Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Реа2енае уравнений Бельтрана 1!усть область и, (с границей Ь,) представляет собой пересечение Б, и круга с центром в точке г, и радиусом 23 2 )г, — аз(, а 32— дополнение к Ь, в 8,. Тогда -'~ ~~3~(3~3< —" ~~ "'"" + ь~ !С-е, 1<22 + —" 11 "",, <СО3. , 2-,1<зе где С, — постоянная, зависящая только от а. Чтобы оцепить интеграл от д по области 32, заметим, что У(е ) — У(ее) 1 1 (22 ) ( —: — — ".
~~1+ У(в) — У(ве) (У(а) — Х(:))(ве — в) е — ".1 ( ()и г) а 1 (~) + К2 (()' тогда ~ К2(~)е((е ! -, (У(я1) У(я2)) ~ ~ (в г)г ' Ве Ье Согласно тождеству Грина (2), при и= 11(я2 — ч), та=О, мы имеем ,),) (22 —.)2 2 ~ 22 —" 23'е„— ( 2„~ ее — 1' еч 1, Ь', так как интеграл по (1! =г обращается в нуль. Таким образом, ! 3 .1 ~'"2 "~11 <2 3 ~ "'„<С2Нь", (6) Ь~ Ь', где С2 — абсолютная константа, так как 1аа — ())~3/1() для ьЕЬ2. Наконец, заметим, что в области Ьа так что ~к,(~)! <, .),Г ~32(~)1 3 1< я ГХ ~а 3-» < 3 Ь,' 12-*,1ь м зба Гл.
Н. Теор>>я аотелйиала и элг>илтачегк>ге уран>юлил где Сз — постоянная, зависящая только от а. Это вместе с формулаин (6) н (6) даст треоуемое неравенство ~р(а>) — р>ат)! г (С, + С,+Сз) О ~а> ат) Теперь чы в состоянии доказать теорему. Предположим, что ив искомое решение; тогда, в сн.ту леммы 1, функция и>, отл>шается от Г Г !> (') тол(С) н(а) шг(л) г на аналитическую функцию. Взяв в качестве зто.'1 аналитической функции константу, равную единице, мы решаем уравнение для ю,: 1 Г Гн(-') .(() — (),() „„,+, ~г, ! ! (( л)г Тогда легко получается то; как будет показано в конце параграфа, оно удовлетворяет уравнению (3). Пусть С(т, а) — множество комплекснозначных функции м(а), определенных в о, и удовлетвориощих условию Гальдера с показателем и < 1.
Лля функций о> из С(т, а) мы введем норму ) и> я = знй ) и> (а) ) + т' 5иР ~ "(л ) — "'(лг) ~ . -"~ -лг , 'Л> аг ~ тогда С(т, и) будет банаховым пространством. г!егко видеть, что для любых функций а> и: из С(т, а) ),э>т,)т ())а>',! тйта .. Пусть теперь р(а) — заданная в 8, функция; она удовлетворяет усло- вию Гальдера с показателем и и, кроме того, !.(0)=о. Мь> определим оператор Т в С(т, и) равенством ТИ= — ! Г Гн() () ! () () г((т( ., ! ! (" )г 5 Ясно, что Т вЂ” линейный оператор и, в силу леммы 2, ),'Т(>а),(,.: Кт'т ~)(ги>)),+т'Кт г(~(гч>((,< 2К~ !г(),~(о>,'(„, Так как р(0)=0, то норма !,'(г(), стремится к нул>о при т — ьО.
По- этому для достаточно малых т, например для т < то, мы имеем 2К!Ы, < —,', так что '!)!Т (го))(т <,> ~!го~~> для >. < >о. В 9, Краевая задана дяя нвазилинейнаеа уравнения Збб Теперь мы хотим решить уравнение ш=-Т[ш)+ ! шТ)ш] а круге 5г, г<га. В силу неравенства (7), класс функций в из С(г, а) еаких, что ))ш[)е < 2, кри преобразовании Т переходит в себя и преобразование Т является сжимающим, так как ))Т [ш ] — Т[ш ])), < — ))ш — в )),.
Известно, что функции в„, определенные рекуррентной формулой ш,=О, ш„„,=Т[вв)+! (п=!, 2, ...), сходятся по норме )) )!, к функции ш, удовлетворяющей уравнению ш = Т[в]+1, причем ),'ш)), < 2. Кроме того, ! )в(г) — 1) < — 2=1 2 и, следовательно, ш(г)+ О в 8,. Мы завершим доказательство, если покажем, что функция ьт(г)= — — ~ ~ геене)+г обладает требуемыми свойствами. Согласно лемме 1, те имеет непре- рывные частные производные, определяемые формулами ье=Т[ш)+ ! =в; следовательно, функция те удовлетворяет уравнению (3) и ю,чьО. Так как ш принадлежит пространству С(г, а), то производные функции те в 5, удовлетворяют условию Гальдера с показателем а.
