— Ковалевской (гл. 1, й 7, п. 4). Однако при меньших ограничениях, наложенных на функции и, д, с, у, доказательство существования хотя бы частного решения уравнения (1) требует уже других методов; например, можно применить следующий метод, принадлежащий Э. Леви. Мы рассмотрим функцию ф(х, у; 1, т)= — 1од~>(х —:,)а+(у — л)'= — 1оКг, (2) которая называется параметрикс.
Это функция х, у н точки-параметра (1, ь)), причвм в точке х = 1, у = т] она имеет характеристиче- Гл. !(т. Теория потенциала и зллиптичеепие уравнения скую особенность, соответствующую главной части Ьи оператора Т. (и), Параиетрикс не удовл творяет дифференциальному уравнению, но функция 1.[ф! при х=Е у=то имеет особенность только первого порядка относительно 1)г. Интеграл о= ! ~ ф(х, у;:-, т!р(-, т))е((аьп с произвольной непрерывно днффьренцируемой функщ1ей р(х, у), а также более общее выраткение вт(х, у,+ ! ! 'у(х, у; '=.
ч)р(Е т!)а(с!~~ (4) 6' не будут удовлетворять уравнению (1), если вт — трижды непрерывно днфференцируемая в 6, а в остальном произвольная функция. Однако, соответствующим образом подбирая функцию у при заланном ы, мы сможем построить функцию и, удовлетворяющую уравнению (1), Чтобы доказать это, подставим выражение (4) в уравнение (1). В силу предположений о дифференцируемости р, мы имеем (см. т.
!. гл. )г, ф 14, п, 5) и, следовательно, Е(и(=С (а! — 2яр+ ~ / (аф + Ьу + сф)р(с, т1)т((г(т). че. Если мы для краткости положим К(х, у; Е 4)= — (а(ь, +Ь„' + сф) = 1 = — 2я ~а(х, У) —,,'+О(х У) — т+с(х, У)!оЯГ~ (5) к(х, )г = — „я (1. (вт! — Т), 1 то мы получим для р интегральное уравнение р(х, у)=~~ К(х, у; $, т!)р(1, фе(!е(т(+б" (х, у). (б) бе. К этому уравнениго нельзя непосредственно применить теорию Фредгольма, так как в точке х=(, у=т) ядро К обращается в беско- Э 10. Решение с волов(ью интегральных уравнений 363 иечиость, как 1~г, и, следовательно, ие является иитегряруемым с квад- ратом, ио легко вилеть, что итерироваииое ядро К,(х, у; Е, и)= / ] К(х. у; з, г)К(з, г; Е, п)с(вс(г о читегрируемо с квалратом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