з У. Краевая задача для некоторого елециального нвазилине!еного уравнения. Мелеод нелодвизесной леочни Лере — Шаудера В этом параграфе мы покажем, как при локазательстве теорем сугцествования применяется олин топологический метод. Этот „метод неподвижной точки', связанный с ндеямн Пуанкаре, был ясно изло- 356 Тм 11т, Теория потенниила и эллиптические уравчеьил жен Биркгофом и Келлогом [1[ и превращен в мощное орудие Шау.
дером и Лере' ). Вместо общей теории, развитой Шаудером и Лере, мы воспользуемся тояько частным результатом, известным под названием теоремы Шаудера о неподвижной точке. Если Т вЂ” непрерывное отображение замкнутого выпуклого компактного множества в бинаховом пространстве в себя, то Т имеет неподвижную точку. Эта теорема доказывается в й 15 приложения к этой главе, где определяются „выпуклые компактные множества в банаховои пространстве". Рассмотрим квазилинейное эллиптическое уравнение А(х, у, г)гяк+2В(х, у, г)г „+С(х, у, г)г =О (1) в ограниченной области О, граница которой состоит нз конечного числа отдельных замкнутых кривых Г.
Предположим, что область 0 — гладкая (в смысле э 7, п. 1, стр. ЗЗЗ) и что р — гладкая функция, определенная на границе 1'. Здесь гладкость области 0 и функ. ции о можно следующим образом описать в терминах длины дуги в на кривой Г. Функции х(в).
у(в), определяющие граничную кривую, н функция р(в) имеют первые и вторые производные, удовлетворяющие условию Гальдера с показателем а, О ( а ( 1. При некоторых условиях, наложенных на коэффициенты А, В, С (эти условия будут указаны ниже), мы ищем решение г(х, у) уравнения (1), равное р на Г.
Согласно принципу максимума, любое решение будет удовлетворять неравенству ! г [ ( шах ~ у! = Мо. Поэтому мы будем рассматривать А, В, С, определенные для х, у из О+ Г и ~ г ~ ( Мь, и наложим на них следующие условия: (а) А +2В[п+Ст)т)~ т(1'+ т,') для всех действительных Б тй (б) )А(, [В[, [С[(М; (в) А, В, С удовлетворяют по х, у, г условию Гальдера с показателем а и коэффициентом М.
(Здесь т, М н а — некоторые положительные постоянные,) Применяя теорию Шаудера для линейных эллиптических уравнений, изложенную в э 7, мы докажем следующую теорему существования, При условиях (а), (б), (в) и указанных выше условиях, но,гоженных на об,часть 0 и функцию о, существует решеньте г(х, у) уравнения (1), равное у на Г. Кроме того, г принадлежити пространству Сэь„(см. и" 7, и. 1). ') Си. Лере и Шаудер [1[. Э 9. Краевая задана для нвазаланейноео Кравненая 357 Доказательство основано на априорной оценке для решений линейного эллиптического уравнения вида 7.[и[ежа(х, у)и„„+2Ь(х.
у)и +с(х, у)и =О (2) в ограниченной области О, граница которой состоит из конечного числа замкнутых кривых с непрерывно вращающейся касательной. Кроме того, мы предположим, что область О обладает следующим свойством: для некоторого положительного числа Р и любой точки () на границе Г существует круг радиуса гт', пересечение которого с О + Г состоит из одной только точки О.
Мы предположим также, что коэффициенты а, Ь, с удовлетворяют условию Гельдера по х и у и что уравнение равномерно эллиптическое, т. е. что для некоторых положительных постоянных ш и М в области 0 выполняются неравенства а(а+2Ь(т,+от[а)~т((а+в[а), [и[, [Ь[, [с[ <М. (3) Апгиотняя оценка. Пусть и — решение уравнения (2), непрерывное в О+Г вместе со своими первыми производными. Предположим, что в О+ Г существует дважды непрерывно дифференцируемая функция и, равная и на Г, причем ее первые и вторые производные в О+Г ограничены величиной К.
Тогда существует постоянная й, зависящая только от лг, М и 0 (т. е. не зависящая от коэффицвентов), такая, что [ и„[, [ и„[ < (зК (4) всюду в О. Мы установим эту априорную оценку в настоящем параграфе. Чтобы применить эту общую оценку к нашему нелинейному уравнению, мы заметим сначала, что, в силу предположений о гладкости области О н функции йь легко построить в О+Г непрерывную функцию г, равную в на Г и такую, что ее первые и вторые производные ограничены по абсолютной величине некоторой постоянной К и непрерывны в О+Г н О соответственно').
Если теперь мы будем рассматривать искомое решение г уравнения (1) как решение линейного уравнения вида (2) с а(х, у)=А(х, у, г(х, у)) и т. д., то, в силу оценки (4), получим [г„[, [ят! < (гК. (5) Заметим далее, что если функция я имеет в О+Г непрерывные первые производные, ограниченные величиной ЙК, то она удовлетворяет условию Липшнца [а(Р) — а(Я)[<яйК[Р— О[ для всех Р, О из О+Г, ') См., капрямер. Миранда [11, — Прим. ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
